수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 28일차

아래는 오늘 문제인 수특 기하 83p Level3 6번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

문제에서 물은 것은 삼각형 BCD의 외점원을 ACD에 정사영한 넓이입니다.

이렇게 BCD나 ACD 같은 삼각형이 등장하면 항상 특별한 삼각형(직각, 이등변, 특수각)인지 따져보는 것이 좋은 습관입니다.

삼각형 BCD는 실제로 직각삼각형이 되는데 이는 각 변의 길이를 구해보고 피타고라스로 보여도 되고, 

아래 풀이처럼 그냥 삼수선 정리 쓰면서 직각삼격형임을 보여도 됩니다. 

BCD, ACD가 이루는 이면각 θ을 구해야 합니다. 

CD가 공통이므로 교선이 됩니다. 

그러면 A, B에서 CD에 내린 두 수선이 이루는 각이 이면각 θ이 됩니다.

B에서 CD에 내린 수선의 발이 어디에 떨어질 지 생각해봐야겠죠. 

B에서 CD를 포함하는 평면에 수선의 발 내린 후 거기에서 CD에 수선을 내리면 삼수선 정리를 사용할 수 있죠. 

C, D에서 밑면에 내린 수선의 발을 C', D'라 할게요.

그러면 B에서 CDD'C'에 내린 수선의 발은 직선 C'D' 위에 생깁니다.

이를 관찰하기 위해 밑면을 떼어내서 따로 그릴게요. 

그러면 C'D', AB는 60도를 이루고 C'O=1, OB=2이므로 B에서 직선 C'D'에 내린 수선의 발이 C'가 됩니다.

C'에서 CD에 내린 수선의 발은 C가 되구요.

그러면 삼수선 정리에 의해 CD와 BC는 수직이 되죠. 

마찬가지로 AD와 CD는 수직이 됩니다. 

따라서 BC와 AD가 이루는 각이 우리가 구하는 이면각 θ이 됩니다. 

AD를 평행이동하여 D가 C로 갈때 A가 A'로 간다고 할게요. 

그러면 A'은 직선 BC'위에 있고 A'B=2루트3이 됩니다. 

높이 CC'=2, A'C=BC'=루트7이므로

코사인 법칙쓰면 cosθ=1/7이 됩니다.

이제 삼각형 BCD는 빗변 길이가 BD=루트11인 직각삼각형이므로 외접원의 지름 길이가 루트11이고

외접원의 넓이 11/4π에 cosθ=1/7을 곱해주면 정답 11/28π가 됩니다. 

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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