수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 22일차

아래는 오늘 문제인 수특 미적 102p Level3 2번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

문제에서 y=t와의 교점의 x좌표라는 표현이 나오거나 

y=t와의 교점의 x좌표를 식으로 표현할 일이 생기면 역함수 미분을 떠올려주면 좋습니다.

역함수라는 표현을 엄밀하지 않은데, 역함수가 존재하지 않는 경우도 있기 때문입니다.

정의역을 좁혀주어 역함수가 존재하게 바꿔 생각해줄 수 있구요.

그게 아니더라도 역함수 자체를 강조하고 싶은게 아니라,

y=f(x)와 y=t의 교점의 x좌표를 a(t)라 하면

f(a(t))=t가 되죠. 이 식을 강조하고 싶네요. 

(f, g 서로 역함수일 때 f(g(x))=x라는 식이 성립하잖아요?)

이를 미분하면 f'(a(t))a'(t)=1이 되구요.  이를 자주 쓰게 됩니다. 

오늘 문제 볼게요. 

f(x)=2sinx와 y=t의 교점 중 왼쪽 점의 x좌표를 a(t)라 할게요.

그러면 오른쪽 점의 x좌표는 π-a(t)이고 g(t)=π-2a(t)입니다.

g'(t)=-2a'(t)가 되죠.

g'(t)=-2가 되는 t값을 t=k라 했으므로

a'(k)=1이 됩니다. 

위에서 말한 것처럼 f(a(t))=t, f'(a(t))a'(t)=1이 됩니다.

t=k 대입하면 f'(a(k))a'(k)=1, f'(a(k))=1이 됩니다.

f'(x)=2cosx이므로 2cos(a(k))=1이므로 a(k)=π/3이 됩니다. 

k=f(a(k))=2cos(π/3)=루트3입니다.

따라서 A(π/3, 루트3)에서 그은 접선을 구해보면

기울기는 f'(π/3)=1, f(π/3)=루트3이므로

접선은 y=1(x-π/3)+루트3이 됩니다.

따라서 구하는 넓이는

π/3부터 π/2까지 ∫(x-π/3+루트3)-2sinx dx 적분값을 2배해주면 됩니다.

계산을 해주면.. π²/36+(π루트3)/3-2가 됩니다. 

 아래는 관련 기출인 2016학년도 수능 21번(B형)입니다.

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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