수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 23일차(마지막)

아래는 오늘 문제인 수특 미적 102p Level3 3번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

f, g가 역함수일 때 f(g(x))=x, g(f(x))=x이므로 f'(g(x))g'(x)=1, g'(f(x))f'(x)=1가 만족됩니다. 

역함수라고하면 저 등식을 언제든 사용할 준비를 해야합니다. 

역함수의 교점이 어디 생기는 지 살펴볼 때는 우선 증가함수인 지 아닌 지 체크해봐야합니다. 

모든 실수 x에 대하여 f'(x)>0이므로 f는 증가함수이고 f(x), g(x)의 교점은 y=x위에 (k, k)가 되죠. 

이를 대입하면 a²=1+k²임을 알 수 있습니다. 

f(g(x))=x이므로 f'(g(x))g'(x)=1를 만족시키므로 x/{f'(g(x))}=xg'(x)가 됩니다. 

따라서 ∫x/{f'g(x))}dx = ∫xg'(x)dx=[xg(x)]-∫g(x)dx=2입니다. 

적분 구간이 0부터 k까지이므로

2=kg(k)-∫g(x)dx=k²-∫g(x)dx이죠. 

k²은 정사각형 넓이이고 ∫g(x)dx를 빼주면 ∫f(x)dx가 됩니다.

따라서 2=∫f(x)dx가 됩니다. 이를 0부터 k까지 직접 계산하면

2=∫ax/{루트(1+x²)}dx=a[루트(1+x²)]=a(루트(1+k²)-1)=a²-a,

(a-2)(a+1)=0이므로 a=2, k=루트3입니다.

정사각형 넓이는 k²=3이 되고 ∫f(x)dx=2 이므로 ∫g(x)dx=1이 됩니다.

따라서 정사각형의 넓이 3은 y=f(x), y=g(x)에 의해 삼등분 됩니다.

따라서 [0, k]에서 f, g에 둘러싸인 넓이는 1이고, 원점 대칭한 넓이도 1이므로 전체 넓이는 2가 됩니다. 

 아래는 관련 기출인 2019년 4월 교육청 모의고사 27번(가형)입니다.

봐주셔서 감사하고요

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