수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 24일차

아래는 오늘 문제인 수특 기하 68p Level3 2번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

두 벡터의 내적 AB·AC를 계산할 때

시점 A를 고정하고, BC의 중점을 M이라 하면 

AB=AM+MB, AC=AM+MC로 쪼개어 생각하면 MC=-MB이므로

AB·AC=(AM+MB)·(AM-MB)=|AB|²-|MB|²로 계산을 간단히 할 수 있습니다.

오늘 문제를 볼게요. 

OC=2, OD=2루트3, CD=AD=4이므로 각CDO=90도이고

2:2루트3:4이므로 각OCD=60도=각COA가 됩니다.

따라서 삼각형 OAC는 정삼각형이고 각 DOB=30도가 됩니다. 

벡터BC의 시점을 A로 옮겼을 때 종점을 C'라 하면

AC'과 AD의 중점은 C가 됩니다.

따라서 중점 C를 기준으로 쪼개면

AD=AC+CD, AC'=AC+CC'=AC-CD가 됩니다.

같은 두 벡터의 합과 차로 나타난 것이죠.

그러면 AD·BC=(AC+CD)·(AC-CD)=|AC|²-|AD|²=4-16=-12가 됩니다. 

이제 D에서 직선 AB에 내린 수선 H라 하면 직각삼각형 AHD에서 AD=2루트7이고

BC길이는 2루트3이므로

AD·BC=-12=2루트7*2루트3*cosθ 이므로 cosθ=-루트21 / 7이 정답이 됩니다. 

봐주셔서 감사하고요

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