-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편
*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
1번 문제
-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌
14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.
(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오. [4점]
(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]
2번 문제
-18.03.30 수학 가형
30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. ->
1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고,
2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!
두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)
역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574
두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만,
적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.
2번 문제가 1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요
|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니
조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다.
즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.
X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고, x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)
즉 g(x)는 (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.
이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)
dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.
X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다.
Solution) 02번 문제
Solution) 01번 문제
(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요
0 XDK (+28,000)
-
17,000
-
5,000
-
5,000
-
1,000
-
수학 좀 치는 놈들아 28
님들 1일1실모감 엔제벅벅감? 전 1일 1실모ㅇㅔ 옛날에 풀었던...
-
작년에 중앙대 기계 종합으로 합격했는데 올해 한양대 기계 종합 합격 가능성 어느정도...
-
ㅇㄷㄴㅂㅌ
-
안녕히 주무세요 2
저는 일단 조용히 있을 생각입니다 오늘도 힘내세요✨
-
아 나 동테됐어 1
은테 달아줄 사람
-
나뉴비야
-
오빠랑쓰껄할려? 4
ㅍㅎㅎ 푸하하ㅎ
-
뭐 내려도 댓글은 남아있긴 할텐데.. 본인도 그걸 원하시고 또 혹시 모르니까
-
ㅋㅋ아
-
시간 없는 반수생인데 현우진 커리 추천 해주세요.. 작수 백분위 80이라 뉴런부터...
-
사귈래? 8
-
지금진도뭐나감? 담주랑 다담주에도 뭐하는지 좀 알려줘..
-
가끔 가다 “이렇게 하면 망해” “이렇게 하면 무조건 성공” 이리 말씀하시는 분들...
-
그럼 9모하고 수능도 쉽게 나올 전망인가요?
-
부모님하고 싸워서 거기서 자는 중 또 크게 부딪힐까봐 학원 다니는데
-
5초동안만듬 오르비 가지마 ㅠㅜㅜㅠㅠ 흑흑
-
남캐일러 투척하던 비식이는 90점에서 절대 안 죽었어요 은근 사랑받았어요
-
자러갑니다 2
흠.... 말을 아끼겠
-
안썼다는건 까먹었거나 벌점 먹일 이유가 호루스코드에 없던거 까먹으신거면 사유를 써서...
-
화학식량님 3
보니까 생각났어요 친구가 화학+식량 아니냐고 물었던 기억이..
-
아차 싶은 사람엄청만음 ㅋㅋㅋㅋㅋ 그래서재밋어자꾸중독돼 발톱떼같아ㅜ
-
6모 2등급인데 미적분은 27부터 잘 안풀려요 6모에서 위험을 느끼고 어삼쉬사...
-
저희 화학 출제팀 들어오세요 ㅎㅎ 아 어딘지는 근데 안알랴줌 근데 옯에 모집공고...
-
ㅇㅈ 2
음주 블랙러시안
-
고수탑 8
고수탑을 입문 엔제라고 보기엔려좀 어려운가…? (미적이요) 시중 엔제 뭐랑 비슷해요??
-
이유는업다
-
이왜진
-
친한 오빠 생일인데 뭐주지 작년에 받은 깊티 아직도 남아서 나 주던데 뭐 주면 유익할까
-
캬 설맞이 3
가야겠지?
-
빡모2-1후기 0
15.22 28어려웠음 우엑 특히나 28은 유기.. 그것도 그렇고 올해빡모는 진짜 6평같네
-
6모 ㅇㅈ 7
에피 단게 부끄러워지네요… 9모때는 전반적으로 더 좋은 성적 받을 수 있도록 노력해보겠습니다
-
주르르 침이 흘러 버린 거예요
-
구강악안면외과 인턴 레지던트 수련과정 중 임플란트 1개도 "안"심어보고 졸업시키는...
-
나는 할 수 있습니다. 너도 할 수 있습니다. 우린 할 수 있습니다. 11/14 is our day
-
킹스맨본사람만이해가능한짤 전 쫄보라 사리겠습니다
-
어차피 관리자도 살릴 생각 없는거 같은데ㅋㅋ
-
상위권 입시 커뮤니티의 번영을 상징하던 곳이라 들었는데... 너무나도 황폐해졌군.
-
그냥 예년처럼 3000만 뽑아줘 내신 1.2X따리 고3인데 더 열심히...
-
. 9
-
내가 망언햇는데 0
산화대면 나갑자기업어지면 따따딸기<<<이쪽으로....
-
국어 기출 0
현재 김승리T tim빼고 풀커리를 타고 있는데 기출도 따로 봐야 할까요? 아니면 충분할까요?
-
모두 정숙 3
살고 싶으면 정숙
-
치과의사... 3
요즘 치과의사 전망이나 개원 난이도, 그리고 그에 따른 수입 상세히 아시는 분...
-
7덮수학결과 1
28번 어케햇노 ㄷㄷ 운빨좃대네
드디어 적용탄이 나왔군요 가장 기대하고있었습니다 진짜 이칼럼은 제 수학의 시각을 넓혀줬으니 잘보겠습니다
저야말로 영광이네요! 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요 :)
선댓후감
미소변화율 항상 재밌게 보고 있습니다
감사드려요 선생님 :)
이거보고 주머니에서 공이나 뽑기로했다
왜 평면으로 수선을 안내리고 그런걸
동경일공의 공 아닌가용
역시 수학고수
사설 실모나 엔제에서 많이 써먹었는데 많은 분들이 얻어가셨으면 좋겠네요~^^
Sec(x)
짖짜 뇌를 꺼내서 저한테 이식하고싶어요
대 약 연
약선생님 좋은 글 감사합니당
저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요
우와!
대 대 대
한의대 걸어두시나요
약연님 시.반(국가권력엔수생어쩌고)님이 이거좀 물어봐달랍니다
강의는 마지막에 나온다고 전해달라네요
https://youtu.be/9EOzb5wCSN4?si=3B1ZDrTpoDF_flU-
g'(x)를 수식으로 표현할 때, 미소변화량을 세로가 적당히 작은 직사각형으로 근사하였다고 생각하면 가로 × 세로인데, 도함수의 정의가 접선의 기울기이고, 접선의 기울기를 삼각비로 표현하면 아래 그림처럼 델타h/델타x로 표현할 수 있고, 델타S = 길이 × 델타높이 인데 양변을 델타x로 나눠 표현하면
넓이의 미소변화량 = 가로길이 × 도함수가 되는군요!
단! 이 경우는 기준선의 운동방향이 축과 평행하게 고정되어 있어 미세한 직사각형으로 근사, 위와 같이 도함수를 직관적으로 뽑아낼 수 있는것이지, 미소변화율 칼럼 1편의 극좌표에서의 근사에선 사용하기 곤란하군요..
헉 이걸 이제보다니..
미소변화율 3도 잘 보고 갑니다..ㅎㅎ
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요
영광이에요