-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편
*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
1번 문제
-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌
14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.
(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오. [4점]
(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]
2번 문제
-18.03.30 수학 가형
30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. ->
1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고,
2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!
두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)
역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574
두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만,
적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.
2번 문제가 1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요
|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니
조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다.
즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.
X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고, x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)
즉 g(x)는 (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.
이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)
dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.
X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다.
Solution) 02번 문제
Solution) 01번 문제
(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요
0 XDK (+28,000)
-
17,000
-
5,000
-
5,000
-
1,000
-
"실습때 XX짓…사람 취급 못받아" 여친 살해 의대생 신상 털렸다 1
서울 강남에서 여자친구를 살해한 의대생 A씨(25)의 신상정보가 빠르게 확산하고...
-
타인과 교류가 없는데 로딩은 강하고, 그걸 사회에서 부둥부둥 해주니까. 물론...
-
있다면 정부가 굳이 이걸 건드리진 않겠죠..
-
미분법 킬러 두개 푸니까 50분 지나노 하아아 내 지능의 한계인가 뭔가 오래걸리니까...
-
오르비언들 단체로 뒷목잡게 하고 싶은데 올리시는 사진 보니 아직 오피셜로 뜬 건 아닌 듯 해서요
-
오늘을 기억하자 1
다음엔 사설찍맞뽀록이 아닌…
-
[단독] 범죄자 신상공개 '디지털교도소' 부활... 새 운영자 "검증 철저히 할 것" 6
"한국은 악성범죄자에게 관대한 처벌을 내리는 등 사법시스템이 정상 작동하고 있지...
-
풀어보긴 했는데 맞을런지는 의문
-
저도 제가 수능날 국어 말아먹을 줄 몰랐습니다 4월 6월 10월에 국어 100점...
-
같은 상황에서도, 충분히 욕 안먹을 수 있는 상황에서 국민들 깜짝 놀래키는 말만...
-
엄
-
'기수열외', '휴학불참' 이런거 쓰는거 자체가 의대 이미지 먹칠임 5
진짜 경악스럽다
-
해보지도 않고 올려치기 너무 심한듯
-
치대 못가겠다 2
수학 실력 개퇴화함
-
걍 거기출신일 뿐인데
-
조심
-
그냥 가해자 나쁜놈이다 욕해도 충분한데 '기수열외' '휴학불참' 이런거 언급을 굳이...
-
[정오뉴스] ◀ 앵커 ▶ 서울 강남 한복판에서 의대 재학 중인 남성이 여성을 흉기로...
-
3000부 판매신화 기록 지구과학 핵심모음집을 소개합니다. (현재 오르비전자책...
-
여친살해 의대생까지 100명 신상공개…디지털교도소 다시 문 열었다 1
범죄 혐의자 신상을 무단으로 공개하는 웹사이트 '디지털교도소'가 다시 등장해 논란이...
-
https://naver.me/xTbtzHPj 전공의 집단 사직에 따른 의료...
-
'수능 만점' 의대생 살해 사건 피해자 유족 "억울한 계획 범죄" 1
서울 서초구 한 건물 옥상에서 서울 소재 한 의과대에 재학 중인 것으로 알려진...
-
[단독] '여친 살해' 의대생 “2020년 성적 이유 유급… 집단휴학 참여 않고 최근까지 학교 다녀” 2
서울 강남역 인근 건물 옥상에서 여자 친구를 살해한 명문대 의대생 A씨가 재학 중...
-
폰 바꾸면서 0
사진첩이랑 파일에서 오르비와 커뮤의 흔적을 전부 삭제함..
-
이번수능 목표 3
에피눈알 장착하기
-
생각 0
결과를 책임질 수있다면, 과정에서 그 누구의 간섭도 받지않겠다.
-
06을 너무 과대평가하지 마라.... 3평 그 좁밥도 1컷 78 나온 애들이다......
-
ㅈㄴ어럅다
-
통합수학도 예시문항이랑 22수능까지는 정상이었는데 해가 갈 수록 흑화중 통사 통과도 볼만 할 듯
-
모의고사 공부법 0
막상 시작하려니까 뭐부터 해야할 지 모르겠네요 각 과목 간략하게 좀 알려주실 수 있나요 ㅠㅠ??
-
혹시 원생이 아닌 사람도 학원에서 더프 볼수 있나요..?
-
.
-
'코인 천재' 아내 덕에 전업주부로 살고 있다는 한 남편의 사연이 전해졌다. 최근...
-
강기분 같은 기출분석 강의만 듣구 주간지, N제(?) 요론 문제들만 풀어두 실력이...
-
속보) 교육부 차관 "증원된 의대 32곳 중 12곳 학칙 개정 완료" 4
https://naver.me/FHAhR6DF 이 싸움도 거의 종바지에 이르고...
-
ㅜ
-
모고는 5시에 0
뜨죠…? 아 빨리 풀고 싶네 마렵다 진짜….왜케 야하게 생김
-
내척추도렬줘요
-
이걸 입학하고 두달뒤에나 알았네..
-
ㄹㅇ 오랫만 2
-
듣고 있다면 환급 좀 해다오...
-
아무래도 집에 동생이 있어서..
-
물리 : 등가속도, 변압기, 운동량과 충격량, 2차원 물체 운동 화학 : 원소와...
-
젖지머리타코야끼 4
-
아이큐는 왜 높지 ㄱㅁ이 아니고 진짜 의문
-
갤탭샀을텐데...
-
두 사건의 경중의 차이가 어마무시하지만, 한명은 서울대 사회학과인데 이희호 여사...
드디어 적용탄이 나왔군요 가장 기대하고있었습니다 진짜 이칼럼은 제 수학의 시각을 넓혀줬으니 잘보겠습니다
저야말로 영광이네요! 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요 :)
선댓후감
미소변화율 항상 재밌게 보고 있습니다
감사드려요 선생님 :)
이거보고 주머니에서 공이나 뽑기로했다
왜 평면으로 수선을 안내리고 그런걸
동경일공의 공 아닌가용
역시 수학고수
사설 실모나 엔제에서 많이 써먹었는데 많은 분들이 얻어가셨으면 좋겠네요~^^
Sec(x)
짖짜 뇌를 꺼내서 저한테 이식하고싶어요
대 약 연
약선생님 좋은 글 감사합니당
저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요
우와!
대 대 대
한의대 걸어두시나요
약연님 시.반(국가권력엔수생어쩌고)님이 이거좀 물어봐달랍니다
강의는 마지막에 나온다고 전해달라네요
https://youtu.be/9EOzb5wCSN4?si=3B1ZDrTpoDF_flU-
g'(x)를 수식으로 표현할 때, 미소변화량을 세로가 적당히 작은 직사각형으로 근사하였다고 생각하면 가로 × 세로인데, 도함수의 정의가 접선의 기울기이고, 접선의 기울기를 삼각비로 표현하면 아래 그림처럼 델타h/델타x로 표현할 수 있고, 델타S = 길이 × 델타높이 인데 양변을 델타x로 나눠 표현하면
넓이의 미소변화량 = 가로길이 × 도함수가 되는군요!
단! 이 경우는 기준선의 운동방향이 축과 평행하게 고정되어 있어 미세한 직사각형으로 근사, 위와 같이 도함수를 직관적으로 뽑아낼 수 있는것이지, 미소변화율 칼럼 1편의 극좌표에서의 근사에선 사용하기 곤란하군요..
헉 이걸 이제보다니..
미소변화율 3도 잘 보고 갑니다..ㅎㅎ
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요
영광이에요