합성함수 인식부터 치환적분까지

문제 같이 읽어보겠습니다.

뭔가 그림 그리고 싶다는 생각이 듭니다.

이 정도로 그리면 되겠습니다. 노란색 동그라미 친 건 미분계수입니다.

문제를 마저 읽어볼게요

아, f(x)가 아니라 f(2x)래요. 그것도 그려줍시다.

x=1에서 미분계수가 2인거 바로 보이시나요?

이쯤에서 잠깐 딴 얘기로 샜다가 돌아오겠습니다.

(딴 얘기)___________________________________________________________________________________

이건 cos함수에 5x를 합성한 함수입니다.

5x는 x보다 다섯배 빠르게 진행되기 때문에,

cos5x 함수는 cosx 함수에 비해 모든 대응되는 구간에서 다섯배 빠르게 변합니다.

미분계수가 다섯배인 셈이죠.

또 다섯배 빠른 진행속도 덕분에, 함수는 다섯배 축소됩니다.

(딴 얘기 끝)________________________________________________________________________________

이런 이유로, 앞선 문제에서

이렇게 그릴 수 있던 겁니다.

이제 문제 마지막 부분 읽어볼게요.

음.. 이건

f(2x)의 그림만 보고 a는 1이고 b는 1/2이라고 읽으면 됩니다.

긴 설명 대신 그림 2개면 충분할 겁니다.

함수 그림은 냅두고 

x, y 축만 샥 바꿔주면 됩니다.

우리가 잘 알고 있는

이 사실을 수식적으로 이해해도 좋지만,

저는 때에 따라 조금 더 기하적인 느낌으로 이해합니다.

이렇게 말입니다.

앞선 예시도 이런거였죠. 

하지만 이 얘기는 f(x)와 f(3x)처럼 단순히 일차함수를 합성했을 때만 쓸 수 있는 얘기가 아닙니다.

다음 문제로 넘어가봅시다.

지수함수 f(x)에 대해 다음 값을 구해야 하는 상황입니다.

가독성을 위해 엄밀하게 적지는 않았지만 다 이해하셨을거라 생각합니다. 

일단 절댓값 f(x)부터 그려봅니다.

-1에서 미불이고, 이때 오른쪽 미분계수는 ln2입니다.

이제 어떤 빨간 점이 이 곡선경로를 쭉 따라간다고 해봅시다. 

이 빨간점은 y=x세제곱 함수의 속도로 곡선경로 위를 움직이는 중입니다.

y=-1일 때, x세제곱 함수의 미분계수는 3입니다.

따라서 

여기 -1 부근에서 빨간점은 경로를 3의 속도로 지나가는 중입니다.

아까 문제에서 h'(a+) 구하라고 했었죠.

3의 속도로 기울기 ln2인 구간을 지나는 중이니까 답은 3ln2입니다.

근데 삼차함수에다가 대고 막... 속도 개념을 부여해도 되는걸까요?

또 잠깐 딴 얘기로 샜다가 올게요. 

(딴 얘기22)___________________________________________________________________________________

아까 cos 5x는 진행속도가 일정한 경우였습니다. 

그런데 진행속도가 일정하지 않을수도 있습니다.

(예전에 제가 썼던 칼럼 일부를 인용해왔습니다) 

앞서 언급했던

이 사실이 이러한 이유로

이렇게 인식될 수 있는 겁니다.

시간 있으신 분들은 아래 기출 문제 풀어보세요.

귀찮으면 넘어가시구요

답은 19+20= 39입니다.

알려드린 걸 통해 풀면 인식하기가 훨씬 쉬울겁니다.

(딴 얘기 끝)________________________________________________________________________________

아직 할 얘기가 많이 남아있습니다. 

합성함수 인식은 결국 치환적분의 얘기로 이어집니다.

다만 이번편에 다 쓰면 너무 길 거 같아서, 다음 편으로 넘길게요.

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