수학 질문(이해시켜주시면 복받으실거에요)

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수학 문제 해설중에 납득이 안되는 부분이 있어서 qna 게시판에도 올려보고, 큐브에도 여러번 올려봤는데 도저히 설명에 납득이 안가서 여기 올려봅니다,,

제 답답함을 풀어주시는 분은 복 받으실거에요.

해당 문제랑 해설인데요.

해설 맨 마지막 줄 g(x)=2x+n*pi 이 부분 빼고는 다 이해했습니다.

그런데 저는 왜 저기서 갑자기 g(x)를 2x+n*pi라고 확정할 수 있는지 이해가 안됩니다.

f(x)의 주기가 pi이기에 적분 시작점인 g(0)=n*pi로 두면 당연히 g(x)=2x+n*pi 일 것입니다.

그런데 적분 시작점인 g(0)이 n*pi라는 보장이 없으니까 g(0)값에 따라 g(x)는 제각각일 것입니다.

예를 들어 g(0)을 pi/2로 가정해본다면

양쪽 적분식의 적분 시작점인 g(0)과 0은 f(x)라는 주기함수에서 주기상의 같은 지점이 아닙니다.

x=g(0)에서 f(x)는 극대이고, x=0에서 f(x)는 극소이니까요.

그렇다면 이때 g(x)는 미분가능한 어떤 함수가 되겠지만 양함수로는 표현할 수 없는 함수가 될 것입니다.

당연히 모든 실수 x에 대해서 g(x)-g(0)=2x일 수 없으며

이때 y=2x 그래프와 y=g(x)-g(0)의 그래프의 교점은 (n*pi/4 , n*pi/2)이 되겠네요.

x=n*pi/4일때 0부터 2x까지 적분값과 g(0)부터 g(x)까지의 적분값이 같아질테니까요.

이런식으로 적분시작지점인 g(0)의 값이 무엇이냐에 따라 g(x)의 그래프는 계속 달라질 것입니다.

해설지를 보면 (가)조건만으로 g(x)=2x+n*pi라고 확정지었는데 g(x)가 다항함수라거나 뭐 그런 조건이 있는 것도 아닌데 이 부분이 이해가 안됩니다.

물론 g(x)=2x+n*pi가 아니라면 (나)조건에 g(x)를 넣고 계산할 수 없으니 (나)조건에 만족하지 않겠죠.

근데 제 질문은 해설지처럼 (가) 조건만으로 g(x)=2x+n*pi라고 확정 할 수 없지 않느냐입니다.

수학을 인강으로만 하고 있어서 오프라인 질문을 할 수 있는 곳도 없고, 큐브에도 질문을 여러번 올렸는데 계속 납득할 수 있는 설명 없이 g(x)-g(0)=2x여야만 한다고 하셔서 질문권이랑 시간만 날리고 너무 답답해서 여기에 글 올려봐요..

제 생각에 어떤 모순이 있는지 알려주신다면 정말 감사할 것 같습니다.

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토토왕 [1050292]

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조시 우 · 953618 · 13시간 전 · MS 2020

글쓴이분 말씀이 맞는거 같은데.. 문제가 이상한거 아닌가요?

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토토왕 · 1050292 · 12시간 전 · MS 2021

유명 선생님의 교재이기도 하고, qna게시판에 계속 질문을 해봐도 이해가 안되는 답변 뿐이라 너무 답답하네요.

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조시 우 · 953618 · 12시간 전 · MS 2020

미분가능한 함수 중 f(g(x))g'(x)=2f(2x)를 만족시키는 함수 g(x)가 과연 2x+npi 뿐인가를 보면 될거 같은데.. 제가 배움이 짧아서 확인하기가 힘드네요

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토토왕 · 1050292 · 12시간 전 · MS 2021

저는 말씀하신 그 식을 만족하는 미분가능한 g(x)가 양함수로 나타낼 수 없을 뿐 셀 수 없이 많을 거라고 생각하는데 왜 무조건 g(x)=2x+n*pi 일 수 밖에 없는지 납득하고 싶네요 정말

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마스터피스 · 756069 · 4시간 전 · MS 2017

g(x)가 존재는 하지만 미분가능하지 않습니다

해설지 마지막 부분 정리된 식 기준으로 봤을 때
양쪽 적분의 피적분함수는 모두 항상 0이상인 함수이고, 우변 적분구간의 2x는 증가함수입니다. 따라서 g(x)도 증가함수여야만 합니다

여기서 g(0)=b(!=npi)로 잡으면, f(x)가 주기가 파이니까, 구간길이가 파이이면 적분값이항상 일정하기 때문에 y=g(x)는 (pi/2, pi+b), (pi, 2pi+b)등을 지날 것입니다

여기서 g'(x)=2f(2x)/f(g(x))(분모가 0이 아닐때)인데, 분모가 0이 되는 x를 생각해 봅시다
분모가 0이라면 이때 g(x)=npi여야 하는데, x가 pi/2의 배수라면 위에서 g(x)=npi+b꼴임을 보았으므로, x는 pi/2의 배수가 아닙니다. 따라서 분모가 0일때 분자는 0이 아닙니다

도함수의 극한은 약간 야매지만 증명하기 귀찮으니 살짝 써보면, 위에서 본 분모가 0이 되는 x에서 g'(x)의 극한이 존재하지 않습니다. 물론 도함수 극한이 존재하지 않는다고 미분불가는 아니지만, 그 유명한 함수처럼 미친듯이 진동할때나 가능한 거지 이렇게 깔끔하게 발산할 때는 미분불가능이 맞습니다.

따라서 g'(t)가 정의되지 않는 부분이 생겨 (가)조건이 위배됩니다

근데 해설지 간단하게 써놓은걸 보니 이런걸 고려했는지는 모르겠네요 ㅎㅎ..

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