미분가능과 도함수연속성
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
예전에 0
나형 시험지가 이랬음?
-
사탐런 안한이유 0
개념조차도 끝낼시간이 없음.. + 홍논최저는 사1과1안된다던데 ㅋㅋㅋㅋ
-
미인정처리로 조퇴하고 싶다고 오늘 쌤한테 말씀드렸는데 1학기때 학교 선생님 추천으로...
-
정시에서요
-
1년에 스카이 3명정도 보내는 ㅈ반고… 이과 최종내신 1.37~1.4면 교과 쓸 수...
-
진짜 개졸리네 1
수2 하프1 탐2 돌렸더니 죽을 거 가틈 이걸 70일 더 해야 되네 아
-
사실 뭐 없음 근데 어거지로 짜내보자면 그래도 몇 개 있긴 함 1. 오비탈 문제...
-
이만 공부하러 갑니다
-
9모 동아시아사화 된거 맞음?
-
https://youtu.be/DYbt8rmJT40?si=xNfXF8fIP6XE_xR...
-
마지막 도전 3
짱이 될 거야
-
문제는 9모 직업탐구 성공적인 직업생활이에요 근로자가 만 18세이면 연소근로자가...
-
이감 모고 파이널 사는거 괜찮을까요??? 조금 부담되는데
-
난도가 올라간건가? 표본이 낮은건가? 이런식이면 변별에 표점도 잘나오는거 아닌가?
-
정말 더 풀기가 싫다 N제 진자 개노잼....
-
사탐런 하면 쌍방손해 아님? 왜 바이럴이 있는거지 14
설명해주실 분..? 뭔가 이상한데
-
예전 모습의 몇 퍼센트는 보이는 것 같아서 기분이 좋네
-
틀딱구별법 0
김승리 커리 중엔 “디렉션앤 코딩” 이라는 강좌가 있었다. 이거 알면 틀임ㅇㅇ
-
찐 사탐런은 3
내년일듯 올해 애매한얘들까지 다 사탐으로 넘어갈거임
-
경제 세계사 이런 거 다 빼면 생윤 윤사 정법 사문 이런 거 오는 거임?
-
여기서 의미없이 사탐런 욕하면서 에너지 낭비하지 말고 지금이라도 오르비 끄고 책상...
-
[PDF 첨부] 9월 모의고사 주요 문항 해설 & 총평 0
Team BLANK 공통 + 미적분 교재링크:...
-
해버림 그거슨 바로 작수 언매 4틀의 트라우마를 극복하고 언매 선택. 이와 더불어...
-
물리랑 지구는 컷이 비정상적으로 높다는 글 봤는데 생1은 어떰? 여전히 꿀1임?
-
원래 6모 5등급따리 였다가 이번에 70으로 턱걸이 3등급 받았습니다. 이제 대략...
-
솔텍2 질문 2
9모 35점 나왔고 지금 솔텍1엔제랑 수완 하고있는데 솔텍2를 할지 실모벅벅할지...
-
수능이 70여일 남은 시점에서 사탐런 이슈가 오늘의 메타 이군요..ㄷㄷ 저는 오늘...
-
수능의 불안정성이 커진 지금, 논술공부는 필수! 직보화논 0
안녕하세요, Uni-K LAB 입니다 메디컬 논술을 노리는, 화학1을 경험해본...
-
이렇게 생긴 흡혈귀한테 빨리고 싶다는데 얘 어떻게 고쳐주냐
-
왜함..? 잘 이해가 안되는 논란
-
한국은행 총재의 속이 뻥 뚫리는 저출산 대책 제안 61
저출산 대책에 대해서 구체적인 대안의 효과성과 국민들이 과연 납득할 수 있는지 등은...
-
영어 오답 0
다들 어떻게 하시나요?
-
작년에 한번 시험삼아봤을때, 시험삼아라 밥 안먹고봤더니 오전에 국어 수학풀때 ㄹㅇ...
-
안녕하세요. 벼락치기 수능 시작한 하수 중에 하수라고 해요. 원래 공부하던 탐구...
-
치타는 웃고잇다.
-
14 22 30 틀렸습니다. 엔티켓 s1 s2까지 끝내고 4규 푸는 중입니다. 4규...
-
지금이 마지막 기회임ㅋㅋ
-
ㄹㅇ 욕해봤자 달라지는건 없는데 공부하면 과탐 등급은 바뀌겠지...
-
정부 정책이 완벽할 수가 없기 때문에 꿀빠는 쪽은 무조건 생김. 당장 생각나는 것만...
-
정시러 논술 5
6장 다 채워야하나... 경한 인문 고대 경영 성대 글경영 더 쓸 곳이 안 보임 으으음
-
연애하면 수능보기 싫어짐..
-
개같이 개같이 강등방어 성공 ㅋㅋ
-
헉..
-
내년에 하실생각이 없으시면 국수생각해서 잘 선택하세요….
-
접수증 내놔!!
-
선택에 후회하지 않았는지 생각해보시고 수능일까지 화이팅 합시다!
-
상상vs바탕 0
상상은 파이널10회차+연계문제집100지문? 두개해서 16만원이고 바탕은...
-
ㅇㅇ?
-
우리 역스퍼거들은 새로운 세상을 알고싶은 자네들을 매우 환영합니다 1등급이 많아져도...
-
언미생지고 9모 원점수 95 92 2등급 45 42인데 연대 가능이라고 떠서요.....
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/005.png)
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=