미분가능성과 도함수의 연속성 질문
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제 의견이 틀릴수도 있지만 말해보자면 h(x)는 x가 0이 아닌 부분에서는 미분가능한 함수이고, x=0에서 미분계수가 필연적으로 존재 -> 좌,우극한값이 동일
위의 자료에 의하면 도함수의 연속성을 조사해서 판별할 수 있다고 생각
1. 질문은 제가 국어가 약해서 ‘저것’의 의미를 정확하게 모르겠네요..
위 답변으로 2는 된다고 생각했습니다
1 질문은 h'(x)의 x=0에서의 좌우극한이 수렴하는 값으로 존재함을 보일 수 있는가? 이었습니다
이렇게하면 될거같습니다
일단 답변 감사합니다
좀 더 고민해보겠습니다
밥먹으면서 열심히 생각해봤습니다,,
f가 단순 다항함수 4차함수니까 f=ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e 에서,
f(g(x))=ax^4/3 + bx + cx^2/3 + dx^1/3 + e
이식을 미분하면 (4/3)ax^1/3 + b + (2/3)cx^-1/3 + (1/3)dx-2/3 이어서 x=0에서 미분가능하려면 결국 c=d=0 이어야 하고
남은식만 보면 결국 연속함수기 때문에 결국 f(g)가 미분가능하다면 도함수 수렴값이 무조건 있는거 같네요
첨부하신 자료의 미분가능하지만 도함수 수렴값이 존재하지 않는경우는 삼각함수라는 특수성?(정의되진 않을 수 있어도 값자체는 무조건 -1과 1사이) 때문인거 같은데..
이 문제의 경우는 f에 g를 넣어도 지수부분이 분수긴 하지만 결국 다항함수(?) 의 특성때문에 미분가능하면 항상 도함수 수렴값이 존재하는게 아닐까.. 생각해봅니다
결론은 1. 존재함을 보이려면 다항함수기 때문에 x^1/3 을 대입한 다음 미분한결과를 관찰,
또는 미분계수의 정의에서 lim{f(x^1/3)-f(0)}/x 가 발산하지 않으려면 결국 f의 이차항,일차항계수는 무조건 0이어야 된다는걸 관찰(근데이건 결국 미분계수 정의를 쓰는거긴 하네요)
2. x^m+x^n+… 꼴 (m,n=유리수) 의 함수에서 미분계수의 정의를 썼을 때 그 극한값이 발산하지 않지만 도함수의 값이 수렴하지 않는 경우는 없는거 같아서 도함수 연속으로 풀어도 될것 같긴 한데.. 이부분은 잘 모르겠습니다. 귀류법으로 증명이 될거같기도 하고..
저도 일개 수험생인지라 수학적으로 맞는진 모르겠어서 그냥 의견으로 들어주세요 ㅠㅠ
답변 감사합니다
수2 범위는 넘어가는 거 같은데….어렵네용
이거 미적 맞죠?…차수의 유리수가 들어가는 건 참 보는디
네 미적분 문제에요
h(x)의 좌극한 그리고 우극한이 x=0에서 존재함을 보여야 함
h(x)는 다항¹/다항² (x=/=0)꼴로 정리되고 x=0에서 연속임
h는 유리함수 내지 다항함수라는 점을 이용하면
귀류) h(x)가 x=0에서 발산하면 x=0에서 미분가능하다는 문제의 조건을 만족할 수가 없음
따라서 좌극한, 우극한이 존재함
그러므로 도함수의 연속성 풀이를 사용할 수 있음
밥먹기 전부터 2시간가량 머리 싸맨 후 얻은 교훈
그냥 복잡해보이면 미계정의 써야겠다...
이것도 정의로 풀라고 낸 문제도함수의 연속(정확하겐 좌우극한의 일치)로 풀어도 상관없어요.
f(x)가 g(x)의 치역에서 연속이라는 전제하에서는 도함수의 좌극한과 우극한을 비교하여 답 내기 가능
f(0)은 다항함수라 무조건 연속하게 존재. 그러므로 오류는 없음
그러나 저는 미분계수의 정의를 써서 푸시는걸 추천드려요. 그게 더 빠른 경우가 대다수여서..(발산하는게 곱해져 있는 경우에 한정)
아 1번질문 댓글보고 알았네요. h'(0)의 값은 x=0에서 미분가능해야 하므로 무조건 수렴하는 형태일겁니다
f(x)가 결정되지 않아도 h(x)는 연속함수이므로,, 좌우극한 같다의 논리를 써도 상관이 없고요
말을 빙빙 돌렸지만, 결국 마지막 문장에 하고싶은말이 다 담긴거같아요
네 이해됐습니다 답변 감사합니다
간단하게 도함수의 연속을 쓸 조건이 원함수의 연속이라고 판단하시고 쓰면 될거에요!
화이팅이에요
f(g(x))가 x = 0에서 미분가능하다고요?
f(g(x))는 {x|x≥0}에서만 정의되는 함수라 안될 텐데...
왜 정의역이 그렇게 돼죠?
아 아니구나
죄송합니다. 제곱근으로 착각했어요
자세히 말씀드리자면...
일단 일반적으로
x = 0에서 미분가능하다
→ x = 0에서 도함수는 연속이다.
라는 명제는 당연히 거짓입니다.
반례야 질문자님이 아는 x²sin(1/x)이죠.
그래서 일반적으로는 이렇게 풀 수가 없어요.
저 함수가 이런 병리적 함수일지 어떻게 알아요.
하지만 이 문제에 한해서는 가능합니다.
발산은 3가지 종류가 있어요.
양의 무한으로 발산, 음의 무한으로 발산, 그리고 진동
만약 도함수의 극한이 양의 무한으로 발산하거나 음의 무한으로 발산한다면 미분계수 (극한식) 도 양의 무한으로 발산하거나 음의 무한으로 발산해서 존재하지 않음을 알 수 있지만
만약 도함수의 극한이 진동한다면 미분계수의 존재성은 모릅니다. 미분계수가 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있어요.
하지만 f‘(g(x))g’(x)의 극한을 풀어서 계산하면
얘가 발산을 해도 진동하면서 발산하지는 않겠구나...
라는건 쉽게 알 수 있습니다.
그러므로 진동의 가능성이 제거된 상태에서
귀류법을 사용해 도함수의 극한이 존재하지 않는다면 미분계수 또한 존재하지 않으므로 모순임을 보이면 됩니다.
근데 이렇게 복잡하게 할 필요는 없고
그냥 미분계수로 접근하시면 됩니다.
그래서 결론을 드리자면
1. 일반적으로는 미분가능성은 도함수의 연속성을 보장하지 않는다. 그러므로 미분가능하다고 해도 도함수가 수렴한다고 할 수 없다.
다만
ㅇ 함수 p(x)가 x = a에서 연속이고
ㅇ 도함수 p’(x)가 x = a 주변에서 미분가능하고
ㅇ 도함수 p’(x)가 x → a일 때 진동하지 않는다면
lim (x→a) p‘(x) = p’(a) (양의 무한 또는 음의 무한을 포함하여) 가 성립하므로 이를 사용해 미분계수를 구할 수 있다.
2. 그냥 미분계수의 정의를 쓰는게 훨씬 좋다.
네 감사합니다!!! 이해됐어요