극한 계산 때 주의할 점
안녕하세요. 여기서 이런 칼럼글은 어째 처음 써 보는 것 같아 시작을 뭘로 해야 할지 애매하네요...
극한 문제를 풀 때 여러 가지 편법이 있죠. 로피탈이라던지 테일러 급수라던지...
이런 방법을 쓸 때에는 다 전제조건이 있어서 헷갈린다거나, 아니면 이게 교육과정 밖이라서 쓰기 싫다거나 하는 이유로 순수하게 극한만으로 풀려는 분들도 요즘 많이 보입니다. 좋은 학습방법이죠.
다만 순수하게 극한만으로 풀 때에는 여러 주의할 부분이 있습니다.
1. 극한 계산을 할 때에는 식 전체를 한 번에 보내자.
잘못된 예시를 몇 개 들고 와 보겠습니다.
이 값이 e로 수렴한다는 것은 자명합니다. 그런데 밑에 있는 x를 먼저 0으로 보내고 지수를 0으로 보낸다면 어떻게 될까요?
밑의 x를 먼저 0으로 보내면 밑은 1이 될 것입니다. 거기다 1/0=무한대 제곱을 해 봤자 1이겠죠.
또 밑변의 길이가 1인 이등변삼각형의 높이를 계산한다고 해 봅시다.
높이를 n이라 두면 빗변의 길이는 루트(n^2+1)이겠죠. 빗변과 밑변 사이의 각을 세타라 하면 코사인법칙에 의해 다음 식이 성립합니다.
여기서 세타를 0으로 수렴시키면 어떻게 될까요?
단순히 세타만 0으로 수렴시키면 3/4 = 0이라는 이상한 식이 되어버립니다. 여기서 문제는 n이 세타에, 혹은 세타가 n에 종속된 변수라는 거죠.
n과 세타는 위의 관계식으로 묶여 있습니다. 따라서 세타가 0으로 가면 자연스럽게 n도 0으로 가게 되는 거죠.
이를 무시하고 그냥 한 변수만 수렴시켜 버리면 위와 같은 오류가 발생하게 됩니다.
2. 우리가 알고 있는 극한값을 무지성으로 대입하지 말자.
이건 위와 연결되는 내용입니다.
이것은 너무도 유명해서 다들 외우고 쓸 겁니다. 그리고 우리는 테일러를 좋든 싫든 조금은 맛보고 문제를 풀어봤죠.
그래서 위의 식이 포함된 식에서 우리는 종종
를 별 생각 없이 대입하게 됩니다.
그런데 이게 대부분의 경우 옳지만 항상 옳지는 않죠. 예를 들자면 아까 제가 답해준 글에서의 문제가 있겠네요.
여기서 tan x를 x로 단순 치환하면 위아래를 x로 나눠서 (1-1)/x^2로 바꿀 수 있겠네요. 그런데 이렇게 풀면 분자 0, 분모 0인데 더 이상 어떻게 바꿀 수도 없습니다. 잘못된 풀이이죠.
저 식은 사실 정규 교육과정 내에서 어떻게 풀긴 상당히 까다롭습니다. 0/0꼴이므로 로피탈을 반복 적용해서 풀던가, 아니면 테일러 급수의 3차항까지 근사해서 1/3이라는 답이 나옵니다.
질문하신 분은
까지 변형한 뒤 위아래를 x로 약분했죠. 여기서 문제가 생깁니다.
2tan x/2는 단순히 근사하면 x가 되지만 이걸 x로 취급해서 분자를 x로 묶어도 된다는 것은 아닙니다. 이건 위에서 이야기했던 특정 항만 먼저 수렴시키면 안된다는 것에 어긋나는 거죠.
이 식을 로피탈, 테일러 급수 없이 푸는 방법은 다음과 같습니다. 이거 말고도 다른 풀이가 있을 수 있지만 전 모르겠네요...
상당히 접근법이 어렵습니다... 네.
그래서 이 문제는 테일러 급수 3차근사식을 통한 접근을 추천드립니다. 로피탈도 사실 3번이나 써야 해서 상당히 더럽거든요.
여기까지 생각나는 대로 끄적여봤네요.
사실 저는 반쯤 무지성으로 테일러 급수를 대입해서 푸는 편입니다. 분모 분자 차수 비교해서 거기에 맞는 수준까지 대입하는 방식으로요. 물론 테일러 급수 이용하는게 더 복잡한 경우도 많고 해서 일반적인 풀이 기법도 연습하지많요.
조금 길어졌네요. 부족한 글 봐주셔서 감사합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
참고로 14수능 (당시 사탐/과탐 중 2과목 선택)이었음 (오답률 62.4%)...
-
(음슴체 양해 부탁드려요) 솔직히 한국사가 아니라 동아시아사가 공통과목이 되었어야...
-
세계사 등급컷 6
결국 더 올라가게 되었네요... 1등급 50점 63 95 2등급 48점 62 88...
-
이번에 사탐 처음해서 사탐쪽 인강을 아예 몰라서요 ... 한지 커리 추천 좀...
-
사탐 찐 마지막 투표 19
내년에 사탐할건데 한과목은 동사로 정했는데 다른 한 과목을 아직 못 정했어요 ......
-
동사 백분위, 표점 16
동사 만점 받아도 백분위랑 표점 많이 낮다고 알고 있는데 메디컬이나 엄청 높은 곳이...
-
이때까지 쭉 이과였어서 사탐은 아예 모르는데 동사는 누구 커리 타야하나요 ...??...
-
43점인데 3등급 가능할까요…?
-
15352 21541 43332 42245
-
아무튼 1승 3
현재 대학교 기말고사 시즌이지만, 6모 동아시아사 세계사 풀고 지문 분석 하고 있습니다.
-
물지 선택인데 지구 버리고 사탐 가려는데 동사 괜찮나요? 1
오늘 6평 봤는데 개념 힘 파트까지 밖에 안한 물리가 28뜨고 지구는 개념 거의 다...
-
조선의용대->한국광복군->조선의용군 순서 대한군 이거는 잘 만든 듯
-
용기쌤이랑 다지쌤 파이널 다해서 할 것도 없는데 사서 풀만한가요? 푸신분들 퀄리티 알려주세요 !!!
-
EASY한 독도바다입니다. 이때까지 만든 32개의 동아시아사 문제를 한 파일로 묶어...
-
동아시아사 마지막 문제 45
마지막은 불을 질러보겠습니다. 지엽이라고 욕한다면 감내하고 말겠어요....
-
이제 동아시아사 한 문제 남았군요 뭔가 헛헛하단 말이죠 문제는 어렵지 않을 듯합니다...
-
동사는 지엽을 안 건드리면 어렵게 낼 수가 없네요
-
이것도 어렵진 않을 듯
-
쉽네요 이건
-
선지를 살짜쿵 바꿔 봤습니다 어떻게 느끼실지는 모르겠네용
-
모처럼 동아시아사에서 자료선지 모두 쫀쫀한 문제를 만든 것 같습니다.
-
4단원입니다. 이 문제는 꽤 쉬울 것 같네요 금성교과서 175p 자료를 참고하였습니다.
-
나름 괜찮게 낸 거 같네용
-
어렵진 않죠...? 정답 말고 선지판단도 해 보셔용
-
동사 6번 채주-오고타이 칸을 그대로 언급한 문제가 있습니다 매일 세계사 문제라...
-
2021학년도 9월 고2 학력평가 동아시아사 손필기 해설 9
EASY한 독도바다입니다. 비오는 와중에도 학력평가 치신 모든 분들 수고...
-
잘 만든 거 같아요 히히
-
모바일 배그 처음으로 해 봤는데 재밌네요 근데 워낙 게임을 안 좋아해서 정 붙이지는...
-
동아시아사 수능완성 초간단리뷰(실전 모의고사 제외) 16
EASY한 독도바다입니다. 오늘은 동아시아사 수능완성을 풀어 본 후 느낀 점을...
-
동사 21번도 7
복수 정답이었네요. 요새 실수가 잦은 것 같습니다. 죄송합니다. 은 강희제 편찬...
-
새벽에 타란티노 감독의 봤습니다. 타란티노 감독 스타일을 좋아하는지라 괜찮게 잘 본...
-
봤어요. 원래 포스트 아포칼립스? 잘 안 좋아하는데 재밌게 잘 봤습니다. 20번째...
-
오늘 동아시아사 문제 23
많이들 임진왜란이랑 헷갈려 하시는데, 삼포왜란 사료입니다. 결정적인 단서는 '항거...
-
요새 침착맨 유튜브 간간이 보고 있습니다. 침펄토론 재미써요. 19번째 동아시아사...
-
이번에는 2단원입니다 선지를 잘 해결하는 게 관건이겠네요
-
오늘은 영화 볼 거에요 히히 17번째 문제는 5단원에서 냈습니다. 수특...
-
지리 문제...?
-
동아시아사 5단원 문제 16
이때까지 동아시아사 문제 17문제 올렸다고 했는데 낸 거 정리해 보니 세계사랑...
-
동아시아사 문제는 띄엄띄엄 만들게 되는데, 차라리 모의고사로만 하는 것도 괜찮을 것...
-
아까 올린 세계사 문제 변형한 겁니다. 동사러가 보기에도 빡센 문제가 아닐까 하는 생각이 드네요
-
이건 뭐랄까요... 경험적으로 얻은 팁이랄까요? 전제 조건은, 자료와 관련된...
-
2021년 7월 고3 학력평가 동아시아사 손필기 해설 10
*13번 문제 아주 화친회는 1907년입니다. 잘못 표기해 죄송합니다. *20번...
-
(동아시아사 문제도 서두를 만들어 볼까요?) 15번째 동아시아사 문제는...
-
2021년 7월 전국연합학력평가 대비 Last Pray 모의고사 후기 3
EASY한 독도바다입니다. 오늘은 마지막기도님께서 제작하신 2021년 7월...
-
오늘의 잡지식 3
삼국지를 즐겨 보신 분이라면 "나는 연인 장비다!" "나는 관운장이다!" 따위의...
-
세계사 N제 막바지 작업이라기엔 너무 많은 작업이 남아 있지만에 돌입한 EASY한...
-
EASY한 독도바다입니다. 본래 손필기본을 9시에 올리려 했으나 6모인 만큼...
-
오랜만에 동아시아사 문제입니다. 2단원에서 낸 연표 문제인데, 고도의 사고력이...
-
예비고3) 세계사는 너무 좋고 암기도 재밌어서 고2 초반부터 고정으로 하고있고 딴건...
-
재수2월부터 쌍사 시작함 6모 3 2 (6모는 개념이 너무 방대해서 문제풀이 대비를...
굿굿
이해가 잘 안되는데요, 왜 저 4L에서 2x는 x로 바뀌고 바로 밑에서 3L로 바뀌고 x가 tanx로 바뀌는건가요?
아 오타냈네요... 지적 감사합니다! 수정하겠습니다!
3L은 4L에서 왼쪽 L을 뺀 거에요
평균값 정리로 마지막거 풀수 있어요