칼럼6) 탄젠트 이모저모
탄젠트 함수의 성질 두 가지를 소개해드릴까 합니다. 오늘 내용은 가볍고, 나름 알려진 편입니다.
일단 문제입니다.
(당연히 자작! 제가 드리는 문제에서 기출이라고 따로 언급이 없으면 다 자작일거에요)
원래는 f(x) 정의역을 좀 달아줘야 하는데(x=pi/2, 3pi/2 ...에서 정의 안 됨 이런거요) 예제문제니까 패스했습니다. 가볍게 보이는게 아무래도 더 중요하죠(?)
아무튼 문제를 풀어보겠습니다. 우선 이 상황이 왜 결정되는지를 느껴야 해요.
이 문제뿐만 아니라 다른 수학 문제를 풀 때에도 마찬가지에요. 어떤 요인으로 인해 상황이 결정되었고, 자신은 계산만 하면 답이 원하는 값을 찾을 수 있다는 걸 늘 느껴야 합니다.
그림을 그려보겠습니다.
점 A의 위치가 정해지면 점 B의 위치는 자동결정입니다. A 위치에서 5pi/2만큼 오른쪽으로 간 곳에서 함수에 점 찍어주면 그게 B에요.
한편 탄젠트 함수는 pi만큼의 주기를 가진 함수입니다. 그래서 아래 그림처럼 5pi/2 차이를 pi/2 + 2pi로 인식해볼 수 있어요.
pi/2만큼을 먼저 이동해주면 A가 위치한 것과 같은 날개(?)에서 B'이 찍힙니다. 그리고 그거와 위상이 같게끔 2pi만큼 이동해주면 세 번쨰 날개(??)에 B가 찍혀요.
위상이라던가 날개라는게 수학적 용어는 아닌데요, 직관적으로 전달하기에 이만한게 없더라구요. 앞으로도 종종 이렇게 표현하겠습니다.
여기서 B'과 A의 관계에 주목할 필요가 있습니다. 탄젠트 함수에서 x좌표 차이가 pi/2라는 것은 특별하기 때문이죠. 이유는 다음과 같습니다.
각이 pi/2 즉 90도 차이 난다면 두 직선의 기울기는 곱했을 때 -1이 나오는 관계일 것입니다. 함수에서 이를 보자면
점 B' 그리고 점 B의 y좌표가 k파이라고 하면 점 A의 y좌표는 -파이/k가 됩니다. 이 함수는 pi tanx기 때문에 그냥 k,-1/k가 아니라 거기에 파이까지 곱해진 겁니다.
그런데 아직 상황은 결정되지 않았어요. 영상을 보듯이 다음 과정이 연속적으로 보였으면 좋겠습니다. a가 -pi/4와 0 사이를 오갈 때 점 A 위치가 각각 결정되고, 그에 따라 B의 위치도 결정되는... 그 모든 상황이 아직 가능해요. 아직 a가 결정되지 않았으니 당연히 상황은 결정되지 않았습니다.
그래서 조건이 하나 더 주어져 있습니다. 점 A와 점 B를 이은 직선의 기울기가 1입니다. x좌표 차이가 5pi/2일 때
y좌표 차이도 5pi/2여야 합니다.
답은 2가 되겠네요. A의 x좌표가 -pi/4에서 0 사이에 있기 때문이죠.
한편 첫 번째 줄에서 두 번째 줄로 넘어갈 때, 정석은 양변에 k를 곱한 뒤 이차방정식을 푸는 것입니다. 근데 그렇게 하지 않고 바로 2 혹은 1/2이라고 찾을 수 있었으면 좋겠습니다.
일단 이차방정식 꼴이 될 것이니 k 값이 오직 2개라는 걸, 또 두 근이 역수관계에 있을 수밖에 없다는 걸 안 상태에서 (1, -1, 0이 아닌 어떤 수 a가 위 식을 만족한다면 1/a도 만족할 테니까요.) k=2를 넣으면 만족하니까 1/2도 만족하겠네생각하고 찾아내시는 겁니다.
숫자도 맨날 나오는 거만 나와서 그렇게 부담되지도 않습니다. 이미 이렇게 많이들 하고 계시기도 할거구요.
한 발짝 더 나아가서
이런거도 이제 바로 다음이 보이면 좋죠. 물론 중요한 내용은 아니고 그렇게 많이 나오는 계산도 아닙니다. 소소한 팁 드린거에요!
다시 본론으로 돌아가겠습니다. 삼각함수 문제는 주기와 대칭이 전부 아니냐고 말하신다면 .. 맞는 말이긴 합니다. 그런데 가끔 tan 문제에서 주기와 대칭 이외의 성질 두 가지를 묻기도 하더라구요. 지금까지는 그 성질 두 개 중 첫 번째를 소개드린겁니다.
tan 함수에서 x좌표 pi/2차이 -> 함숫값 정보 도출 가능
평가원에 나올 확률이 높냐고 묻는다면.. 전 낮다고 봅니다. 하지만 이 내용 자체로 좀 생각할 거리가 있고, 1년 내내 n제와 사설에서는 종종 보실 거기 때문에 소개드려봤습니다. 두 번째 성질도 마찬가지에요!
그 두번째 성질도 우선 문제로 소개해드리겠습니다.
(내리면 답 스포)
답은 4입니다. 풀이는 따로 없는데 방금 못 푸셨더라도 아래 내용 읽어보시면 스스로 푸실 수 있을거에요.
탄젠트 곱이 -1일 때 두 각 사이의 관계도 존재하지만, 탄젠트 곱이 1일 때에도 관계가 존재합니다.
곱이 1이라는 건 두 기울기가 역수관계에 있다는 것인데요,
역수 관계에 있다면 둘은 y=x에 대해 대칭적으로 그려집니다.
기울기 n, 그리고 1/n인 함수를 볼게요.
기울기가 n이라는 건 x좌표가 1 증가할 때 y좌표가 n 증가하는 것이고
기울기가 1/n이라는 건 y좌표가 1 증가할 때 x좌표가 n 증가하는 것이기에
둘이 y=x에 대해 완전히 대칭적인거죠.
즉, 두 각의 평균이 pi/4라는 겁니다.
(둘 다 동경을 예각으로 표현했다고 했을 때요.)
탄젠트 함수에 이를 나타내어보면
x축에 제가 pi/4, 그리고 등간격 표시를 해놨습니다. 어떤 의미인지 이해가 가실거라 생각합니다.
알려드린 두 성질을 tan 함수에 다 표시해보겠습니다.
tan 함수와 y=1/n 그리고 y=-1/n의 교점은 원점에 대하여 대칭일테니까 x좌표가 완전히 뒤집힌 것도 보입니다.
이 두 가지 성질 외에는 전부 주기와 대칭으로 끝날 겁니다. 평가원은 아마 주기 대칭으로 끝나게끔 문제를 낼 거 같지만 그럼에도 알려드린 이유는... 위에 말씀드린대로입니다 ㅎㅎ
준비한 내용은 여기까지입니다. 혹시 원하시는 주제 있다면 댓글로 언제든지 자유롭게 요청해주세요!
좋아요 부탁드리고, 팔로우해두시면 앞으로 나올 좋은 칼럼들을 놓치지 않고 확인하실 수 있습니다.
0 XDK (+1,000)
-
1,000
-
9평 다 맞아도 백분위가 96 99 93 97 무려 평균백분위 96.25 ㄷㄷ...
-
[고1~고2 내신대비 자료 공유] 고1 국어, 고2 문학, 언매 분석 문제 배포 0
안녕하세요 나무아카데미입니다.2025학년도 고1~고2 내신대비를 위해 고1 국어,...
-
백분위 앞에 7은 처음이다 이 시발 수학 두문제 차이 = 백분위 13 차이네 13,...
-
아 국수망했네 0
실화냐 진짜 가채점이랑 다른것도 보이네
-
수능 망칠 일이 없는데 그니까 파이팅들 하쇼
-
수능 때 더 잘하자 원점수는 다른글에 있음
-
백분위 몇인가용??
-
아수라 0
아수라 이거 마흐 양동이 어쩌고 하는거 ㄹㅇ 이해하나도 못하갰는데 버릴까요 문제도...
-
ㅈㄱㄴ
-
ㅜㅜㅠ
-
시험지랑 가채점표랑 답 다른거 영어 하나 경제 하나 있는데 지금 성적표 확인하러...
-
전과목 2틀이어도 평백이 98이라니 젠장, 평가원. 난 네가 싫다!
-
교육부, 서울대 의대 집단 휴학 승인에 “매우 부당” 1
“강한 유감… 현지 감사 추진” 서울대학교 의과대학이 학생들이 낸 휴학계를 승인하자...
-
전반적으로 다 1-2등급대심? 한 과목 3이나 4는 ㄱㅊ
-
표점 어떻게 나오시나요?
-
다들 신청 고고고
-
인데 백분위 89뜨네 시바 설마 마킹실수?.? 하 미친거아냐 수능 때 이러면 진짜...
-
미적을 쉽게 내면 됩니다. 기하요? 그건 알아서 하십쇼.
-
언매 2틀 95 1
2등급 나오나요?
-
어차피 수능때 각하께서 킬러 아닌 ’특별한 문항‘들로 ’정상화‘ 해주실거임 ㅇㅇ
-
국어 표점 106 수학 표점 123 영어 2등급 탐1 표점 68 탐2 표점...
-
미적 2틀 92랑 93이랑 통합된건가 130에 95네요 1등급이니 다행....
-
확통 만백 99 3
대 확 통
-
기하2829는 전형적이긴 했는데 아예 퍼준다는 느낌은 아니었음
-
화작 95면 5
공통 2틀인데 등급컷 몇인가요? 모교까지 못 가서 알 수가 없음 ㅠㅠ
-
나 왜 3등급됐냐 85인데
-
허수 9모 ㅇㅈ 14
남은 기간동안 국어 극복해서 닉값 해볼게요,,
-
고2임 쌤들는 나에대해서 극호 극불호가 분명히 나뉘고 대체로 이과쌤들이 극호,...
-
엄마 아빠는 진짜 나 입시 말고는 다른 관심사도 없고 나 잘되라고 사소한거...
-
팩스보내는데 9
통화중이라고 하네요 이건 뭔가요??
-
다 틀려있군아…....
-
화작1틀 94는 몇등급일까요?? 그리고 생명 45는 2등급인가요?? ㅠㅠ
-
갓반고에서 1학년 1학기 내신말아먹고 특히 영어가 진짜 안돼서 그냥 수시로는...
-
빈순삽보는 눈이 달라짐 근데 9덮은 일치불일치틀림
-
아니 이건 너무한데 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
성적표받으신분들 1
언매 -4 공통 -4 92 2인가요 3인가요
-
9모 국어 언매 0
공통2틀 95인데 백붕위 93인가요
-
언매 87이 4라고? 14
나 진짜 5인가보다 11211 -> 51112 이게뭐냐
-
표점 133이면 원점수 몇 점인가요..
-
얼마전에 자퇴한 고2 인데요..의대목표로 물1화1선택해서 공부중입니다.. 여기...
-
정시는 시험하나 잘보면 되는데 수시는 공부 안하다가 하게된사람은 걸러짐 그러니까...
-
물수능 일수록 작아지고?
-
ㄷㄷㄷ
-
∀x(x∈A∪A^c) 모든것은 우리세계(A)또는 다른세계(A^c)에 존재한다
-
언매 97점 1
공통 1틀이면 1등급 나옴?
-
성적표 받으신분들! 기하 88점 표점 하고 백분위 어떻게 되셔요?
-
이거 모바일 팩스 앱으로 해야되는건가요? 처음해보는데 어디 방법같은 게 안나와있어서...
-
설마 1컷안되나
-
지금 지방이라 모교를 못가요.. 혹시 경제러 분 계시면 47점 백분위 몇 뜨는지도...
pi/2 차이이면 곱이 -1이다... 처음 알았네요!
좋은 정보 감사합니다!
수직인 두 직선의 기울기의 합이 -1이다를 처음 알지는 않았을텐데요..
정확히는 (n+1/2)pi를 쓰려고 했어요. tan값과 그 그래프와 연결지으려는 생각은 깊게 하지 못했었다는 뜻이에요. 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1인건 물론 기본적으로 알아야 하는 사실이고요.
와우 님 뭐꼬