실력 정석 연습문제) 지수로그함수와 최대최소에 관한 질문입니다.
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실력 정석 연습문제 131페이지 8-19번입니다.
문제는
x>1, y>1이고 log₂x + log₃y = 2일 때, log(x)2 + 4log(y)3
[x를 밑으로 하는 2의 로그 + y를 밑으로 하는 3의 로그의 4배]의 최솟값을 구하여라
입니다.
저는 log₂x = X(>0) , log₃y = Y(>0)으로 두었습니다. (해설도 그랬고요)
조건과 발문을 치환한 문자로 고쳐보면
"X+Y=2 일 때, 1/X + 4＊1/Y의 최솟값을 구하라"입니다
X>0,Y>0이므로 산술기하평균을 사용할 수 있으므로 => XY≤1
1/X + 4＊1/Y ≥ 2＊(루트1/X ＊ 4＊1/Y) = 2＊루트4/XY 이고 위에서 XY≤1을 이용하면
최솟값은 4가 나옵니다,
근데 해설에서는
1/X + 4＊1/Y에 (X+Y)를 곱했습니다. 그리고 전개하면
4X/Y + Y/X +5 이고 X>0,Y>0이므로 산술기하평균을 쓰면
4X/Y + Y/X +5 ≥ 4+5=9
근데 X+Y=2이므로 1/X + 4＊1/Y의 최솟값은 9에서 2를 나눈 9/2가 됩니다,
해설과 제 풀이의 차이
제 풀이가 틀린 문제점이 먼가요
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해설이 맞고 님 풀이가 틀린 것은 확실합니다..
님께서 하신 풀이에는 오류가 있는데요.. 그 이유는 님께서 산술기하 계산한 걸로 다시 푸시면 바로 아실 수 있고요..
님께서 하신 방법은 산술기하를 2번 적용한 것인데, 그 2번다 X와 Y가 같다라고 예기할 수 없으니까 님의 풀이에는 오류가 있습니다..
XY=<1이라는게 혹시 X+Y=2 에서 나온것이라면, 등호조건이 다릅니다. 즉 XY=1이 될때와, 1/x+4/y=2x(4/xy)^1/2 의 등호조건이 다릅니다.