[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유
게시글 주소: https://image.orbi.kr/0008124321
오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던
조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )
과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.
평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면
한 번 쯤은 해봤을 고민이죠.
——————————————————————
왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?
(편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?
——————————————————————
(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지
그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.
하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.
이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음
평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.
여기서 편차의 제곱 대신,
편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?
이를 알아보기 위해
세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고
(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.
(1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서
완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 일 때
즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.
(2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서
분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,
즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다.
대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,
대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은
n개 의 변량 에 대해서도 마찬가지입니다.
(3) (편차)²의 평균
따라서 (편차)²의 평균은 일 때,
즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.
(4) (편차의 절댓값)의 평균
i) n이 홀수일 때
일 때 최소
ii) n이 짝수일 때
x가 구간 에 속할 때 최소
i), ii)로부터
(편차의 절댓값)의 평균은 또는
일 때
즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로
평균 에 대한 분산을
으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.
또한 변량 의 중앙값이
일 때
(편차의 절댓값)의 평균
를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼
변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.
그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면
중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.
덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,
미분/적분이 상대적으로 쉽죠.
추가적인 장점이 또 있는데
그건 제가 이해를 못해서...
[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)
[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.
본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.
다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
나쁜거라고 생각해요
-
예 이유는 없고요 그냥 달아봐요 심심하네
-
사람 인성이 변하는 거 같긴 함.... 화가 많아진듯.... 낼 친구랑 점심이나 먹자 그래야지
-
작년 러셀 위클리 국어를 보시면…
-
ㄹㅇㅋㅋ 국어 적당히 낮2~높3+영어 2이하여도 수탐퍼거면 설대 갈 수 있고 고대...
-
에필로그 0
심찬우쌤 독서커리만 타고 있는데 에필로그 다 사야할까요? 문학이랑 섞여있는 것...
-
스카에서 공부하다가 잠시 인스타켜서 애들 놀러간스토리보면 공부하기 싫어지고 급...
-
확실히 집에서 하니까 잘안되네요.. 낼부터 스카에서 하겠습니다 글구 이제 수학 진도...
-
잡종
-
.
-
댓글에 몇 학년도(2023년 기출=2024학년도 기출)몇 월 문제인지 써주시면 매일...
-
궁금함.. 혹시 학원측에서 막 혼내거나 그럴려나
-
재수생 같은 반수생이고,, 고려대에서 메디컬 목표 반수 하고 있습니다. 작수는...
-
난 티 안낸다 생각했는데 아니었나봄 친구가 나한테 이유 모를 거리감이 느껴진대
-
여러분들도 잘 마무리 하셨길 바라요 ㅎㅅㅎ 더위 조심하시구요 !!
-
Leo 0
.
-
지금 독서실에... 제가 느끼기에 빌런이 너무 많아요 ㅠ 계속 한숨소리 내시거나...
-
인문계 전교 몇등임 8학군 말고 일반적인 보통의 일반고에서요
-
ㅈㄱㄴ ㅈㄱㄴ ㅈㄱㄴ
-
내가 느끼는 기분이 위선이라면 차라리 걍 나쁜놈할래 좃같아그냥
-
あなたが好き! 2
あゝ私の恋は南の風に乗って走るわ
-
동아리 나왔네 13
오늘 하루 고생한 나에게 해피타임을 줘야지..
-
그니까 문제 틀리는 건 오히려 배운거임 아무튼 그럼
-
리트 본시험이 약 2주일 앞으로 다가왔는데, 앞으로 일주일 간 4개의 지문을 풀고...
-
햄볶해
-
정석민 문상추 0
인강 꼭 있어야하는 강의인가요? 그냥 n제처럼 쓰면 안되는건가욥??
-
안될 거 있나 싶긴 한데 또 좀 뭔가 음 그래
-
어쨌든 그렇게 더럽고 지엽적인 문제도 1등급을 받는 사람들이 있다는 거잖음 그런...
-
공부안하다보니까 독서에서 이상한데서틀리고 독서는 한 지문 제대로 못읽음.. 공부 진짜잘해야겠네요
-
안되겠다... 4
3일뒤에 닉변하고 잠수타야지... 이대로는 안되겠네...
-
~
-
1등급 1명 2등급 1명이라 내신 개빡셀 듯 한데 여름방학 커리 어떻게 짜면 좋을까요 도와주세요ㅠㅠ
-
술존나마시고싶 0
-
나랑 스껄할래? 7
나랑 수능볼래? 나랑 수시원서 접수할래? 나랑 휴학하고 반수할래? 나랑 현강 같이 다닐래?
-
내가의대에가겠다
-
❤ 4
-
진짜 뉴스대로 단체 휴학ing 이라 계속 학교수업 못듣고 그냥 지내시는건가요 그럼?!?!
-
내가 돌아왔다 3
쿠키 지우니까 되네 242메가나 있었음,, 뭔가 오르비가 빨라졌어
-
히히 똥 발싸 2
히히
-
특히 얘가 졸귀임
-
작년에 강민철 독서 문학 풀커리를 타고 백분위 90 받은 재수생입니다. 올해 독서...
-
공부하다가 모르는거 물어보면 ㄹㅇ 친절하게 대답해줌 영어도 끝까지 물고늘어졌는데...
-
현실로나가기가두려워,,
-
오르비에서 봤던 말 같은데 맞다 생각해용><
-
구해서 풀어볼까
-
작수 할매턴, 수필이랑 이번 6모 수학도 이름만 더프였으면 사설틱하다고 욕 존나 먹었을듯
-
에에...
-
수능쳐서 대학갈 때 자연계로 인서울 하려면 등급 어느정도 나와야 하나요? 언매 미적...
-
앱 깔아서 왔음,,
-
N제를 너무 못쳐내서 좀 불안함 뭐가 됐건 실력만 올리면 되겠지 깨달음이 확확 왔으면 좋겠네
ㅋㅋㅋㅋ 오르비스티커 너무 귀여워여
그러니까요... 진짜 예쁘게 잘나왔어요.
그 외에도 확률변수에 대한 적률 적률생성함수 중심적률등과도 관련이 있지 않을까 생각됩니다.
물량공급님 외계어도 쓸 줄 아셨군요.
좀 배워야겠다...
적률생성함수라는 마법의 도구가 있더라구요
찾아보니 학부 확통 과목에서 배웠던 함수네요.
지금 보니 뭔 얘긴지 하나도 모르겠음 ㅎㅎ
최소점이 평균값이기 때문에 제곱을 쓴다는 건 결과론적인 해석이 아닐까요?
제곱을 써야만 하는 수학적 필연성이랄지, 이런게 있으면 좋을 것 같은데요
예를 들어, 정규분포 함수의 식에는 제곱을 이용한 표준편차가 들어가죠. 만약 표준편차를 다르게 정의했을 때 같은 식을 유도할 수 있는지, 그렇지 않다면 왜 그럴 수밖에 없는지 같은 것들 말입니다
본문의 내용은 결과론적인 해석이라기 보다
{ (변량-평균)²의 합 } / (변량 개수)를 분산으로 정의한 이유의
일부라 할 수 있습니다.
근본적인 이유로 들어가자면
{ (변량-대푯값)²의 합 } / (변량 개수)를 최소로 하는 대푯값이 평균이고,
이 평균을 모집단과 표본의 대푯값으로 쓰면 모평균의 가장 합리적인 추정치로
표본평균이 똭~ 나타납니다.
이 부분을 설명하려면 '최대우도추정법'이라는 걸 알아야 하는데
여기서 굳이 설명할 필요도 없고, 저도 잘 모르거든요 ^^;
그래서 '고등학교 수준에서 이 정도 설명이면 충분하겠다'
싶은 선에서 끝냈습니다.
이런 것 보면 아무 호기심 없이 그랬구나...그렇구나...하고 받아들이는 제 자신이 다행스럽네요. 문과여서 여태 통계문제 풀면서 저런 증명이나 원리를 몰라서 틀린 적도 없고 개이득
몰라도 되는 건 이과도 마찬가지입니다 ^^
그냥 궁금해할 수험생들을 위해 정리한거예요~
loss funtion?
손실함수라...
6시그마 교육받으면서 배웠던 건데
갑자기 왜 나올까요? ㅎㅎ
경영쪽 아니고 경제학부 통계시간에 교수님께 배운건데..
추정량과 모수의 차이를 나타내는 함수를 loss function 이라 하지않나요,,? 이거 배우면서 글에 나온 내용도 같이 알게되고 했던 기억이 나서요~
아~ 용어만 같고, 정의가 다른가 봅니다.
제가 배웠던 것은 품질관리쪽에서 손실 비용 계산에 쓰는 함수거든요.
이유식님이 얘기하신 손실함수까지는 공부를 못해봤어요 ^^
저도 맛보기정도만 한 비루한 학부생입니다 ㅠ
댓글 달아주셔서 감사합니다.
헐 신기하네요 이거 궁금했었는데 감사해요ㅋㅋㅋ 오 신기하다 맨날 하필 왜 제곱일까....이랬었는데
제가 기다렸던 반응이 드디어 나왔군요.
감사합니다 ㅎㅎ
절대값을 왜 안쓸까 했는데 쓰는데가 있기도 하군요
그러게나 말이에요.
저도 참고자료 보면서 처음 알았어요~
조만간 책나오면 살건데 박수칠님 글 너무 도움됩니다 모든글 지우지 말아주세요ㅠ
안지울테니 걱정마세요~ ^^