[박수칠] 다항함수의 그래프와 직선이 만나는 모양
게시글 주소: https://image.orbi.kr/0008093566
미적분1에서 배우는 미분법은 다항함수를 대상으로 하고 있습니다.
그 중에서도 삼차함수와 사차함수가 핵심이구요.
미분법을 이용해서 다항함수 f(x)의 그래프 개형을 그리는
일반적인 과정은 다음과 같습니다.
(1) 도함수 f’(x)로 함수 f(x)의 증감과 극점 조사하기
(2) x절편, y절편 조사하기
(3) 좌표평면에 극점과 x절편, y절편을 표시한 후 곡선으로 이어주기
이 과정을 따르면 대부분의 다항함수에 대한 그래프 개형을 그릴 수 있지만
시간이 걸리기도 하고, 문제 풀이에 필요한 다항함수의 특성을
놓칠 수도 있습니다.
따라서 위와 같은 과정을 거쳐 그래프 개형을 파악하는 방법 외에
함수식의 형태와 그래프 개형 사이의 관계에 대해서도 알아둬야 합니다.
1. 함수 의 그래프 모양 (단, n은 자연수)
다음 그림은 함수 (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)의 그래프를
하나의 좌표평면에 겹쳐 그린 것입니다.
여기서 다음과 같은 특징을 찾을 수 있습니다.
i) x > 0일 때
함수 의 그래프는 제1사분면에만 그려지고, 점 (1, 1)을 반드시 지납니다.
그리고 n의 값이 증가할수록 구간 (0, 1)에서는 x축으로 다가가고,
구간 (1, ∞)에서는 x축에서 멀어집니다.
ii) x < 0일 때
① n이 홀수일 때
함수 이 기함수이므로 x > 0일 때의 그래프와 원점에 대해 대칭입니다.
따라서 제3사분면에만 그려지고, 점 (-1, -1)을 반드시 지납니다.
그리고 n의 값이 증가할수록 구간 (-1, 0)에서는 x축으로 다가가고,
구간 (-∞, -1)에서는 x축에서 멀어집니다.
② n이 짝수일 때
함수 이 우함수이므로 x > 0일 때의 그래프와 y축에 대해 대칭입니다.
따라서 제2사분면에만 그려지고, 점 (-1, 1)을 반드시 지납니다.
그리고 n의 값이 증가할수록 구간 (-1, 0)에서는 x축으로 다가가고,
구간 (-∞, -1)에서는 x축에서 멀어집니다.
2. 최고차항의 차수와 최고차항의 계수 부호에 따른 그래프의 모양
일반적인 n차 함수 f(x)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
이 식을 으로 묶어주면
가 되고, x→∞ 또는 x→-∞일 때
이므로 f(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
여기서 의 부호가 양수일 때와 음수일 때, n이 홀수일 때와 짝수일 때로 나눠서
x→∞ 또는 x→-∞일 때의 그래프 모양을 조사하면 다음과 같습니다.
i) 일 때
① n이 홀수일 때
x→∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 오른쪽 위로,
x→-∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향한다.
② n이 짝수일 때
x→∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 오른쪽 위로,
x→-∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 왼쪽 위로 향한다.
ii) 일 때
① n이 홀수일 때
x→∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 오른쪽 아래로,
x→-∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 왼쪽 위로 향한다.
② n이 짝수일 때
x→∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 오른쪽 아래로,
x→-∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향한다.
3. 다항함수의 그래프와 x축이 만나는 모양
다항함수 f(x)에 대하여
f(a)=0이면 함수 f(x)의 그래프는 x축 위의 점 (a, 0)을 지나고
f’(a)=0이면 x=a일 때의 접선이 x축에 평행합니다.
다항함수 f(x)에 대하여
f(a)=0, f’(a)=0이 동시에 성립하면
함수 f(x)의 그래프가 x축 위의 점 (a, 0)을 지나면서
이 점에서의 접선이 x축에 평행하기 때문에
함수 f(x)의 그래프와 x축은 점 (a, 0)에서 접하게 됩니다.
이때, 다항식 f(x)는 (x-a)²을 인수로 가지며,
이유는 다음과 같습니다.
f(a)=0이므로 인수정리에 따라 다항식 f(x)는 x-a를 인수로 갖는다.
따라서 다항식 f(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
f(x) = (x-a)Q₁(x)
그리고 함수 f(x)의 도함수가
f’(x) = Q₁(x) + (x-a)Q₁’(x)
이고, f’(a)=0이므로 다음이 성립한다.
f’(a)=Q₁(a)=0
따라서 Q₁(x)도 x-a를 인수로 가지며,
Q₁(x), f(x)를 다음과 같이 표현할 수 있다.
Q₁(x) = (x-a)Q₂(x)
f(x)=(x-a)²Q₂(x)
반대로 다항식 f(x)가 (x-a)²을 인수로 가지면 어떨까요?
함수 f(x)의 그래프는 x축과 접할까요?
함수 f(x)가
f(x) = (x-a)²Q(x) (단, Q(a)≠0)
로 표현되면 먼저 f(a)=0이기 때문에
함수 f(x)의 그래프가 x축 위의 점 (a, 0)을 지납니다.
그리고 함수 f(x)의 도함수
f’(x) = 2(x-a)Q(x) + (x-a)²Q’(x)
로부터 f’(a)=0이 성립하므로 함수 f(x)의 그래프는
x=a일 때 x축에 접하게 됩니다.
또한 Q(a)≠0이고,
x→a-일 때와 x→a+일 때 모두 (x-a)² >0 이므로
x=a의 좌우에서 f(x) = (x-a)²Q(x)는 부호 변화가 없습니다.
따라서 함수 f(x) = (x-a)²Q(x)의 그래프는
x축 위의 점 (a, 0)에서 x축을 뚫지 않으면서 x축에 접합니다.
그럼 다항식 f(x)가 (x-a)³을 인수로 가지면 어떨까요?
함수 f(x)가
f(x) = (x-a)³Q(x) (단, Q(a)≠0)
표현되면 마찬가지로 f(a)=0이기 때문에
함수 f(x)의 그래프가 점 (a, 0)을 지납니다.
그리고 함수 f(x)의 도함수
f’(x) = 3(x-a)²Q(x) + (x-a)³Q’(x)
로부터 f’(a)=0이 성립하므로 함수 f(x)의 그래프는
x축 위의 점 (a, 0)에서 x축에 접하게 됩니다.
또한 Q(a)≠0이고,
x→a-일 때 (x-a)³ < 0, x→a+일 때 (x-a)³ >0 이므로
x=a의 좌우에서 f(x)의 부호는 반대입니다.
따라서 함수 f(x) = (x-a)³Q(x)의 그래프는
x축 위의 점 (a, 0)에서 x축을 뚫으면서 x축에 접합니다.
일반적으로 다항함수 f(x)가
(단, Q(a)≠0)
로 표현될 때, 함수 f(x)의 그래프와 x축이 만나는 모양은 다음과 같습니다.
n=1일 때 f(x)의 그래프는 점 (a, 0)에서 x축을 뚫는다.
n이 짝수일 때 f(x)의 그래프는 점 (a, 0)에서 x축을 뚫지 않으면서 접한다.
n이 3 이상의 홀수일 때 f(x)의 그래프는 점 (a, 0)에서 x축을 뚫으면서 접한다.
그리고 이 내용은
다음과 같이 곡선과 직선이 만나는 모양으로 확장됩니다.
4. 다항함수의 그래프와 직선이 만나는 모양
이차 이상의 다항함수 y=f(x)와 직선 y=g(x)에 대하여
f(a)=g(a), f’(a)=g’(a)가 성립하면
x=a일 때 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 접한다는 것은
알고 있을 겁니다.
여기서 새로운 함수 h(x)를 다음과 같이 정의합니다.
h(x) = f(x) - g(x)
그럼 다음이 성립하죠.
h(a)=f(a)-g(a)=0
그리고 함수 h(x)의 도함수가
h’(x) = f’(x) - g’(x)
이기 때문에 다음이 성립합니다.
h’(a) = f’(a) - g’(a) =0
따라서 함수 h(x)의 그래프는 x축에 접하고
h(x) = f(x) - g(x)는 (x-a)²을 인수로 갖게 됩니다.
반대로 h(x) = f(x) - g(x)가 (x-a)²을 인수로 가지면 어떨까요?
함수 h(x)가
h(x) = (x-a)² Q(x) (단, Q(a)≠0)
로 표현되면 h(a)=0, h’(a)=0이 성립함을 알 수 있습니다.
그리고
h(a)=0으로부터 f(a) = g(a)
h’(a)=0으로부터 f’(a)=g’(a)
이므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)는 x=a일 때 접합니다.
또한 Q(a)≠0이고,
x→a-일 때와 x→a+일 때 모두 (x-a)² >0 이므로
x=a의 좌우에서 h(x)는 부호 변화가 없습니다.
그럼 f(x)-g(x)도 부호 변화가 없기 때문에
x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫지 않으면서 접합니다.
그럼 다항식 h(x)가 (x-a)³을 인수로 가질 때는 어떨까요?
함수 h(x)가
h(x) = (x-a)³ Q(x) (단, Q(a)≠0)
로 표현되면 h(a)=0, h’(a)=0이 성립함을 알 수 있습니다.
그리고
h(a)=0으로부터 f(a)=g(a)
h’(a)=0으로부터 f’(a)=g’(a)
이므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)는 x=a일 때 접합니다.
또한 Q(a)≠0이고,
x→a-일 때 (x-a)³ < 0, x→a+일 때 (x-a)³ >0 이므로
x=a의 좌우에서 h(x)의 부호가 반대입니다.
그럼 f(x)-g(x)의 부호도 반대이기 때문에
x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫으면서 접합니다.
일반적으로 이차 이상의 다항식 f(x)와 일차 이하의 식 g(x)의 차가
(단, Q(a)≠0)
로 표현될 때, 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 만나는 모양은 다음과 같습니다.
n=1일 때 x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫는다.
n이 짝수일 때 x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫지 않으면서 접한다.
n이 3 이상의 홀수일 때 x=a애서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫으면서 접한다.
그럼 관련 문제 하나만 보겠습니다.
다음은 2011학년도 7월 학평 나형 20번 문제입니다.
사차함수 y=f(x)와 일차함수 y=g(x)가 x=-2, 1일 때 접하기 때문에
h(x)는 최소한 (x+2)²과 (x-1)²을 인수로 갖습니다.
그리고 h(x)가 최고차항 계수 1인 사차식이므로
h(x) = (x+2)² (x-1)²
로 표현할 수 있죠.
이걸 미분해서 극댓값을 구하면 끝나는 겁니다.
(참고로 답은 81/16입니다.)
아시겠죠? ^^
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
러셀 단과 1
대전 러셀 단과 듣고 싶은데 단과만 들을 수 있나요??
-
서초메가(재종) 다니던 3수생인데...
-
자료랑 강의랑 어떤지 잘 몰라서요 ㅠㅠ
-
혹시 자료비랑 수업료 얼마나 하시는지 아시는분 알려주시면 감사하겠습니다.
-
누굴 들어야 할까요?? 작수 2등급 입니다
-
고등학교 기숙사생이라 3주에 1번 귀가할 수 있어서 그 때마다 시대인재 단과 들을...
-
당신의 선택으로 옯간식을 만들어주세요. 자메추하러 가기...
-
시대인재 수학 단과 수업료는 지불했는데 교재는 따로 수업 전에 미리 구입을 해야...
-
재종 vs 단과 3
문과생입니다 재종을 가게 되면 시대인재 재종 혹은 잇올이나 러셀 독재에 시대 수학...
-
04생이고 문과입니다 재수를 하게 될 거 같은데 어떤 계게으로 하는 게 나을지 몰라...
-
올해 수능 러셀에서 쳤는데 공통3개 틀렸거든요.…? 강기원 쌤 대기 걸어두긴 했는데...
-
대치동에서 예비고1이 들을만한 영어 현강이나 단과 추천해주세요!!ㅜㅜ
-
작년 6 9 수 1 1 2 이긴 합니다 수학 현강 하나쯤은 듣고싶은데 현장가기에는...
-
안녕하세요. 디오르비입니다. 최근 오미크론 확산으로 인해 거리두기가 강화되면서...
-
예비 재수생이고 단과들을 예정인데 누가 더 나을까요? 올해 수능은 84 미적입니다...
-
단과 여러개 하면 갈 수 있다고 들은거 같은데 몇개부터 가능함?
-
지금 들어가려고 하는데 따라가기 버겁나요?
-
주말은 물론 공휴일에도.. 벚꽃이 피는 날에도, 장대비가 오는 날에도.. 말 한마디...
-
시대 화2 4
화2는 리바 안 나눠주나요..?
-
대치동 단과 추천 좀 해주세요 되도록이면 주말 수업으로.... 화2랑 수리논술 듣고...
-
대치시대인재 단과관련 질문드립니다 제발 답변해주세요 0
안녕하세요 대치시대인재 수학단과 알아보던 예비고1입니다 중3기말이끝나고 수학상을...
-
강남대성 국어 단과로 김백현 쌤 수업 듣고싶은데 사람이 얼마 정도 되나요?? 80분...
-
강대 단과에서 기벡 끝나고 뭐하나요? 확통은 6평 어려우면 한다고 하셔서 안할 거 같은데
-
음 공부는 혼자하는거랫는데 혼자하기엔 너무심심하고 외롭고 우울증걸려서...
-
요번에 현강들으러 대치쪽 갈듯한데 혼자갈것같아요.. 현강생들 주로...
-
현강 같이들으러가실분ㅠ 19
이번5월달부터 목동러셀이나 대치동쪽 단과 들을려고하는데 (엄마가강요하심ㅇㅇ)...
-
현강 질문 0
제가 국어만 단과로 현강듣고싶은데 현강 마감이 12월 30일쯤에 거의다...
-
수학 현강 추천 5
다시 수능을 칠려고합니다. 수학 단과 하나를 들을려고해요 지금 권경수T 기벡 특강을...
-
손원천 썜 단과 0
강대 손원천 선생님 단과 들으려고 하는 학생인데요. 제가 2월부터 재수학원 갈...
-
손원천 쌤 강의 0
1월부터 개강이던데 1월부터 정규 커리가 시작되는 건가요? 아니라면 1월에는 뭐하는...
-
손원천 쌤 강의 0
1월부터 개강이던데 1월부터 정규 커리가 시작되는 건가요? 아니라면 1월에는 뭐하는...
-
[오르비 교대 2관/3관] 오르비 교대 3관 단과시간표입니다. 0
안녕하세요 오르비 여러분들.사이트에 간간 접속해서 글 남기는건 또 오랜만인듯...
-
영어 현강 단과 추천해주세요! 유베이스- 영어 공부 방향도 조언해주시면 나한테 다 형님 1
안녕하세요. 전 미국에서 3~4년 살아서 영어를 못한다고 생각하지 않고 작년에...
-
[Shean.T] 6평 오답률 1위 38번의 영어적, 논리적 해설 + 써머 단과 홍보! 30
* 출처: EBSi § 안녕하세요, 오르비 교대 영어 강사이자, KISS EBS...
-
수업들어보신분있나요?? 이번에 들어보려하는데 원래 기벡 잘못해서 따라갈수 있을지...
-
단과도 4교시 풀타임으로 들으니까 재종반처럼빡세네요... 1
5시10분기상 학원7시도착 8시 수업시작~ 국영수 약 3시반 수업끝...
-
강북청솔 재종반다니다가 5월쯤에 개강하는 물리1 김덕근쌤현강(토요일)강좌...
-
학교 다니던거 부모님반대 다 만류하며자퇴하고 공부했는데 그 과정에서...
-
국어쌤들이 다 저희반에 안들어오시는 분들이라 ㅠㅜ 제가 문법이랑 비문학이 약한데...
-
안녕하세요~ 예체능하는 삼수생인데요ㅠㅠ 항상 국어가 5~6등급이라서요ㅠㅠ 이번...
-
대치동 현강 8
지금까지 교대역에 재수정규반 다니다가대치동 쪽 단과학원으로 옮겨볼까 하는데수학 같은...
-
안녕하세요! 이제 첫글이네요 ㅎㅎ 저는 강남 모 메이저 재수학원에 고시원생활하며...
-
대치동으로 다닐까하는데수업스타일이나 난이도좀 여쭤볼게요재종반등등으로...
좋은글 감사합니다~
저도 읽어주셔서 감사드립니다~ ^^
글 잘보고 가요! 감사합니당~
와주셔서 감사합니다 ^^
미적2 잘하려면 기출 n회독이 답인가요 ㅠ
미적2 뿐이겠습니까... 확통, 기벡도 그렇죠.
그런데 무조건 n회독을 한다고 되는 것이 아니고,
기본 개념/유형을 바탕으로 각각의 문제들에 대한 교과서적인 접근법을 파악하고
그 바탕 위에 특정 유형들에 대한 최적 접근법을 공부해야죠.
n회독 하다 보면 전에 푼 문제인데도 안풀리는 것들 있죠?
그건 교과서적인 접근법, 즉 계산이 복잡하든 어떻든 생각해내기 쉬운
풀이법에 대한 공부가 덜됐다는 얘기일 겁니다.
n회독 할 때 문제별로 최적화된 접근법에 너무 매달리지 말고,
교과서적인 접근법부터 익히면서 공부해야 됩니다.
잘봤습니다!!
감사합니다!! ^^
잘 봤습니다!
이과 재수생이지만 미적1을 한번 봐야 한다고 생각했었는데
공부하면서 보았던 다항함수들의 특징을 한번에 정리해 주시니 감사할따름!
수학1, 2와 달리 미적분1은 미적분2와 연관성이 매우 높기 때문에
미적분2에 준할 정도의 학습이 필요하다고 생각합니다.
열심히 봐주셔서 감사드리고,
앞으로도 계속 관심 부탁드립니다 ^^
네 좋은 칼럼 작성해주셔서 감사합니다!
칼럼감사해요..ㅠ
혹시 강의는 안찍으시나요?
그리고 궁금한거 한가지 물어보겠습니다..기출풀고 있는데 모르는문제 답지를 언제봐야지 좋을까요? 저는 풀다가 안풀리면 별표치고 넘어가고 다음날 풀어보고 하는식으로 계속 보류하고있어요 그러다가 별표 다섯개이상 넘어가는 문제도 있고 그러다가 짜릿하게 풀리는 문제도있어요 그래도 안풀리는 문제들 2014년 공도벡29번같은 문제등은 별표10개이상치고 고민해도 안풀리는데 이런문제들은 그냥 계속 보류하는게 나을까요?이런방법이 시간이 너무 오래걸려서 ...어떻게하면좋을까요?
교재 집필하면서 칼럼 올리는 것도 버거운지라
인강까지 찍으면 저 죽을지도 몰라요. ^^;
그리고 기출문제 풀 때요
자신이 체화한 개념/유형을 바탕으로
끈기 있게 도전하는 것... 엄청 중요합니다.
하지만 고난도 문제들은 좀 더 넓게 볼 필요가 있어요.
혼자 힘으로 풀었더라도 뭔가 놓친 것은 없는지,
풀이가 막히는데 어디서 뚫지 못한 것인지,
이 문제에 대한 최적 접근법이 무엇인지
이런 것들을 스스로 깨닫는데는 한계가 있거든요.
이미 해결한 문제라 하더라도 일정 수준 이상의 문제들은
해설지나 인강을 통해 자신의 풀이와 고수들의 풀이를 비교/분석해서
정리해나가는 것도 중요합니다.
해결하지 못한 문제 또한 계속 붙잡고 있지 말고,
'와~ 진짜 모르겠다' 싶으면 남들이 어떻게 풀었는지 보세요.
그리고 그 풀이를 그대로 따라하거나 외우지 말고,
자신이 알고 있는 개념과 유형별 접근법에 맞게
변형하고 논리를 만드세요.
만일 새로운 개념이나 접근법이 필요하면
그것까지 정리해두고 계속 봐야될거구요.
상세한답변감사드려요...ㅠ 말씀하신것 잘지켜볼께요..!그리고 나중에 개념칼럼들 이외에 기출분석하는 자세?원점수 100점을 쟁취하기위한 ㅇㅇ가지 요소 이런칼럼도 올려주셨으면 좋겠습니다..!마지막으로 항상 좋은 칼럼올려주셔서 감사합니다!
기출 분석은 키랄님의 글을 참고하시면 될 것 같습니다.
http://orbi.kr/0008071569
저도 칼럼 주제를 다양하게 하고 싶은데,
교재 집필에 집중하다 보니 주제도 이쪽으로만 몰리네요 ^^;