[박수칠] 극대·극소의 새로운 정의 이해하기
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2016학년도 수능에 적용되었던 2007 개정 교육과정에서
2017학년도 수능에 적용될 2009 개정 교육과정으로 넘어가면서
미적분에도 몇 가지 변화가 있었습니다.
(x→a+0) → (x→a+),
중간값 정리 → 사이값 정리,
정적분의 기본 정리 → 미적분의 기본 정리처럼
기호/용어가 바뀐 경우도 있고,
롤의 정리, 평균값 정리처럼
이과에서만 배우던 것을 문과에서도 배우도록
바뀐 경우도 있으며,
회전체의 부피처럼 아예 빠진 경우도 있습니다.
(정확하게는 고급 수학으로 쫓겨남)
그 중에서도 가장 압권인 것은
함수의 극대·극소 정의가 ‘확장’되었다는 점이죠.
(말이 확장이지 공부하는 입장에선 완전히 바뀐거나 다름없습니다.)
그래서 오늘은
극대·극소의 새로운 정의에 대해 얘기해볼까 합니다.
먼저 2007 개정 교육과정에서
극대·극소의 정의(이하 ’기존 정의’로 부름)는 다음과 같습니다.
2009 개정 교육과정에서도 이 정의는 유효합니다.
‘x=a에서의 연속’과 함께
’x=a를 경계로 증가에서 감소로 바뀌면’
또는 ‘x=a를 경계로 감소에서 증가로 바뀌면’
이라는 가정이 있으니까요.
다만 가정에 맞지 않는 상황이라고 해서
극대·극소가 나올 수 없다고 생각해서는 안됩니다.
그럼 2009 개정 교육과정에서
극대·극소 정의(이하 ‘확장 정의’로 부름)를 볼까요?
죽이쥬? ^^
뭔 얘긴지 이해가 잘 안됩니다.
일단 기존 정의와 비교해서 눈에 띄는 것은
‘연속’, ‘증가’, ‘감소’ 같은 단어가 안보인다는 점이네요.
이것이 확장 정의의 특징입니다.
‘연속’, ‘증가’, ‘감소’가 아닌 상황에서도
극대·극소를 정의할 수 있다는 뜻이죠.
그럼 예를 들어봐야죠. 일단 연속함수부터!
다음 그림과 같이 닫힌 구간 [a, b]에서 정의되는 함수 y=f(x)가 있습니다.
여기에 기존 정의를 적용하면
x=p, r에서 극대, x=q, s에서 극소임을 알 수 있습니다.
이제 확장 정의로 극대·극소를 찾아봅시다.
확장 정의를 적용하기 위해서는
정의에 나와 있듯이 열린 구간을 하나하나 잡으면서
극대·극소를 따져야 합니다.
먼저 아래 그림과 같이 x=p를 포함하는 열린 구간 I₁과
x=r을 포함하는 열린 구간 I₂를 잡습니다.
열린 구간 I₁에서는 최댓값이 f(p)이므로
함수 y=f(x)는 x=p에서 극대입니다.
마찬가지로 열린 구간 I₂에서는 최댓값이 f(r)이므로
함수 y=f(x)는 x=r에서 극대구요.
또 다른 구간을 잡아봅시다.
다음 그림과 같이 x=q를 포함하는 열린 구간 I₃과
x=s를 포함하는 열린 구간 I₄를 잡습니다.
열린 구간 I₃에서는 최솟값이 f(q)이므로
함수 y=f(x)는 x=q에서 극소입니다.
마찬가지로 열린 구간 I₄에서는 최솟값이 f(s)이므로
함수 y=f(x)는 x=s에서 극소입니다.
확장 정의에서 특이한 점은
그래프의 좌우 양끝에서도 극대·극소를 정의할 수 있다는 것입니다.
다음 그림과 같이 x=a를 포함하는 열린 구간 I₅와
x=b를 포함하는 열린 구간 I₆을 잡습니다.
열린 구간 I₅에서는 최솟값이 f(a)이므로
함수 y=f(x)는 x=a에서 극소입니다.
마찬가지로 열린 구간 I₆에서는 최댓값이 f(b)이므로
함수 y=f(x)는 x=b에서 극대입니다.
(그래프의 양끝점에 대해 확장 정의를 적용하면
‘최댓값이 존재할 경우, 최댓값은 극댓값 가운데 가장 큰 것이다’,
‘최솟값이 존재할 경우, 최솟값은 극솟값 가운데 가장 작은 것이다’
라는 명제가 성립하게 됩니다. 뭔가 논리적이지 않나요? ^^
이 때문에 그래프의 양 끝점에 대해 확장 정의를 적용할 때
함수 y=f(x)가 열린 구간 I₅, I₆의 일부에서 정의되지 않는 것은
문제 삼지 않습니다.)
그럼 열린 구간을 다음과 같이 잡으면 어떻게 될까요?
열린 구간 I₇에서는 최대·최소가 존재하지 않기 때문에
당연히 극대·극소도 없습니다.
여기까지 이해하셨죠?
그럼 이런 의문을 가질 수 있습니다.
열린 구간 I₈을 다음과 같이 잡으면 최솟값이 f(q)니까
x=q에서만 극소가 되고, x=s에서는 극소가 아닌 것 같은데요?
그건 아닙니다.
확장 정의의 시작 부분을 보면
‘어떤 열린 구간 I에서~’라고 되어있죠?
여기에서의 ‘어떤’은 명제에서 공부하던 바로 그 ‘어떤’입니다.
‘모든’에 상대되는 말이구요.
그렇다면
f(s)가 최솟값이 되는 열린 구간이 단 하나라도 존재하면
함수 y=f(x)는 x=s에서 극소가 되기 때문에
위와 같은 의문은 확장 정의에 맞지 않습니다.
지금까지 연속함수에서 극대·극소의 확장 정의가
어떻게 설명되는지 알아봤습니다.
(힘드네요 ㅡㅡ;)
그래도 불연속점을 갖는 함수에서
확장 정의가 어떻게 적용되는지 알아봐야죠 ^^
다음 그림과 같이 닫힌 구간 [a, b)에서 정의되는
함수 y=f(x)가 있습니다.
여기에 x=p를 포함하는 열린 구간 I₁, x=q를 포함하는 열린 구간 I₂,
x=r을 포함하는 열린 구간 I₃을 잡습니다.
열린 구간 I₁에서는 최댓값이 f(p)이므로
함수 y=f(x)는 x=p에서 극대입니다.
열린 구간 I₂에서는 최솟값이 f(q)이므로
함수 y=f(x)는 x=q에서 극소입니다.
열린 구간 I₃에서는 최댓값, 최솟값이 존재하지 않습니다,
그리고 f(r)이 최댓값이 되는 열린 구간이 없기 때문에
함수 y=f(x)는 x=r에서 극대가 될 수 없습니다.
그럼 함수 y=f(x)는
x=p에서 극대, x=a, q, s에서 극소가 되겠네요.
확장 정의에서 주목할 부분은
상수함수에서도 극대, 극소를 정의할 수 있다는 점입니다.
(점입가경 ㅡㅡ;)
함수 f(x)=1은 어떤 열린 구간을 잡든
구간 안의 모든 점에서 최대 그리고 최소가 됩니다.
따라서 모든 점에서 극대 그리고 극소가 되죠.
그렇다면 함숫값이 일정한 구간을 갖는 함수에서는 어떨까요?
다음 그림과 같이 함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 정의되고
닫힌 구간 [c, d]에서 함숫값이 일정하다고 가정합시다.
그럼 상수함수에서와 마찬가지로
함수 y=f(x)는 열린 구간 (c, d)에 속하는 모든 점에서
극대 그리고 극소입니다.
함숫값이 일정한 구간의 경계인
x=c, d에서는 어떨까요?
다음 그림과 같이 x=c를 포함하는 열린 구간 I₁
x=d를 포함하는 열린 구간 I₂를 잡습니다.
열린 구간 I₁에서는 최댓값이 f(c)이므로
함수 y=f(x)는 x=c에서 극대입니다.
열린 구간 I₂에서는 최솟값이 f(d)이므로
함수 y=f(x)는 x=d에서 극소입니다.
신기하게도
함숫값이 일정한 구간의 경계는
극대, 극소 둘 중 하나만 해당되네요.
드디어 다 알아봤습니다!
복잡하쥬?
그럼 시험에도 이렇게 복잡하게 나오느냐?
절대 안그렇죠 ^^
미적분1의 극대, 극소 단원에서는
도함수를 이용해서 극대, 극소를 찾는 것이 핵심입니다.
그럼 불연속점을 갖는 함수가 시험에 안나오겠죠?
그리고 다항함수 중심으로 다루는데
상수함수를 제외한 다항함수는 함숫값이 일정한 구간을 갖지 않습니다.
오호~ 극대점, 극소점이 연속적으로 나타나는 경우도 빠지겠네요.
그럼 시험에 나올 내용은 기존 정의와 별 차이가 없습니다.
아래와 같이 알아두면 되는거죠.
이쯤이면
‘극대·극소 정의 그대로 두지 왜 이 난리인가?’
하는 생각도 듭니다.
하지만 극대·극소의 기존 정의는 헛점이 있기 때문에
계속 논란이 되었습니다.
(자세한 내용은 아래 참고 자료에 나와 있습니다.
구글링하면 바로 떠요.)
그 결과로 나온 것이 확장 정의이고, 이에 맞물려서
증가상태, 감소상태는 교육과정에서 완전히 없어졌습니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다 ^^
<참고 자료>
계승혁(서울대학교), 하길찬(세종대학교)
"우리나라 고등학교 수학 교과서에서 함수의 증감과 극대·극소를 설명하는 방식에 대한 비판적 논의"
한국수학교육학회지 시리즈 A <수학교육> 2010. 05. 제49권 제2호 p.247-257
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https://youtu.be/MgyhJ-F-IpM?si=vvUMxjLEbTS66mFe
와.. 감사합니다.
저도 읽어주셔서 감사합니다~
열린 구간 I₁에서는 최댓값이 f(p)이므로
함수 y=f(x)는 x=p에서 극대입니다.
열린 구간 I₂에서는 최솟값이 f(q)이므로
함수 y=f(x)는 x=q에서 극소입니다.
열린 구간 I₃에서는 최댓값, 최솟값이 존재하지 않습니다,
그리고 f(r)이 최댓값이 되는 열린 구간이 없기 때문에
함수 y=f(x)는 x=r에서 극대가 될 수 없습니다.
그럼 함수 y=f(x)는
x=a, p에서 극대, x=q에서 극소가 되겠네요.
이 부분에서, x=a,p 에서 극대 부분에 오타가 들어간것같습니다 x=a 는 빼야하지않나요..?!
(항상 칼럼 감사히 읽고 있습니다)
극소로 가야되는데 극대로 붙었네요. s도 빼먹고...
알려주셔서 감사합니다 ^^
너무 복잡해졌어요 ㅠㅠ
좋은글 감사합니다 ^^
'열린 구간 잡아서 최대, 최소 찾는다' 이것만 기억하심 되구요,
실제 문제 풀 땐 본문 맨 마지막 부분만 쓰면 됩니다.
참고 자료 보면 수학 교사 설문 자료가 있는데
대부분 기존 정의보다 확장 정의가 가르치기 쉽다고 했어요.
항상 글 잘 보고 있습니다.
엄청 꼼꼼하게 잘 정리해 놓으셔서 공부하는 입장에서는 도움을 많이 받네요..항상 감사합니다(_ _)
잘 봐주셔서 저도 감사드립니다 ^^
제 개인적인 추측인데 수학자들이 극대극소를 처음 정의할때는 왠지 예전 교육과정식으로 정의 했다가 3차원에서 극대극소 따지기가 증감으로 애매해지니까 정의를 바꾼게 아닌가 싶습니다. 그걸 역으로 2차원에 대해서도 확장한게 아닐지...대학가서 다변수해석 처음 배우면서 문득 떠올랐던 생각이네요 ㅋㅋ
그런 얘기 하시니
저도 갑자기 최적화 수업 듣던 기억이... ㅋㅋ
개념 정의하고 모순 생기면 다시 정의하고
이게 이학, 공학의 발전 과정 아니겠습니까~^^
미적분1 잘 보고 있습니다!
구입 감사드립니다~ ^^
PDF 부교재 존재를 모르는 분들이 종종 있던데
혹시나 싶어 다운로드 링크 알려드리니 참고하시기 바랍니다.
http://orbi.kr/0005897498
여러분 입실론델타도 공부를 하시면 편합... 읍읍
알고나면 별거 아닌데
첨 배울 때 이상하게 거부감이 생기더라구요 ㅋㅋㅋ
갓수칠.. 잘보고가요!!
감사합니다! ^^
이내용 다몰라도 마지막 부분만알면되나요??
네~ 실제로 출제될 극대·극소 개념은
본문 맨 마지막에 있는 '함수의 극대·극소-Ⅱ'입니다.
앞부분은 개념 완전히 이해하고 싶을 때 보면 되구요 ^^
이거랑 덧붙여서
미분가능이면 극값일경우 미분계수가 0이다도 설명해주시면 좋을것같습니다
극대의경우 f(a)≥f(x)이고
x가 a보다 크고 작을때 나눠서 0일수밖에 없음을 증명하는것이요
아이들가르치다보면 이 부분을 좀 생소하고 어려워하더라구오
글쎄요... 그 부분은 증명 방법이 정해져 있어서
더 자세하게 설명할 여지가 있을지 자신이 없네요.
머리 굴려서 좋은 방법 떠오르면 글 써보겠습니다.
음 예전에 성지교과서에 열린구간이고 미분가능하면 최대나 최소를 가지는데 양끝값이 아닌점에서의 미분계수는 0이다
이것을 설명한 부분이 있구
또 기출문제에서 정확히 년도는 기억은 안나는데 아마 최대 최소를 이용해서 문제를 풀면되는 문항이 있습니다
연관지어서 설명해주는것도 좋을것같습니다!
아무쪼록 좋은칼럼 감사드려요
다음 칼럼에 고려해보겠습니다.
감사함니다!
혹시 이런자세한개념들이 논술에 출제될가능성있나요?
(제가 논술을 가르치지 않아서 정확한 답변이 아닐 수 있습니다.)
대학별로 논술 문제 유형이 천차만별입니다.
그 중엔 교과서에서 배우는 개념에 대한 제시문을 주고,
깊이 있는 해석을 요구하거나 다양한 상황에 적용시키는 것들도 있죠.
이런 경우에는 가능성이 조금 있지 않을까 싶네요 ^^;
혹시 극대극소 정의가 바뀌면서 과거 기출문제중에 답이 달라지는 문제도 존재하나요?
기출이 아니여도 모평이나 사설에서 바뀔만할거같은데;;
없습니다.
지금까지의 기출에서 극대·극소 문제에 포함된 함수는
연속함수면서 함숫값이 일정한 구간이 없는 경우로 한정되어 있습니다.
앞으로도 이 경향은 바뀌지 않을 것으로 예상되구요.
그렇다면 본문 마지막의 '함수의 극대·극소-Ⅱ'에 해당되기 때문에
답이 바뀌지 않습니다.
(몇년도인지 기억이 안나는데
연속이면서 미분불가능한 점에서의 극대·극소는 다룬 적이 있습니다.)
명쾌한 설명 감사해요^^
이전교육과정의 극대극소 설명이 틀리고 이번교육과정에서 극대극소 설명이 맞는게 아닙니다. 둘다 맞는말인데 과거에는 '연속함수'라는 전제조건하의 불완전한 정의를 내린것이고(사실 정의라고 볼수없죠) 새개정에선 연속성과 상관없는 완전한 정의를 내린것입니다. 문제에 불연속한부분의 극대극소가 나온적도 없지만 나왔다고 해서 이전 교육과정 내용이 틀린건 아닙니다. 다만 냈으면 논란이 되겠죠.
역시 제르맹님!
제가 본문에서 '바뀐 정의'라고 안하고
'확장 정의'라고 하는 이유가 이겁니다~ ^^
엄밀히말하면 정의라고보기 힘든데 저도 딱히 대체할말을 못찾아서 그냥 정의라고 하게되더라구요 ㅋㅋㅋ
간단히 요약한다면 (열린구간에서의 양끝점을 제외하고)
주변값(매우 작은 간격으로 보았을때)보다 작거나 큰값을 말한다고 봐도 무방한가요?
만약 상수함수처럼 일정한 구간이 있다면 전부다 극대,극소이고요
(상수함수같은 구간의 양끝값 제외 - 양끝값은 그 좌 또는 우의 함수모양을 보고)
맞습니다~
일부 교과서에서 x=a에서의 극대·극소를 설명하면서
'열린 구간' 대신 'x=a에 충분히 가까운'이라는 표현을 쓰는데
hedge0613님의 댓글과 일맥상통하는 부분이죠.
옙 감사합니다
(아 또 이전에 올려주신 역함수와의 교점칼럼 정말 잘 읽었어요 수1 수2에선 y=x 로 죄다 두고 풀었는데 오개념 잡아주셔서 감사합니다)
앞으로도 계속 관심 부탁드립니다~ ^^
소리없이 잘보고 있습니다!
교육과정에서 무엇이 바뀌는지 알 수 있어서 좋네요
좋은 글 감사합니다 ㅎㅎ
저도 감사드려요!
소리 없어도 되니 앞으로도 쭉~ 잘봐주세요 ^^
음... 다시 생각해보니
'좋아요'를 눌러서 조금만 티를 내주시면
다음 글 쓰는데 더 힘이 날 것 같습니다 ^^
저렇게 되면 극대 극소 라는 단어 자체도 바꿔야 할듯요... 극대 극소 라는 국어적 말의 뜻은 이전 교육과정 정의에 최적화된 단어 같음...
그나저나 박수칠님 글 잘보고 있습니다.
고맙네요~^^
영문으로 보면 극대(local maximum), 극소(local minimum),
최대(global maximum), 최소(global minimum)로
용어의 의미가 잘 담겨 있습니다.
반면에 한문으로 보면 극대(極大), 극소(極小)는
최대(最大), 최소(最小)와 별 차이 없어 보이죠.
극대, 극소를 국부적(局部的) 최대, 국부적 최소로 하면
의미는 잘 연결되는데 줄이는 것이 잘 안되고...
유리수가 안바뀌는 것처럼
극대, 극소도 그대로 가지 않을까 싶습니다.
칼럼 잘 봐주셔서 감사합니다 ^^
저는 확장 정의로만 설명하고, 불연속점일 경우, 연속이지만 미분가능하지 않는 점일 경우, 미분가능한 점일 경우 각각에 대하여 그래프 상의 특징과 그리고 미분을 이용해서 극대 극소를 판정할 때 다른 점(불연속이면 좌우 미분계수 부호가 달라지더라도 극대 극소가 아닐 수 있고 연속이지만 미분불가능한 점에서는 좌우 미분계수부호가 바뀌면 극대 극소지만 그 점에서 미분계수 값이 존재하지 않고 등등)이 무엇인가에 대해서 설명해여. 과외하면서 느낀 것이 정의를 두 개로 설명하면 학생들이 헷갈려 하더라구요. 그래서 정의는 하나로, 다만 연속성과 미분가능성에 따라 그래프 특징과 미분계수의 존재 유무가 달라진다라고 설명해요.
박수칠 수학에 저 부분을 쓰면서
어떤 방식으로 정리할지 굉장히 고민했습니다.
확장 정의를 끝까지 고수하면
불연속일 때, 연속이지만 미분불가능할 때, 미분가능할 때를
계속 구분해줘야 하니까요.
그 결과로 나온 것이 확장 정의를 설명한 다음,
도함수를 이용한 극대, 극소 판별과 연결되도록
기존 정의를 추가하는 것이었지요.
교육과정에서는 불연속인 점에서의
극대, 극소를 다루지 않는다는 점과 연결되기도 하구요.
어느 쪽으로 가르치든 받아들이는 수험생 입장에선
장단점이 있을 수 밖에 없겠죠 ^^
저는 그냥 한낱 수학 과외 좀 하는 의대생일뿐이구 박수칠님은 저보다 오랫동안 수학을 공부하시고 학생들을 가르쳐 오셨으니 훨씬 더 체계적으로 수업을 하시겠지요 ㅋㅋ
경험 차이가 있으니 제 쪽이 더 체계적이긴 하겠지만,
뜅뜅이님은 수험생활을 겪은 지 얼마 안됐다는 장점이 있잖아요.
학생들 입장에서 생각하는 건 뜅뜅이님이 더 잘 하실 것 같습니다 ^^
기하와벡터도 정의자체가 바뀐 경우도 있나요???
사라진 건 있어도 정의가 바뀐건 없습니다 ^^
감사합니다.
저도 읽어주셔서 감사드립니다 ^^
어?참고자료제가 구글링하다가한번 읽어봣는데 저게저내용이군요..
증가상태 감소상태도 사라졌나요..?
모든 교과서에서
증가상태, 감소상태라는 용어가 사라졌습니다.
평균값 정리가 문·이과 공통과정으로 들어오면서
함수의 증감-도함수 부호의 관계에 대한 정확한 증명이 가능해졌기 때문에
논리적으로 명확하지 않은 개념을 사용할 이유가 없어졌죠.
이 얘기도 참고자료에 언급되어 있습니다.
극대 극소 최대 최소,, 진짜 영어로 배우면 쉽게 와 닿을텐데 일본식인지 중국식인지 모르겠지만 한자교육이 부족한 요즘 세대에 맞지않는 표기방식같네요.. 그렇다고 영어로 바꾸자하면 여러사람들이 들고일어날꺼같고
극대, 극소 영문명 보면 진짜 의미가 확~오죠.
대학가서 공부할 때 모든 용어를 영어로 리셋시키면서
고등학교 교과서 용어를 왜 그렇게 정했을까 하는 생각도 많이 들었구요.
슬램덩크 팬이신가 봅니다 ^^
그럼 평가원 기출에서 "이 함수는 증가함수이다" 라는 표현을 못써요? 대신 f'>0 으로 하는거에요?
어느 부분에서 오해하셨는지 모르겠는데 절대 그렇지 않습니다.
모든 교과서에서 극대·극소 정의 앞에 설명하는 것이 증가·감소예요.
그리고 증가·감소의 정의에는 함수의 연속성에 대한 단서가 없습니다.
미분불가능점을 갖는 함수더라도 얼마든지 증가·감소를 정의할 수 있죠.
아~ 그말이구나 ㅋㅋ
증가의 정의는 x1
그렇다면, 상수함수는 모든 점에서 극대이자 극소인가요?
넵
ㅋㅋ특이하네요~ 예전 과정에 너무 익숙해져 있어서 그런지
기존 정의를 적용하기 힘든 함수들이 있거든요.
그 때문에 극대, 극소 정의가 좀 더 일반화됐다고 보면 됩니다.
오오... 현 교육과정으로만 배워서 예전 교육과정에 이런 헛점이 있었는지 처음 알았습니다. 좋은 글 감사합니다!
저도 긴~글 읽어주셔서 감사드립니다 ^^
저자님 새교육과정 수1,수2,기벡같은건 아직안나온건가요?
지금 진행중인 부교재 작업 끝나면 확통 집필 들어갑니다.
올해 여름~가을 사이에 나올 예정이구요.
기벡-수2는 그 뒤에 순서대로 쓸 예정입니다.
박수칠때떠나라
매정한거보소..
ㅋㅋ 저도 그생각 많이 났었음 영화
그러니까 애매했던 부분을 학계에서 확장적으로 정의한 것 뿐이고 수험생인 우리는 그냥 교과서에 나온 정의대로만 알고있으면 된다는거죠?
문과인데 저런내용 책에 안실려있어서..
맞습니다.
이 칼럼은 극대, 극소의 새로운 정의를 깊이 있게 이해해보자는 의도로 쓴 것이며,
실제 수능에서의 극대, 극소, 문제는 도함수의 부호와 연결되기 때문에
기존 정의를 적용해도 충분합니다.
극대극소 정의를 읽고 여러경우를 생각해보다가
상수함수면 어떻게 되는거지 하고 찾아봤는데
이런 좋은 글이!!
감사합니다.
오래 전 글인데 용케 찾으셨네요!
읽어주셔서 감사드리고, 열공하세요~ ^^
이게 교육청에서 문제로 나오네용 ㄷㄷ
3평 14번 문제 얘기 맞죠?
극대, 극소 정의 제대로 모르면 x=0에서의 극대 때문에 헷갈리기 쉽죠.
불연속인 함수로 예시든 부분에서 닫힌구간 [a,b] 라고 하셨는데요 틀렸습니다. 수정해주세요. 적어도 [a,b) 라고 표기하셔야 정상일듯.
그렇네요... 제보 감사합니다.
정말 대단하시네요. 완전 잘 이해돼요!! 감사합니다.
확장정의를 차용하면 그래프의 양 끝점에서도 극값이 정의된다니요? 확장정의에 의하면 열린구간I의 '모든 점'에서 f(a)와 f(x)의 값을 비교할 수 있어야 합니다. 따라서 I는 정의역의 부분집합이여야 합니다.
희대의 헛소리를 써놓으셨네요..