제곱근호에 대해 정말 아시는분께 질문드립니다.
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n제곱하여 실수 a가 되는 수를 a의 n제곱근이라고 합니다.
그리고 그 중 n이 짝수일 때 a의 n제곱근 중 실수인 것은
플러스,마이너스 n제곱근a
n이 홀수일 때 a의 n제곱근 중 실수 인 것은 n제곱근 a로 표현합니다. (제곱근호를 사용하여)
그런데 '제곱근호'를 사용하는 경우, '제곱근호'를 사용하여 표현할 때는 a의 n제곱근 중 실수인 것 중에서
표현하는데, 루트-2 같은 경우, 근호를 사용했지만 결코 실수는 아닙니다.
반대로 세제곱근-8의 경우 -8의 세제곱근 중 실수인 것을 뜻합니다.(-2)
제곱근 중 제곱근호를 사용하여 표현할 경우 정확한 의미를 알고싶습니다.
질문드립니다.
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n이 짝수일 때 n제곱근a(n√a) 는 n제곱해서 a가 되는 실수 중 양수를 말합니다. 물론 a는 양수일 때에만 존재하겠죠. 이 때 양수라는 개념이 잘 정의되기 때문에 아무런 문제가 생기지 않습니다.
복소수의 경우엔 이야기가 약간 다른데요 실수에서처럼 순서관계(두 수의 크기비교)를 줄 수가 없어서 허수단위 i를 -i로 바꾸어도 우리의 수학에서는 바뀌는 것이 하나도 없습니다.
conjugation isomorphism 이라는 것을 나중에 공부하신다면 더 명확하게 이해하실겁니다.
정리하자면 a가 양수이고, n이 짝수이면 n제곱해서 a가 되는 실수는 두개가 있고 이중 양수를 n제곱근a 라고 부릅니다.
a가 실수 이고 n이 홀수 일 때 홀수차 다항식 x^n-a는 항상 실근을 하나 가지고(중간값의 정리와 단조성) 이 실근을 n제곱근a라고 부릅니다.
원래 n이 짝수일 때는 제곱근호안에 음수가 들어 올수 없지만 n=2일때는 특별히 제곱근호안에 음수가 들어와도 됩니다.(허수) 반면 n이 홀수일때는 제곱근호 안에 모든 수가 다 들어올 수 있습니다. 따라서 세제곱근 -8은 -2로 실수인것이죠. n=2일때만 실수가 아님에도 불구하고 제곱근호를 써서 나타내는 겁니다.n=2일때를 우리가 이차방정식풀때든지할때 근으로 많이 등장하다보니 n=2일때 제곱근호를 써서 나타내자고 약속한겁니다. n=4,6,8일때는 모두 허수이므로 제곱근호를 쓰지 않습니다.
그렇다면 결국 제곱근호(루트)의 정의는 뭐랄까, 경우에 따라 달라지는 건가요?
즉, a의 n제곱근 중 실수인 것이라는 정의도, 실수 중 양수인 것이라는 정의도 반례가 존재합니다.
혹은 n제곱해서 a가 되는 것이라는 정의도 부족합니다.
즉, 제가 묻고자 하는 것은 제곱근호(루트부호)의 정확한 의미는 무엇입니까? 알려주세요.
n이 짝수이고 a가 양수일땐 항상 근이 두개가 있어서 양수로 정의하고요
n이 홀수일땐 a값에 상관없이 항상 근이 하나만 있어서 그냥 그 수로 정의한다니까요?
어디에 무슨 반례가 존재한다는건지 설명좀 해주시죠
Schrodinge.... 님의 답변에 대한 반례가 아니라
제가 답변드린 내용에서 처럼, 제곱근호에 대한 정의는 n과 a에 따라
특히 a가 음수인 경우 처럼
어떤 경우에 따라 그 정의가 달라지는 것이 맞냐는 것이지요.
즉 제곤근호 자체에 대한 보편적 정의가 성립하는지의 여부를 묻는것입니다.