[칼럼] 당신이 수학'만' 못한다면

오늘 써볼 칼럼에서는 수학과 과탐의 차이를 중점으로, 수학의 특징에 대해 얘기해보려 합니다.

[평가원의 출제 방향]

아래는 평가원 홈페이지에 있는 "2025학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 출제 방향 보도자료"에서 발췌하였습니다.

[해당 사이트로 바로가기]

여기서 가장 주요하게 봐야 하는 부분은 마지막 두 부분입니다. 정리하면 다음과 같습니다.

수학의 개념과 원리에 대한 완전한 이해를 통해 문제 이해 능력과 사고력을 요구한다.

위 글의 "문제 이해 능력"과 "사고력"이 수학과 다른 과목을, 내신 수학과 수능 수학을 판가름하는 엄청난 키워드라고 생각합니다.

다음은 평가원의 출제 방향을 바탕으로, 과탐과 수학 차이점을 제시하며 수능 수학이 얼마나 "독보적"인 과목인지 설명하겠습니다.

[개념적 특성]

위 그림은 과탐과 수학의 개념이 정리되어 있는 모습을 도식화한 모습입니다.

개념의 관점에서 둘의 가장 큰 차이점은, 과탐은 단원 간의 연결이 희미한 반면, 수학은 3년동안 배우는 개념 모두가 긴밀히 연결 되어 있습니다.

그 긴밀한 연결이라 함은, 

극한 -> 연속 -> 미분 가능성 등의 개념적 연결

삼각함수 -> 삼각함수의 그래프 -> 삼각함수의 미적분 등의 확장형 연결

인수분해, 다항식의 연산 등의 포괄적 연결

등이 있습니다.

각 연결들은 모두 중요하며, 하나라도 부족한 경우 개념/원리의 완벽한 이해를 하지 못 하고 사고력을 활용하지 못 합니다. 그리고 이 것이 내신 수학 점수과 수능 수학 점수의 괴리를 만들어냅니다.

내신 수학은 시험 범위가 작게 정해져 있고, 어느 정도는 교과서 또는 부교재 내에서 출제 해야 하기 때문에, 사고력보다 문제 풀이, 시간 단축이 더 중요합니다. 다만 모의고사 또는 수능은 완전 정반대죠. 이런 현상은 공부 분위기가 느슨한 고등학교에서 전교 1등이 모의고사를 3-4등급 맞게 하는 원인 중 하나 입니다.

[같은 공부, 다른 효과]

먼저 과탐부터 볼까요

개념을 배우고 그 개념을 활용한 기출 문제 풀이, 스킬 배우기 등은 각 파트의 개념을 강화해줍니다.

물론 시간이 지나고 진도를 나갈 때마다 예전에 배운 부분의 테두리가 약해집니다. 따라서 개념 수업을 끝내고 수능특강, 수능완성, 자이스토리(검은책) 등을 활용해 처음부터 개념을 정리하고 다시 테두리를 보완하는 작업이 필요하죠.

이제 수많은 개념 정리와 문제 풀이, 기출 분석 등을 통해 각 파트를 잊지 않게 되면, 우린 모의고사를 풉니다.

(이런 걸 수능 감 유지하기라고 하던가요?)

과탐의 모의고사는 "시간 단축"의 면에서 굉장히 중요합니다. 어떤 번호에 어떤 문제가 나오고, 문제를 마주쳤을 때 얼마나 빠르게 대응할 수 있는가. 모의고사를 풀면서 필요 없는 개념은 버리고 중요한 것들만 응집력 있게 정리하게 됩니다. 이는 수능 날 긴장한 당신을 위해 자신감을 갖게 해줍니다.

과탐에서 연결은 개념을 이해할 때만 유용하기 때문에, 모의고사와 수능에서는 소단원 간의 연결은 중요하지 않습니다.

자 이제 수학을 봅시다.

과탐과 같이 수학도, 각 부분의 개념을 이해하고, 풀이 방법을 익히기 위해 기출 또는 N제를 풀죠. 이 부분은 과탐과 큰 차이가 없습니다. 문제를 풀고, 풀이를 익히며 연습해줍니다.

가장 큰 차이점은 모의고사의 효과입니다.모의고사를 푸는 것은 과탐과 달리 각 개념 간의 연결을 강화해줍니다. 모든 어려운 문제는 수1/수2/미적분으로 딱딱 나뉘지 않습니다. 어려운 문제를 풀기 위해선 지금까지 배웠던 것들을 모두 활용해 풀이를 전개해 나가야 합니다.

따라서 수학 모의고사는 시간을 재지 않고 풀어야 합니다. 어려운 문제는 시간이 얼마나 걸리더라도 끝까지 붙잡고 풀어야, 수능에서 필요한 능력들을 키울 수 있습니다.

이렇게 모의고사를 풀게 되면 여러 개념을 자유로이 사용하며 문제를 풀 수 있게 됩니다. 그리고 모든 개념이 "수능 수학"이라는 하나의 개념으로 뭉쳐지는 거죠. 

궁금하시다면 한번 수학 잘하는 친구에게 다음처럼 물어보세요. "너 삼각함수 언제 배웠는지 기억나?" 

장담컨데 수학 1등급 중 절반은 모를겁니다. 왜냐면 수학을 잘하는 사람에게 삼각함수, 미분, 적분, 일차 방정식, 인수 분해는 모두, "수학"이라는 큰 진리 중 일부이기 때문입니다.

[어떻게 공부해야 하는가?]

제가 이제부터 적을 내용은 제가 생각하는 100점을 받기 위해 공부해야 하는 방식입니다. 

(과탐처럼 개념을 따로따로 공부해도 70점은 나옵니다. 그 정도로 만족하면 안 읽으셔도 좋습니다.)

1. 개념의 근거를 이해하라

수학 교육 과정의 순서는 학생들이 이해하기 쉽게 짜여있습니다. 따라서 여러분이 어느 부분을 공부하던, 모두 이해할 수 있는 내용입니다. 예시를 들어보겠습니다.

위 식은 자연 상수 e의 정의입니다. 다음 극한을 한번 볼까요.

이건 미적분 수험생이라면 무조건 외우고 있는 공식일 겁니다.

이런 공식들을 암기할 땐, 그 근거와 이유를 알아야 합니다. 문제가 좀 복잡해지면 근거를 아냐, 모르냐가 중요하기 때문입니다. 이렇게 말이죠.

과연 자연 상수 e의 정의와 극한값이 왜 저렇게 되는지, 그 "근거"를 몰랐다면 이런 접근을 할 수 있을까요? 

절대 불가능합니다.

따라서 공부할 때, 공식 암기도 중요하지만, 그 근거를 이해하는 것이 더더욱 중요하다고 할 수 있습니다.

2. 어려운 문제는 풀릴 때까지 푼다.

많은 분들이 말씀하십니다. "수학은 첫 수식이 제일 중요하다." 

하지만 최근 수능에서 나온 어려운 수학 문제들은, 모두 식의 해석과 전개가 중요했고 이는 대부분 풀이 중간에 발생합니다.

위에서도 말했지만 어떤 어려운 문제를 풀더라도, 계속해서 식을 이어나가는 연습이 매우 중요합니다. 문제를 포기하고 해설지를 보거나 해설 강의를 보게 되면 여러분의 사고력을 키우기 어렵습니다.

그리고 모의고사도 9월 전이라면 시간을 재지 말고 푸세요. 시간 내에 점수를 잘 받는 것보다, 어려운 문제를 접해보는 것이 훨씬 중요합니다.

(물론 정말 안 풀리는 문제는 효율을 위해 해설을 참고 해야겠지만 ㅎㅎ)

3. 풀어야 하는 문제는 모두 푼다.

이 말도 굉장히 하고 싶던 말 중에 하나인데요. 모든 수학 문제는 어떻게라도 여러분들께 도움이 됩니다.

"문제가 평가원스럽지 않다. 이런 문제는 안 나올거다. 식이 너무 복잡하다........"

무슨 학력고사 시절 문제도 아니고 최근에 나온 기출 문제를 평가합니까. 제발 다 풉시다. (차라리 맞추고 문제 욕을 하던가. 그냥 못 푸는거면서ㅋㅋㅋㅋ)

사설 모의고사나 학력고사 문제라도 푸는게 도움이 되니 거르지 않는 걸 추천 드리겠습니다.

[결론]

사실 오늘 내용은 다들 머리 속으로는 아는 내용일 겁니다. 근거를 이해하라, 어려운 문제 풀어라, 문제 다 풀어라... 

하지만 오늘 이 글을 읽으면서 다시금 자신의 수학 공부 방식이나 수학을 대하는 태도를 점검하면서, 앞으로 어떻게 해야 할지 고민해보는 것만으로도 도움이 될거라 생각합니다.

글을 쓰면서 어떻게 하면 응집력 있게 마무리 할까 고민했는데요. 역시 이만한 말이 없는 것 같습니다.

"문제를 맞추는 법을 공부하지 말고, 수학을 공부해라"

읽어주셔서 감사합니다.

다음 글은 공부시간에 대해 얘기해보겠습니다.