Whitehead Torsion

Motivation: "그들의 대화" 에서 최근에 나오는 핵심 용어들 중 하나가 Whitehead torsion이라는 것인데, 이러한 것을 고려하는 이유에 대해서 먼저 설명하기로. 모든 것의 기원은 소위 "cobordism theory"에 기반을 함: Let $M$ and $N$ be smooth closed manifolds of dimension $n$. An \textit{$h$-cobordism} from $M$ to $N$ is a compact smooth manifold $B$ of dimension $(n+1)$ with boundary $\partial B \cong M\coprod N$ having the property that the inclusion maps from $M$ and $N$ to $B$ are homotopy equivalences. If $n\geq 5$ and the manifold $M$ is simply connected, then the Smale's $h$-cobordism theorem says that $B$ is diffeomorphic to a product $M\times [0,1]$ (and, in particular, $M$ is diffeomorphic to $N$).

다시 말해서, cobordism은 두 다양체 M,N을 자연스럽게 interpolate하는 것을 말함. 여기서 $h$는 homotopy를 말하고, 그 이유는 up to homotopy로 interpolate을 했기 때문. 5차원 이상에서는 이것이 어떤 면에서 ``trivial'' 하다는 것을 말함. Smale이 이 정리를 이용해서 5차원 이상에서의 Poincare Conjecture를 풀었음 (예에에전에 한번 이거 관련 글 썼던 것 같음).

이러한 좋은 이유에 의해서 cobordism theory를 not simply connected인 경우에는 어떻게 사용할 수 있을까 사람들이 고심을 하고, 그렇게 나온 것이 s-cobordism theory임. 이것을 좀 더 자세히 설명하기 위해서는 몇몇 정의들이 필요함:

Definition. Let $X$ be a finite simplicial complex. Suppose that there is a simplex $\sigma\subset X$ containing a face $\sigma_0\subset\sigma$ such that $\sigma$ is not contained in any larger simplex of $X$, and $\sigma_0$ is not contained in any larger simplex other than $\sigma$. Let $Y\subset X$ be the subcomplex obtained by removing the interiors of $\sigma$ and $\sigma_0$. Then the inclusion $\iota:Y\hookrightarrow X$ is a homotopy equivalence. In this situation, we will say that $\iota$ is an \textit{elementary expansion}. Note that $Y$ is a retract of $X$; a retraction $X$ onto $Y$ will be called the \textit{elementary collapse}.

Definition. Let $f:Y\to X$ be a map between finite simplicial complexes. We will say that $f$ is a \textit{simple homotopy equivalence} if it is homotopic to a finite composition of elementary expansions and elementary collapses.

모든 compact smooth manifold는 PL 이기 때문에 finite simplicial complex structure를 갖게 됨. 따라서, smooth manifold의 경우에는 simple homotopy equivalence라는 것을 이야기할 수 있음.

s-cobordism theorem. Let $B$ be an $h$-cobordism theorem between smooth manifolds $M$ and $N$ of dimension $\geq 5$. Then $B$ is diffeomorphic to a product $M\times[0,1]$ if and only if the inclusion map $M\hookrightarrow B$ is a simple homotopy equivalence.

이제 이 s-cobordism theorem을 적용하기 위해서는 언제 homotopy equivalence of smooth manifolds $f:X\to Y$가 simple homotopy equivalence인지 알아내는 것. 이걸 Whitehead가 해결했는데, 각각의 homotopy equivalence $f:X\to Y$에 대해서, 어떤 algebraic invariant $\tau(f)$ called the \textit{Whitehead torsion} of $f$ 라고 하고, 이 torsion은 \textit{Whitehead group} of $X$라고 불리는 특정 abelian group $\mathrm{Wh}(X)$에 존재함. 이 torsion이 정확히 simple homotopy equivalence의 obtruction임. 다시 말해서, $\tau(f)$ vanishes if and only if $f$ is a simple homotopy equivalence.

이제 이 Whitehead torsion이 구체적으로 무엇인지 알아보기로.