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가장 어두운 새벽 [1340898] · MS 2024 (수정됨) · 쪽지

2025-01-03 16:05:28
조회수 1,634

[수학 칼럼] 251120에 대한 고찰

게시글 주소: https://image.orbi.kr/00071026960

안녕하세요. 오르비언 여러분 새벽이 입니다.


오늘은 제 나름대로 20251120에 대해 고찰한 생각 그리고 현장에서 어떤 사고를 가지고

풀었는가에 대해 설명해보려고 합니다.

물론, 이미 저보다 수학을 잘하시는 너무 많은 분들이 풀이를 하시긴 했지만

그래도 아직 현장에서 했던 사고를 정립한 글은 없는 것 같아 올려봅니다.


이 글이 여러분의 학습에 도움이 되길 바라며,

부족한 글 읽어주셔서 미리 감사드립니다.



0.(건너뛰어도 상관X)

왜 이런 문제가 출제되었을까?


사실 이 문제 출제 배경에 대해서 전 좀 깊게 고민해보았는데요.

합성함수 분석은 일반적으로 선택과목 미적분에서 주로 다루는 영역이였지

공통수학에서 중요시되는 부분이라고 보기에는 힘들었습니다.


그런데 이번 20번의 출제 의도는 저는 너무나 명확하게 합성함수 분석이라고 생각하였고,

현장에서도 그 생각을 기저에 놓고 사고와 풀이를 이어나갔기에, 왜 갑자기 공통에서 이런 문제를 낸걸까

고민해보았습니다. 물론, 제가 하는 말이 정답은 아니겠지만(제가 그 분들의 생각을 알 수 도 없는 노릇이구요.)

만약 제가 생각한 부분이 맞다면, 아마 올해 이후 수능을 준비하시는 분들은 선택과목에 상관없이

어느 정도 수준의 (공통수준) 합성함수 컨트롤은 좀 연습하셔야 할 겁니다.


일단, 많은 분들이 2028학년도 수능부터는 시험범위가 바뀐다고 알고 계실겁니다.

조사해본바로는 다음과 같이 변경됩니다.

선택과목 폐지

수(상), 수(하) 직접 시험범위

수1, 수2 직접 시험범위

확통 직접 시험범위


미적 절대평가 선택


->여기서 알 수 있듯이, 2028학년도부터는 선택 미적분 (현재기준)에 해당하는 부분을

공부하는 학생이 사실상 없을 것이라고 보아도 무방합니다. (현재 제2외국어에 해당하는 포지션)


그런데, 신기한 점은 수(하)에 역함수와 합성함수가 있다는 것이죠.

그래서 저는 앞으로 2028학년도 수능에 합성함수가 이런 꼴로 문제에 출제되지 않을까 하고 생각하고 있습니다.

수1이나 수2와 결합하되 합성함수 미분과 같은 깊이 있는 부분은 터치하지 않는 것이죠.


단지 제 뇌피셜이니 그냥 이 사람은 이렇게 생각하는구나~ 정도 해주십쇼


1. 이 문제를 풀기 위한 필수적 사고.

사실, 합성함수를 분석하는 도구는 여러가지가 있죠.

미분하여도 되고, N축이나 속함수 치환 등등

다양한 강사분들이 정말 다양하게 그리고 정확하게 잘 푸십니다.


그렇다보니 여기서 제가 소개할 방법도 그저 제가 영향받은 강사분의 방법이 좀 녹아있을 것이에요.

답이 맞았다면 사실상 풀이에 큰 결함은 없는 것이니 풀이가 다르더라도 이런 방법도 있구나~ 정도 해주시면 

좋을 것 같습니다.



바로 들어가봅시다.

->주제1.) 왜 공통범위에서는 치환이나 N축이 문제를 풀기에 유리한가?


->Reason:

우리는 아직 합성함수를 미분할 수 없기에 미분하지 않고도 분석가능한 함수가 나오게 됩니다.

이 경우 고능아라면 걍 적당히 뇌 굴리는 것으로 합성함수가 그려지고, 풀리겠지만 우리의 뇌는 명백하게

한계가 있죠. 그래서 우리 뇌가 굴러갈 수 있는 선을 만들어주는게 속함수 치환과 N축이라고 보면 됩니다.

뇌가 해야되는 일정량을 손에게 맡기는 것이죠.


저는 여기서 속함수 치환으로 문제를 풀어드릴 것이기에 잠깐 N축은 나가있도록 하고....

속함수 치환 개념부터 차근차근 설명해보겠습니다.~


-> 주제2.) 그럼 어떻게 속함수 치환이 뇌의 부담을 덜어준다는 건데?



-> Reason: 

예를 들어 보겠습니다.


와 같은 식에서 최댓값과 최솟값을 구해보도록 합시다.

이 경우 우리는 


로 치환을 해볼 수 있습니다. 이때 치환을 하는 이유는 간단한데요.

합성함수이기 때문입니다!!! 주어진 식은

로 분석되는 합성함수이죠. 이런 방식으로 치환하게 되면,

t의 범위는 -1<t<1 인 상태에서의 이차함수의 최대 최소를 구하면 되므로,

끝값과 극값 조사를 하면 되고, x=-2는 범위에서 가지지 않으므로, 

최대는 x=1에서 12, 최소는 x=-1에서 4라고 할 수 있는 것이죠.


이런 식으로 속함수를 치환하게 되면 상당히 간단한 경우가 있는데,

공통에서 출제되는 합성함수 문제의 99퍼센트는 속함수 치환을 원칙으로 하시면 편안합니다.



다만, 걱정이 되시는 분들을 위해 말씀드리자면,

합성함수 방정식,부등식,최대,최소 + 일부분의 분석 을 할 때에는

속함수 치환이 상당히 유리해지게 되니 속함수 치환을 꼭 하시는 것을 추천드립니다!!



그럼 아래에 제가 문제 푼 풀이를 첨부해드리고, 

현장에서 했던 사고들을 나열해보도록 하겠습니다. 




사고1.

음~ 아직 f(x)는 x>k에서만 정의되었으니 딱 봐도 합성 함수를 분석하여

x<k에서의 f(x)를 구할 수 있겠구나~.


사고2. 

일단, 공통 문제이고 어느 정도의 분석이 필요한 것 같으니 편의상 f(x)=t로 치환해볼까?

t의 제한 범위를 그림을 통해 보니 0<t<k이구나. 그리고 적어도 x>k에서 f(x)는 역함수가 존재하니

f(x)=t일 때, x=f의 역함수로 세팅해도 되겠다.


사고3.

그럼 t의 제한범위가 0<t<k임을 고려하면 x<k에서의 f(x)도 내가 구한 것이겠군.


적당한 값을 대입하여 구하면 될텐데.......


사고4. 

아직 5^(3-k)=k 라는 식을 안썼으니 활용해보면.....

답이 나오겠구나!!!!


이게 제 현장에서의 사고 과정이었고, 실제로 저런 풀이를 이용하여 답을 구했습니다.


이 문제를 통해 여러분이 합성함수에서 속함수 치환이 얼마나 효과적인지

그리고 어떤 사고가 연속적으로 이루어지며 정답이 도출되는 것인지 알아가길 바랍니다.


간략한 칼럼이었는데 다음번에는 더욱더 꽉찬 내용과 가독성 넘치는 칼럼으로 돌아오도록 하겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다~~~

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