미적분학은 무한을 사용해 유한을 연구하고, 무제한을 사용해 제한된 것을 연구하고, 직선을 사용해 곡선을 연구한다."라는 문장이 가장 인상깊다. 이 한문장으로 심오하고 단 한 가지 개념을 이해하기 위해서도 방대한 배경지식을 필요로 하는 미적분을 함축할 수 있다는 점에서 그러하다. (거의 선에 가까운)무한한 직사각형들을 통해 평면의 넓이를 구하고 그 넓이들을 통해 입체적인 부피를 구할 수 있게 하는 것과 직선을 통해 곡선을 이해한 대표적 예인 원으로 각각 내접하고 외접하는 정육각형, 정십이각형, 정이십사각형, ... 무한에 가까이 가면 곡선의 형태를 띠게 되는 것을 볼 수 있다.(아르키메데스가 원주율을 구한 방법인 조임법을 기반으로 무한의 원리가 곡선을 이해가능하게 해준다. 아르키메데스는 또 다른 곡선인 포물선의 활꼴의 넓이도 무한히 많은 삼각형 조각으로 이루어져 있다고 재해석하여 구해냈다.)

제논의 양분의 역설, 아킬레스와 거북 역설, 화살의 역설을 미적분학을 이용해 풀이할 수 있다. 예를 들어 초속 1미터로 달리는 거북이 아킬레스보다 10미터 앞에서 출발하지만, 아킬레스가 거북보다 10배 빠르다면 아킬레스는 거북의 출발지점까지 가는 데에 1초 걸린다. 그동안 거북은 1미터를 이동할 것이고 그 차이만큼 가는 데에 아킬레스는 다시 0.1초가 걸리고 이것이 반복되면 무한급수로 1.111...초인 10/9초가 된다는 것을 알 수 있다. 제논은 시간과 공간이 연속적으로 존재한다는 사실 즉, 시공간을 끝없이 계속 쪼갤 수 있다는 것을 역설의 모순을 통한 증명으로 귀류법을 통해 반박한다. 그러나 위에 예로 반박했듯이 따라잡는 간격이 무한히 줄어들어 무한한 시간이 걸린다는 제논의 주장은 줄어드는 거리가 유한한 거리로 수렴하는 까닭에 거짓이 된다. 이로써 우리는 무한에 대해 한층 더 알 수 있다.

무한은 모든 양수보다 작지만 0보다 큰, 한없이 무한대로 작은 수인 무한소의 형태로도 존재한다. 만약 기존의 엑스라는 양이 아주 약간 변해 엑스 더하기 델타엑스가 되었다고 가정하자. 이 경우 입력에 일어난 작은 변화 델타엑스가 작은 변화 델타와이를 이끌어낸다. 그리고 작은 변화 델타엑스가 무한히 작아지면 가장 큰 몫을 제외하고 정답에 기여하는 나머지 몫을 모두 무시하는 사고방식을 적용할 수 있다. 이때의 델타엑스는 디엑스로 변하며 무한소를 디엑스처럼 사용하는 이 방법은 극한을 사용해 바꿔 기술할 수 있다. 그리고 이때의 무한소를 미분소라고 가리키는 것이다. 이 개념을 적용하면 엑스와이 평면 위에 있는 어떠한 곡선 그래프의 기울기는 와이의 도함수이며 델타엑스가 0에 접근할 때 델타와이/델타엑스(분자:델타와이,분모:델타엑스)의 극한값으로 정의된다. 여기에 미분소를 사용하면 디와이/디엑스로 표현된다. 그렇다면 우린 특정곡선 와이는 엑스세제곱의 기울기는 (변화를 나타낼 만한 디엑스 항을 제외한 다른 디엑스제곱, 디엑스세제곱 항은 버리는 식으로 계산하여) 삼엑스제곱임을 구할 수 있다.

(라이프니츠)

(라이프니츠에 가능하다면 적분 내용도 쓰고 싶었는데 짧게 같이 넣을 방법은 없을까요....??)