Residual Finiteness
Residually finite: For any nontrivial element $g\in G$, there is a subgroup $G_1$ of finite index in $G$ which does not contain $g$.
Locally extended residually finite (LERF): If for each finitely generated subgroup $H$ of $G$, for any element $g\in G - H$, there is a subgroup $G_1$ of finite index in $G$ which contains $H$ but not $g$.
Theorem A. Let $X$ be a manifold possibly with boundary with a regular covering $\tilde{X}$ and covering group $G$. Then TFAE:
(1) $G$ is residually finite.
(2) If $C\subset\tilde{X}$ is a compact subset, then the projection map $\tilde{X}\to X$ factors through a finite covering $X_1$ of $X$ such that $C$ projects by a homeomorphism into $X_1$.
Theorem B. Let $X$ be a manifold possibly with boundary with a regular covering $\tilde{X}$ and a covering group $G$. Then TFAE:
(1) $G$ is LERF.
(2) Given a finitely generated subgroup $H$ of $G$ and a compact subset $C$ of $\tilde{X}/H$, there is a finite covering $X_1$ of $X$ such that the projection $\tilde{X}/H\to X$ factors through $X_1$ and $C$ projects homeomorphically into $X_1$.
위의 theorem B는 특히 중요한데, 만약 $\pi_1(M)$이 surface group $H$를 포함하고 있고, LERF라면, $M$이 virtually Haken임을 내포한다. 다시 말해서, surface group을 representing하는 immersed surface in $M$이 적절한 finite covering을 취하면, embedding으로 lift가 된다는 것.
자명하게 LERF는 RF보다 강한 조건이다. Theorem A,B는 LERF와 RF의 기하학적인 의미를 담고 있다. 보통 해석할 때, $\tilde{X}$는 universal cover를 염두해둔다. 이 경우, Residual finiteness는 다음과 같이 해석된다:
$\pi_1(X)$ is residually finite if and only if for every compact subset $C$ of $\tilde{X}$, there is some finite cover $X'\to X$ with $C$ projects homeomorphically.
만약 $X$에 어떤 geometric structure가 있다고 한다면, $X$의 sequence of finite covering $\tilde{X}_i$가 있어서, 점점더 그것의 universal cover $\tilde{X}$에 가까워진다, 수학적으로는 Gromov-Hausdorff converge한다고 볼 수 있다. Hyperbolic 3-manifold에서는 이것을 geometric convergence라고 부른다.
Examples
1. $M$: a Seifert fibered 3-manifold then $\pi_1(M)$ is LERF.
2. $M$: a hyperbolic 3-manifold then $\pi_1(M)$ is LERF. (Virtual Haken/Fibered Conjecture)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이감 6-9 6
91점/78m -3, 14, 15, 22...
-
저메추 7
추천받아요
-
학교랑 프사 매번 바뀌는데 이거 학교를 다 다니신건가?
-
이거진짜맛있네이야
-
보통 점수대 어케 나오세여?
-
맞팔구 4
문법 질문 있으면 답해 드릴 수 있음 어원 좋아함 잡담 태그 잘 닮
-
현강 정답률 보니까 평소보다 씹창나있긴함 독서 문학 언매 군데군데 존나 어려운...
-
-
오개념 없는 건 6
대기범의 시간은 거꾸로 간다
-
생윤질문ㅠㅠ 3
내용이 이해가 잘 안가요 ㅠㅠ
-
궁금해짐 본인 11시-12시 취침 7시 기상인데 일찍 자고 일찍 깨야 하나..?
-
방어 먹고 싶네 1
딱 수능 끝나고 추운 겨울 들어올 때 옷장에 짱 박아둔 롱코트 하나 꺼내 입고 친구...
-
한국사 2
초딩 이후로 제대로 배워본적이 없는데 4등급 받으려면 뭘 볼까요? 외국에서 와서...
-
가는 사람 있음?
-
심찬우 귀여워 3
요즘 완전 빠졌어❤️❤️❤️
-
-
ㅈㄱㄴ
-
1.칸트:도덕법칙은 강제성이 없는 자율적 법칙이다. 2.불교:현세에서 깨달음을 얻는...
-
심장을 바쳐라! 수능당일 듣고 가슴벅찬상태로 국어를 풀겠다
-
12월생이라 민증을 아직 발급 안 했어요 ㅠㅠ.. 원래 학생증 들고가서 보려고...
우익수