Curl-Div
Curl-Divergence lemma라고 함수열의 수렴에 대해서 이야기 하는데 희한하게도 Curl과 Divergence에 bound를 주는 것을 가정으로 하고 있다. 직관적으로 이게 어떻게 연관되어 있는지 잘 와닿지 않는데, 일단 statement 먼저 보자.
The Curl-Div lemma. Suppose $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ weakly in $L^2(\Omega;\Bbb R^3)$ on a domain $\Omega\subset\Bbb R^3$ while the sequences $\operatorname{div} u_m$ and $\operatorname{curl} v_m$ are relatively compact in $H^{-1}(\Omega)$. Then for any $\varphi\in C^\infty_0(\Omega)$ we have
$$\int_{\Omega}u_m\cdot v_m\varphi dx\to\int_{\Omega}u\cdot v\varphi dx$$
as $m\to\infty$.
여기서 나오는 $\cdot$ 은 Euclidean space에서의 내적을 의미한다. Statement의 의미를 다시 말하면, 미분에 bound를 줘서 nonlinear expression 의 weak continuity를 얻어내는 것이다.
이걸 differential form의 언어로 바꿔서 표현을 하기 시작하면, 이 curl과 div에 boundness 조건을 주는 것이 weak convergence에 어떤 영향을 주는지 좀 더 직관적으로 드러난다.
$M$을 closed oriented smooth $n$-manifold라고 하자. 이제 $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ in $L^2$ such that $(d^* u_m), (dv_m)$ 들이 $H^{-1}$에서 relatively compact라고 하자. 이 조건은 위의 Curl-Div lemma에서 Curl과 Div의 relative compactness와 대응된다. $u_m, v_m$을 $u_m - u, v_m - v$로 바꿔서, $u = 0, v = 0$으로 가정할 수 있다. 그러면 Hodge decomp.에 의해,
$$u_m = da_m + d^* b_m + c_m,$$
$$v_m = df_m + d^* g_m + h_m,$$
where $c_m,h_m$ are harmonic 1-forms and $a_m \rightharpoonup 0, b_m \rightharpoonup 0, f_m \rightharpoonup 0, g_m \rightharpoonup 0$ in $W^{1.2}(M)$, $c_m \rightharpoonup 0, h_m \rightharpoonup 0$ in $L^2(M)$ 이런 것을 얻을 수 있다.
Hodge decomp.의 consequence중 하나가 $M$위에서의 space of harmonic 1-form들의 공간은 locally compact이다. 따라서, smooth하게 $c_m \to 0$, $h_m \to 0$ 된다. 또한 가정에 의해서 $\Delta a_m = d^* u_m, \Delta g_m = dv_m$이 $H^{-1}$에서 relatively compact이기 때문에, $(da_m),(d^* g_m)$은 $L^2$에서 precompact하게 들어가있다. 따라서,
$$u_m = d^* b_m + o(1),\quad v_m = df_m + o(1),$$
in $L^2$가 된다. 또한,
$$\langle u_m,v_m\rangle_g \omega_g = \ast (\langle d^*b_m, df_m\rangle_g) = (d\ast b_m)\wedge df_m = d((\ast b_m)\wedge df_m),$$
임을 알 수 있다. 여기가 그 "미분"의 모습이 드러나는 핵심적인 부분이다.
구체적으로 말하진 않겠지만, Rellich theorem 이라는 것이 있는데, 이것은 $b_m\to 0$ in $L^2$임을 imply한다. 따라서
$$\int_M \langle u_m,v_m\rangle_g\varphi\omega_g = \int_M d((\ast b_m)\wedge df_m)\varphi + o(1) = (-1)^n \int_M (\ast b_m)\wedge df_m\wedge d\varphi + o(1) = o(1).$$
따라서 앞선 Curl-Div lemma와 같은 결론을 낸다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
今我異昨我 6
오늘의 나는 어제의 나와 다르다 ..... 그 말이 옳을까?
-
좀 할 일 제 때 하자.
-
작년 내 합격증 보내달라더니 그걸로 수능부적 만들었농 ㅅㅂㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
성공은 갑자기 이루어지는 것이 아니라, 반드시 그 원인이 있다
-
수능가서 3등급 가능한건가...
-
-
아진짜자야하는데 2
아
-
솔직히 디지몬 어드벤처는 명작이라고 생각해요
-
-
원딜은 주인공이 될 수 없어 내일부터 미드로 전향한다 버러지라인
-
복잡한 추론을 해야할 것 같은 비주얼인데 본질이 계산인 경우가 … 있는 것 같으니...
-
원주각의 성질 이용해서 ACB 구하는 것부터 막혔습니다.. ㅜ
-
실수좀 제발 안 했으면 제발..
-
-
시반말고 여르비인데
-
내인생최대전성기 4
2024년11월14일 마지막에누가웃는지보여주죠
-
살도 빼는 빼빼로를 먹으면서 빼빼 말라지는
-
1교시니까 7
자러감 자잘!
-
개형추론나오면풀가능성0에수렴
-
기가막힌 공부법
-
자야겠다
-
평가원 특 1
예측이 불가능한 존재임
-
-
초인적인 힘으로 다 맞게 되어 있음
-
25수능 22번 유출 14
어려워보이네요
-
저도 믿습니다 3
출제진들이화학19번에열용량을출제해놨을거라고
-
-
ㅠㅠ어디갓어내첫사랑
-
감정선 좀만 더 잘 쌓지 후반부 너무 전개 급하게 하는 게 보임
-
저는믿습니다 7
출제진들이수학22번에삼각함수를출제해놨을거라고
-
-
변별이아예안된거도아니고 그냥이제메타바뀔때도됐음ㅇㅇ 좆같은개형추론ㅗ
-
수학 잘해지고 싶다 11
수능 미적백을 받고 싶다
-
님들이 보기에 올해 22번 6,9모처럼 수열일까요? 3
어떻게 보시나요??
-
그냥 빨리 끝내고 술이나 퍼마시고 싶었습니다 남은 D-7 누군가에겐 마지막 희망,...
-
연애라... 6
대학 가면 할 수 있을까 혹시 대마법사가 되는 건 아닐까
-
물론 역학에서 약간 계산 잡아먹는 문제 제외하고 나머지는 깔끔하게 풀림 실력이 오른거겠지
-
암컷 !!
-
안녕히주무세요 0
일주일동안 이기는 삶을 살아봅시다요
-
수험생은이시간에없겟죠? 18
ㄹㅇㅋㅋ
-
총알보다무서운건 2
MC의철학 인문철학지문 읽는중
-
-
-
이센스 - 비행
-
내 여친임. 1
-
나 인정받았다 2
개그맨으로,,,
-
진짜 경제가 왜 자꾸 눈에 밟히지...
-
사문 질문 5
분모가 다를때 ㄴ 어떻게 구하나요?
-
내 남친임 2
-
검정고시 !
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.