다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
체그옷 2종이랑 저 초록티애가 입은 바지 뭔지 아시는분??? 저 바지 특징이 저 줄...
-
1. 나선팔이 가장 느슨하게 감긴 정상 나선 은하는 S7형이다. (O / X) 2....
-
노벨상지린다 3
서울대 일해라 이게 연세대다!!
-
힙찔이 오노추 0
Ugly-bubha sparxxx(가수이름 정확X) Shake that -...
-
[서울교육감 여론조사]정근식 31.1%, 조전혁 30.2%...0.9%p차 4
뉴스피릿, 에브리뉴스 공동의뢰로 여론조사 전문기관 주)에브리리서치에서 10월...
-
연대생은 아닌데 연뽕 지린다 김대중 이후 24년만의 노벨상임노벨상 배출대학 한강의...
-
상상 바탐 이감 한수 더프 이 중 한군데에서는 한번이라도 수록함
-
의대생이 생각하는 공부에서 중요한데 은근히 간과하는 것들 0
우리나라에서 고등학생이면 다들 공부를 합니다. 다만 많은 학생들이 그 과정에서...
-
반장하니까 1
후보없다고 쌤이 성실하다면서 강제로 시켰는데 부반장선거까지가서 2등으로 떨어진거...
-
JSA도 시기상 나온거 보면 충분히 가능성있음
-
한두달 뒤에 무조건 이거 뉴스나 어디 유튜브에서 볼것같음 ㅋㅋ
-
아수라 과제할때는 문학 나름 깔끔하고 빨리 푸는데 이감 모의고사만 보면 걍...
-
열등감 베이스로한 농담들도 사실 마음에 안듦 너는 운동하지마라, 쟤꼬삼이어야함,...
-
강K 사문 2
어려운거 맞나욤? 40점대 초반에서 올라가질 않아요 ㅠㅜ
-
서바 말고는 예전 실모 풀면 올해 풀던 거(강x나 더프, 킬캠)보다 여유로운게 느껴짐
-
뱃지인증 1
뱃지인증 얼마나 걸렸어여? 7월에 메일 보냈는데 아무것도 없암..
-
그 손가락 2
심-멘 숭배해야해..❤️
-
한강 작품 나올 가능성 있나?
-
장바구니에 뭐살지 담다보니까.. 엄..
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다