엄밀한 수학(1): 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성
얼마나 오래 갈 지는 모르겠지만, 고등 수학에서 빈번하게 다뤄지는 몇 가지 주제에 대하여 조금 엄밀하게 다뤄보는 글을 쓰려고 합니다. (주제 추천 받아요.)
엄밀한 수학이지만, 수학을 전공하지 않은 고등학생 정도의 수학 지식을 갖고 있는 분들도 최대한 이해할 수 있도록 써 보려고 합니다.
첫 번째 주제는 [구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성] 입니다.
[2021학년도 9월 모의 평가 10(나)]
위 문제와 같이 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성을 묻는 경우, 미분 가능성의 정의보다는 대부분 다음 두 가지 식의 연립으로 해결합니다.
(i)은 [미분 가능하면 연속이다.]의 성질을 이용하여 각각의 식에 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(ii)는 각각의 식을 미분하고 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(i)은 자명합니다. 문제가 되는 부분은 (ii)의 논리입니다. (ii)는 "도함수는 x=1에서 극한값이 존재한다."는 것을 의미합니다. 이를 엄밀하게 규명하기 위해 몇 가지 명제를 떠올려봅시다.
명제1: "미분 가능하면 도함수가 연속이다."
수학을 조금 깊게 공부해 본 성실한 고등학생이라면 위 명제1이 거짓임을 알고 있을 것이고, 또 그 중 대다수는 그의 반례도 알고 계시리라 생각합니다. (단, 그 역은 성립하죠.)
그렇다면 결론부의 조건을 조금 더 약화시켜 생각해봅시다.
명제2: "미분 가능하면 도함수의 극한값이 존재한다."
명제2 역시도 명제1의 반례로 어렵지 않게 거짓임을 보일 수 있습니다.
그럼, (ii)의 등호가 성립함을 보장해주는 근거가 되는 명제는 무엇일까요? 우리는 미분 가능한 함수에 대하여 그의 도함수의 극한값이 존재한다는 것은 알 수 없지만, 최소한 문제 조건으로부터 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 다음 명제를 생각해볼 수 있겠습니다.
명제3: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수의 극한값은 존재한다."
위 명제3이 참이라면, 우리의 최종 목적인 (ii)의 논리적 근거를 마련할 수 있습니다. 위 명제3의 참을 설명해주는 것이 바로 다르부 정리(Darboux's Theorem)입니다.
고등학생이 이해할 수 있는 언어를 기반으로 다르부 정리의 내용을 살펴봅시다. (증명은 "Introduction to Real Analysis by Robert G. Bartle"을 참고했습니다.)
다르부 정리 (Darboux's Theorem)
: 함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분 가능하고 k가 f'(a)와 f'(b) 사이에 있을 때,
f'(c)=k를 만족시키는 c가 열린 구간 (a, b)에 존재한다.
즉, 미분 가능한 함수의 도함수는 사잇값 정리의 결론을 만족시킵니다.
[증명]
미분 가능한 함수 g를 다음과 같이 정의합시다.
g가 연속이므로 최대-최소 정리에 의해 닫힌 구간 [a, b]에서 최댓값을 가집니다.
이므로
g는 x=a에서 최댓값을 갖지 못합니다. 이와 비슷하게, x=b에서도 최댓값을 갖지 못합니다.
즉, 닫힌 구간 [a, b]의 경계에서는 최댓값을 갖지 못하므로 최대가 되는 지점을 x=c라 할 때, c는 열린 구간 (a, b)에 존재합니다. 따라서 다음이 성립합니다.
Q.E.D
다시 우리의 원래 목적으로 돌아가서, 위 다르부 정리에 의해 미분 가능한 함수의 도함수가 좌극한과 우극한이 각각 존재한다면 반드시 그 두 값이 같아야 합니다. 그리고 더 나아가 그 지점에서 도함수는 반드시 연속이어야 합니다. 이 명제3을 다르부 정리에 의해 더 강한 조건으로 바꿔 다음 명제4가 참임을 알 수 있습니다.
명제4: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수는 그 지점에서 연속이다."
처음의 문제에서 f'(x)의 x=1에서 좌극한과 우극한이 각각 존재하므로 위 명제4에 의해서 f'(x) x=1에서 연속입니다. 따라서 (ii)의 등호가 성립합니다!
제 글이 그닥 많은 사람들이 읽지는 않지만 ㅎㅎ;; 개인적으로 정리해보고 싶었던 주제였습니다. 조금이나마 도움이 되셨으면 좋겠습니다. 감사합니다:)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
뭐지
-
하하하.. 의미없지만 그래도 평생 술안주 생겨서 기분좋습니다
-
병호햄 토탈리콜 1
미리 다 했던거임? 그게 아니면 완강 속도가 설명이 안되는데 ㅋㅋㅋ
-
지구는 문제 푸는 방법, 개념 모르는게 없는 것 같은데 막상 시험만 보면ㅈㄴ 틀리고...
-
2406 93 2409 83 2411 91 2406 96 2409 90
-
의미 있음? 논술 대충 다 정했는데 상향으로 연고 인문 하나 넣을지 하향으로 과기나...
-
연고대 사과대 서성한 상경 갈 수 있는 성적인지 궁금합니당
-
걍 안풀리는데;
-
지문 당 시간 얼마나 잡는게 좋을까요 평가원 지문은 독해에만 5~9분은 쓰는데...
-
성적올릴때뭐가제일도움되셨나요
-
신기하다
-
생각해보니 내가 수능 아무리 잘쳐도 수시충들보다 대학을 못간단걸 깨달아버림 ㅅㅂ
-
도피 엄청가네 9
이과는 의대 문과는 스카이 못갈 바에는 도피를 때리겠다 이말인가 유명한 워싱턴...
-
학종 교과는 못 쓸거 같고 그냥 적당한 데로 골라서 채워야되나
-
학원이나 학교도 안다녀서 정보가 전혀 없어요… 도와주세요ㅠ 이번 9모 기준 원점수...
-
왤케 덥냐 아직도...
-
그것도 접수못하면 걍 대학갈생각 없는거 아닌가
-
천코만주세요 3
감사하빈다
-
6모 88, 9모 96 강k 17회 72점...? 킬캠보다 더 여려운 거 같지 왜
-
6회랑 7회 알려주시면 너무 좋을거 같아요. 언매요!
-
물리 (배기범쌤 필수본) 들은지 일주일 됨. 근데 이해 안가는 한 문제가 있는데...
-
지금은 그냥 그웬같은 여친 사귀는 걸로 타협함
-
진짜모름
-
ㅈㄱㄴ
-
둘다 자취할거라 거리는 고려대상이 아닙니다. 어디갈거 같나요?
-
지금까지 독서 강기분, 기출 2회독 / 문학 문학론 유네스코 1회독 한 상태입니다....
-
뭐 부터 푸는게 나을까
-
미적 9모 80인데 (20번 눈1깔 삔 상태로 봐서 틀렸고) (22번 어려울거...
-
작년 기사 보니 접수마감 그 다음주에 바로 발표했던데....
-
나는 이말을 믿을 수가 없음 다년간의 과외경험상 기출을 다 풀줄안다고 착각하는거임...
-
요즘 양적관계 1
비교적 쉬워진건가요?
-
접수완료 5
가보즈앗
-
이번 9모에 감히 구리를 못 알아 본 죄로.. 정리해봤습니다. 기출인 5개만...
-
수학에서 : 기호 무슨뜻인가요?
-
갑자기 훅 갈 때 치명적으로 간다는 건 과학이었음 애초에 일찍 잘 되면 안 좋다는...
-
도서관 컴퓨터로 오르비 들어갔는데 내 글이 딱 보이노 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
: 이 기호 무슨뜻인가요? 비례식에서쓰는 용어로알고있는데 식쓸때 다른데서도 많이...
-
1. 의대 증원취소? ->이미 수시 원서 접수 시작, 재외국민 전형 이미 끝...
-
개인적으로 논술 합불이랑 별개로 국어 실력에 도움되는것같아요 1
국어 6모7모 둘다 백분위 94-95였는데 8월에 논술 시작하고나서 9월 백분위99 10월 만점받음
-
건대는 기확 몰라도 많이들 쓰시던데 또 있을까요? 상위권학교 아니어도됩니다
-
의협 "응급실 의사 블랙리스트 유감…절박함 알지만 중단해야" 6
대한의사협회(의협)는 응급실에서 근무하는 의사들의 명단을 공개한 블랙리스트 유포...
-
연논 4
엄마가 연대보다 지방 최하위 약대가 낫다고 납치되면 어쩌냐고 하심... 난 연대...
-
3개중에 어떤거 살까? 그냥 기출이나 할까? 한수는 이번에 회원가입 해서 스페셜...
-
"응급의료 거부로 네살 아들 잃어…수사 통해 병원 거짓말 알아" 3
"전공의가 다른 의사 아이디로 접속, 진료기록 허위 작성해" "병원 측은 '법대로...
-
저 강의 하나 만으로 3뜨나요? ㅡ
-
논술 원서 0
정원 2명에 실질경쟁률 7:1 정원 7명에 실질경쟁률 10:1 님들은 어디쓰심?...
-
경쟁자 수준(자사특목)이랑 충원률 입결 등등 고려했을때 어디가 더 붙기 어려울까요?...
슈크란