Chern-Simons invariant in hyperbolic 3-manifold
Definition (Chern-Simons 3-form). Let $\pi:P\to M$ be a smooth principal $G$-bundle. Suppose we are given an $\mathrm{Ad}$-invariant symmetric bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal{g}\times\mathcal{g}\to\Bbb C$. (i.e. $\langle\mathrm{Ad}_ga,\mathrm{Ad}_gb\rangle = \langle a,b\rangle$) The Chern-Simons 3-form $\alpha$ of a connection $\omega\in\Omega^1(P,\mathcal{g})$ is
$$\alpha(\omega) = \langle\omega\wedge\Omega\rangle - {1\over 6}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle = \langle\omega\wedge d\omega\rangle +{1\over 3}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle\in\Omega^3(P,\Bbb C).$$
In particular, if $M$ is a compact oriented smooth 3-manifold with or without boundary, and if there exists a smooth section $\sigma:M\to P$, the Chern-Simons invariant is
$$\mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma) = \int_M\sigma^*\alpha(\omega)\in\Bbb C.$$
물론 여기서 Chern-Simons 3-form의 각각의 항에 대한 설명이 필요하다. 보통 $\mathcal{g}$-valued form의 wedge product는 다음과 같이 정의한다: 만약 $\alpha = \alpha^iE_i$, $\beta = \beta^jE_j$, 여기서 $E_i$는 $\mathcal{g}$의 basis를 뜻한다. 그러면 각각의 $\alpha^i$와 $\beta^j$는 differential form들이고, 따라서 wedge product가 이미 정의가 되어 있다. 따라서,
$$[\alpha\wedge\beta] = \alpha^i\wedge\beta^j [E_i,E_j]$$
로 정의를 한다. 다시 말해서, coefficient들의 wedge sum을 하고 basis들의 Lie bracket을 이용해서 정의한다.
따라서, Chern-Simons 3-form에서 각 항들은 wedge product의 coefficient들에 주어진 bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle$을 적용해서 정의하는 것이다.
만약 $G$가 Lie group이라고 한다면, $\langle\cdot,\cdot\rangle$은 $\Bbb R$-valued로 보통 다음을 사용한다:
$$\langle a,b\rangle = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(ab).$$
예를 들어, oriented Riemannian manifold $M$이 있을 때, frame bundle $FM\to M$을 항상 associate할 수 있는데, 만약 $\nabla$가 Levi-Civita connection이라고 한다면, Chern-Simons 3-form of $\Delta$는
$$\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\omega\wedge\Omega - {1\over 3}\omega\wedge\omega\wedge\omega) \in\Omega^3(FM,\Bbb R)$$
가 된다. 참고로 위의 $\mathcal{g}$-valued form으로의 대응은 다음의 대응 관계로 다시 볼 수 있다:
$$\{\text{metric connection }\nabla\text{ on }TM\to M\}\leftrightarrow\{\text{principal }SO(n)-\text{connections }\omega\text{ on }FM\to M\}$$
* 참고로 Principal $G$-bundle에서의 connection 1-form은 원래 connection 1-form과 좀 다르게 정의하는데, 원래 connection 1-form은 local하게 밖에 정의가 되지 않는데, principal bundle의 경우에는 global하게 정의할 수 있다.
$\omega\in\Omega^1(P,g)$가 connection 1-form이라는 것은, (1) $\omega_p(\underline{X}_p) = X$ for any $X\in\mathcal{g}$ and $p\in P$, (2) $r_g^*\omega = \mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega$ 인 경우를 말한다. 여기서 $\underline{X}_p$는 소위 fundamental vector field라고 불리는 것인데,
$$\underline{X}_p = d/dt|_{t = 0} p\cdot e^{tX}\in T_pP$$
로 정의한다.
$\omega_p$는 canonical 한 choice가 있는데, 만약 $v:T_pP = V_p\oplus H_p\to V_p$가 vertical component로의 projection이라고 한다면, $V_p$는 $\mathcal{g}$와 $G\to P, g\mapsto p\cdot g$의 tangent map에 의해서 identify할 수 있고, 따라서 $\omega_p = v:T_pP\to\mathcal{g}$로 정의할 수 있다.
참고로 이러한 connection 1-form이 principal bundle에 정해져 있으면, 1-form의 kernel로 horizontal distribution을 잘 정의할 수 있다.
왜 이런식으로 Chern-Simons 3-form을 정의했는지 의문이 될 수 있는데, 한 가지 계산을 통해서 알 수 있는 것은
$d\alpha(\omega) = \langle\Omega\wedge\Omega\rangle$이 된다는 것. $\nabla$에 대해서는
$d\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)$가 된다. $[\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)]\in H^{4}(M)$가 Pontryagin class인 것을 상기해보면, Levi-Civita connection의 Chern-Simons 3-form은 Pontryagin class의 potential로 정의된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로, 홀수 $p=2n-1$에 대해서 Chern-Simons $p$-form은 $[\mathrm{tr}(\Omega)^{2n}]\in H^{4n}(M)$의 potential, 다시 말해서 $d\alpha_{2n-1} = c_n\mathrm{tr}(\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega)$인 $p$-form on $M$을 말한다. 여기서 $c_n$은 그냥 아무 constant나 잡아도 된다.
정의를 보면, Chern-Simons invariant는 global section에 depend가 된다. 우리는 적절히 mod를 해서 Chern-Simons invariant를 global section에 depend하지 않도록 하고 싶다. 이걸 위해서는 global section에 얼마나 CS-invariant가 변하는지 알아야 한다.
이러한 dependence를 반영하는 공식이 있는데, $\varphi:P\to P$를 smooth fiber bundle isomorphism이라고 하고 $g_{\varphi}:P\to G$를 $\varphi(p) = p\cdot g_{\varphi}(p)$로 정의하자. (앞에 나온 $p$에서의 fiber와 $G$와 identify를 하는 map이다.)
Proposition. Let $\varphi:P\to P$ be a bundle isomorphism. Let $g = g_{\varphi}\circ\sigma$.
$$\varphi^*\alpha(\omega) = \alpha(\omega) + d\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}_{\varphi}}\omega\wedge g^*_{\varphi}\mu\rangle - {1\over 6}g^*_{\varphi}\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
In particular,
$$\mathrm{CS}_G(M,\varphi^*\omega,\sigma) = \mathrm{CS}_{G}(M,\omega,\varphi\circ\sigma) = \mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma)+\int_{\partial M}\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega\wedge g^*\mu\rangle - {1\over 6}\int_M g^*\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
$G = SO(3)$인 경우에는, 가장 마지막 term은 $2\Bbb Z$라는 것이 알려져 있다. 따라서, $\bmod{\Bbb Z}$에서는 $\mathrm{CS}_{SO(3)}(M)$은 $\Bbb R/2\Bbb Z$에서 잘 정의 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
운동학-운동역학 0
-
지구 기출 3
기출테크트리 했었는데 까먹은 감이 있어서 다시 보려고 합니다 빨더텅 vs 타강사...
-
ㅁㅌㅊ?
-
레전드;;
-
광화문으로!!
-
한달애 교재값 얼마인가요?
-
나중에 의사되면 나는 친절해야지
-
국어적 장애생겼는데도 인칼이 더 표 높게나오네
-
왜이러지
-
진짜 굵직하게 스쿠나 목소리로 "료 이키 테카이" 하면서 들어왔는데 여자애 두명이...
-
학교 택배 배송지에 아수라 총정리과제 와있네 ㄷㄷ
-
자사고 2학년 수시 4등급 초반(수학 4.0) --> 인하대~중경외시 낮과 가능...
-
간헐적 단식으로 하루 두끼 먹으면서 감량할 때는 별 생각없이 했는데 클린하게 하루...
-
아니 내 폼폼푸린 포스트잇책 내가 ㅈㄴ 아끼는거라서 어제 뭐 적는다고 스카 들고와서...
-
전북VS삼육 2
전북은 공학계열2 삼육은 클라우드공학이에요. 어디가 더 나아보이나용?
-
뭐지
-
하하하.. 의미없지만 그래도 평생 술안주 생겨서 기분좋습니다
-
병호햄 토탈리콜 1
미리 다 했던거임? 그게 아니면 완강 속도가 설명이 안되는데 ㅋㅋㅋ
-
지구는 문제 푸는 방법, 개념 모르는게 없는 것 같은데 막상 시험만 보면ㅈㄴ 틀리고...
-
2406 93 2409 83 2411 91 2406 96 2409 90
-
의미 있음? 논술 대충 다 정했는데 상향으로 연고 인문 하나 넣을지 하향으로 과기나...
-
연고대 사과대 서성한 상경 갈 수 있는 성적인지 궁금합니당
-
걍 안풀리는데;
-
지문 당 시간 얼마나 잡는게 좋을까요 평가원 지문은 독해에만 5~9분은 쓰는데...
-
성적올릴때뭐가제일도움되셨나요
-
신기하다
-
생각해보니 내가 수능 아무리 잘쳐도 수시충들보다 대학을 못간단걸 깨달아버림 ㅅㅂ
-
도피 엄청가네 9
이과는 의대 문과는 스카이 못갈 바에는 도피를 때리겠다 이말인가 유명한 워싱턴...
-
학종 교과는 못 쓸거 같고 그냥 적당한 데로 골라서 채워야되나
-
학원이나 학교도 안다녀서 정보가 전혀 없어요… 도와주세요ㅠ 이번 9모 기준 원점수...
-
왤케 덥냐 아직도...
-
그것도 접수못하면 걍 대학갈생각 없는거 아닌가
-
천코만주세요 3
감사하빈다
-
6모 88, 9모 96 강k 17회 72점...? 킬캠보다 더 여려운 거 같지 왜
-
6회랑 7회 알려주시면 너무 좋을거 같아요. 언매요!
-
물리 (배기범쌤 필수본) 들은지 일주일 됨. 근데 이해 안가는 한 문제가 있는데...
-
지금은 그냥 그웬같은 여친 사귀는 걸로 타협함
-
진짜모름
-
ㅈㄱㄴ
-
둘다 자취할거라 거리는 고려대상이 아닙니다. 어디갈거 같나요?
-
지금까지 독서 강기분, 기출 2회독 / 문학 문학론 유네스코 1회독 한 상태입니다....
-
뭐 부터 푸는게 나을까
-
미적 9모 80인데 (20번 눈1깔 삔 상태로 봐서 틀렸고) (22번 어려울거...
-
작년 기사 보니 접수마감 그 다음주에 바로 발표했던데....
-
나는 이말을 믿을 수가 없음 다년간의 과외경험상 기출을 다 풀줄안다고 착각하는거임...
-
요즘 양적관계 1
비교적 쉬워진건가요?
-
접수완료 5
가보즈앗
-
이번 9모에 감히 구리를 못 알아 본 죄로.. 정리해봤습니다. 기출인 5개만...
-
수학에서 : 기호 무슨뜻인가요?
야해오