amenable
Let $M_1$ be a complete Riemannian manifold with Riemannian covering $M_2\to M_1$ such that $M_1$ has a finite topological type, i.e., homotopy equivalent to a union of finitely many CW complexes. (manifold with finitely generated fundamental group for example.)
Theorem. If $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ is amenable, then $\lambda_0(M_2) = \lambda_0(M_1)$.
Group이 amenable하다는 것은, 여러가지로 정의할 수 있는데, 이렇게 기하학적인 상황을 상정한다면, 가장 좋은 정의는 다음과 같다: In other words, there exists finite exhaustion subset $E_i$ of $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ such that
$${\#(\partial E_i)\over \#(E_i)}\to 0,\quad\text{as }i\to \infty.$$
여기서 $\partial (E_i) = \{g\in E_i\mid g_j\cdot g\notin E_i\text{ for some }j\}$ 으로, $E_i$의 "boundary"에 해당된다. (Cayley graph에서는 진짜 boundary가 된다.)
Theorem을 증명하기 전에 여기서 $\lambda_0$는 Riemannian manifold위에 laplace-beltrami operator $\Delta$의 bottom eigenvalue에 해당된다. 이러한 $\lambda_0$ 값이 다음의 값과 같다고 알려져 있다:
$$\lambda_0(M) = \inf_f{\int_M\parallel df\parallel^2\over\int_M\parallel f\parallel^2}$$
여기서 $f$는 compactly supported smooth function on $M$을 말한다.
이제 이 두 사실을 이용해서 다음을 증명한다:
Proof. 일단 $M_1$의 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 finite sided fundamental domain $F$를 고른다. 그리고 $g_1,\ldots,g_k$를 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 generator들로 잡는데, 두개의 $F$의 copy들이 $\partial F$에서 겹치도록 $M_1$에서 나타나면 $g_i$의 원소들 중 하나가 하나의 $F$에서 다른 하나의 $F$로 옮기는 성질을 갖도록 한다. (이렇게 설명하니까 괜히 복잡한데, 쉽게 hyperbolic manifold의 세팅에서는 $F$는 Dirichlet domain들에 해당되고, $g_i$들은 그 domain을 형성할 때 사용되는 generator라고 생각하면 편하다.)
이제, $M_1$의 compactly supported smooth function $f$를 잡고, $\mathrm{supp}(f)$를 $F$로 lift를 시키자. 그리고 $\epsilon>0$을 충분히 작게 잡아서, 모든 $x\in\mathrm{supp}(f)$의 $\epsilon$-ball은 최대 $\partial F$의 component를 한번만 만나도록 한다. 그러면 이러한 가정에 의해서, 만약 $F_i = \bigcup_{g\in E_i}gF$ 라고 한다면,
$$x_i^\epsilon = \begin{cases} 1 & \text{if }\mathrm{dist}(x,\partial F_i)>\epsilon,\\ {1\over\epsilon}\mathrm{dist}(x,\partial F_i) & \text{o.w.} \end{cases}$$
는 잘 정의된 smooth function이 된다. 이제 $f$를 $M_2$로 lift를 하면, $f_i = x_i^\epsilon\cdot f$는 $M_2$의 compactly supported smooth function이 된다. 이제
$${\int_{M_2}\parallel df_i\parallel^2\over\int_{M_2}\parallel f_i\parallel^2}$$
를 계산하는데, 값을 구해보면, 만약 $A_i = \#(E_i), B_i = \#(\partial E_i),C_i = A_i - B_i = \#(E_i-\partial E_i)$라고 한다면, 분모는 $\geq C_i\int_{M_1}|f|^2$이고, 분자는 Schwartz inequality에 의해서
$$\leq{1\over\epsilon^2} B_i\int_{M_1}|f|^2+C_i\int_{M_1}\parallel df\parallel^2+{1\over\epsilon}B_i\left(\int_{M_1}|f|^2\right)^{1/2}\left(\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\right)^{1/2}$$
가 된다. 따라서 계산하려는 식은 다음의 값으로 bound가 된다:
$$\leq {\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon}\left({\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}\right)^{1/2}$$
가 된다. $E_i$의 성질에 의해서, $B_i/C_i\to 0$가 되고, 따라서 첫번째 텀 말고는 전부 죽는다. 따라서 $i\to\infty$로 해서 $E_i$가 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$가 되도록 하면, $f_i$는 $f$로 수렴하고, 따라서
$$\lambda_0(M_2)\leq\lambda_0(M_1)$$
이 성립한다. $\geq$는 항상 성립한다고 알려져 있으므로* $\lambda_0(M_1) = \lambda_0(M_2)$가 된다. $\square$
*는 임의의 complete Riemannian manifold의 $\lambda_0$를 positive $\lambda_0$-harmonic function으로 represent될 수 있고, 임의의 positive $\lambda$-harmonic function은 항상 $\lambda_0\geq\lambda$가 된다는 성질로부터 나온다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
문학 왜이러지 0
안 읽히는 건 시고 잘 읽히는 건 소설인데 시가 소설보다 잘풀림
-
제2외국어가 ㄹㅇ 그랬는데 ㅋㅋㅋㅋ
-
흐흐흐
-
현지인 의견/ 관광객 의견 다 받아요우 선정되면 소정의 덕코를
-
4점 초반 문제 못푸는 사람들 이해못하나요? 4~5등급이 보통 10번에서부터...
-
둘중 하나만 들으면 되는거죠?
-
확통싫어 4
수1수2보다도 확통이 더 안되는 느낌
-
김현우: 미췬넘아 ~ 3분 보고 안풀라면 넘기라궈 15번 수열 나오면 최지욱:...
-
손창빈의 축 1
축을 그리자
-
와...
-
재수생 군대 질문 11
재수하는 05입니다 이번주 금요일에 신검을 받으러가는데 저는 신검후 입영날짜...
-
반박시 법회
-
산문은 정보 수집하며 상상하며 읽으면 문제푸는데 어려움이 없는데, 고전시가의 경우는...
-
호흡계에서 H2O를 방출한다. TRH->TSH 순서이다. 2차면역은 기억세포의...
-
7투스 2
오늘 7투스 쳤는데 수능날 3합 5가 목표인데 맞출 수 있을까요? 7투스로...
-
독서실에서 공부하다 옆자리 분의 수학교재를 봤는데 표지는 못 봤고 펼쳐져있는 페이지...
-
왜 사람들이 정품 쓰는지 알겠던데 ㅋㅋㅋ 손창빈 황용일 라인업인데 둘 다 안 맞아서...
-
ㅈㄱㄴ
-
제목 그대롭니다 고3 이고 지금 인강 듣는 게 뭔 의미가 있나... 이런 생각도...
-
지금 생지인데 지구를 내신때서 안해서 집중적으로 하느라 시간 많이 쓰고 있거든요...
-
집 도착! 2
-
115점 나옴 빡머가리 ㅁㅌㅊ
-
산 빨아주는 시 꼬!
-
내 목표 0
화기생지 작수 76597 우울증 때문에 작수 망함 25 6평 54585 1~5월...
-
부모님이 돈안줘서 쿠팡뛰면서 9급공무원시험 준비하는데 힘들다 근데 이렇게하고 붙으면...
-
낮4까지만 풀리고 좀더 어려워지면 턱턱막힘 저번서바도 2컷…ㅠ
-
저거 두권 주심 ㄹㅇ 쌔삥이던데 독학은 안되는거임뇨?
-
1557 4
88848
-
부엉이 왔다 0
애기 부엉이 너무 귀여워
-
디카프 프로모터 일주일컷 ㄱㄴ한가요 풀어보신분 후기좀 주세요… 쉬운가요? 아님 바로...
-
결국 이번 총선도 민주당(+조국혁신당) 국민의힘 2파전이고 예전...
-
그리고 마작하면 어느 나라 생각 나시나요 중국? 저는 코난 때문에 자꾸 일본...
-
윤도영 Apex 4
윤도영 Apex predator 난이도가 어려운 편인가요? 원래 가계도가 많이...
-
있으면 댓글 달고가라 ㅇㅇ
-
쓰시고 있거나 쓰신 분들 이거 어땠나요?...
-
속썩이더니 사람구실하는구나 하고 좋아하실듯
-
수1 수2는 할만했는데 미적 미분단원 10번대 그냥 다 못푸는중
-
https://orbi.kr/00068787711
-
오늘이 동생 친구 부른다고 한달전부터 나가달라 한 날이였음 피방에 있다가 아침에...
-
빅포텐 질문 0
빅포텐 난이도 어떻나요 수1수2미적중에 괜찮은거 추천좀
-
지금 진도 뭐나감?? 자료는 서바랑 파이널브릿지밖에 없는가 6평 솔직히...
-
제가 잘 썼던 방법입니다 소단원 하나를 정리할때, 한 소단원 개념을 노트에...
-
9모 D-43 0
시간 너무 빠르다
-
인구수 적은 드럼은 오히려 수도승같은 이미진데 굳이 기타를 마다하고 굳이굳이...
-
하기싫은거 억지로 하는중인데 어카죠… 미적 개념 듣는데 ㄹㅇ 시발점으로 듣다가...
-
며칠 전에 기업 이력서 넣고 철권 몇 판하고 오다가 0
큰 골목으로 돌아들어가는 길에 남녀 중딩인지 고딩? 들이 서너명이서 흡연하고 있는 거 본 적 있음
-
태풍의눈 4
태풍과 온대저기압은 중심기압이 낮을수록 세력이 세다면, 태풍은 ‘태풍의 눈’에서...
-
100만덕 송금하기
-
이번에 학종 쓸려는 06이고 경북대학교 통계학과랑 수학과(자연과학대학) 적을...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.