amenable
Let $M_1$ be a complete Riemannian manifold with Riemannian covering $M_2\to M_1$ such that $M_1$ has a finite topological type, i.e., homotopy equivalent to a union of finitely many CW complexes. (manifold with finitely generated fundamental group for example.)
Theorem. If $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ is amenable, then $\lambda_0(M_2) = \lambda_0(M_1)$.
Group이 amenable하다는 것은, 여러가지로 정의할 수 있는데, 이렇게 기하학적인 상황을 상정한다면, 가장 좋은 정의는 다음과 같다: In other words, there exists finite subsets $E_i$ of $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ such that
$${\#(\partial E_i)\over \#(E_i)}\to 0,\quad\text{as }i\to \infty.$$
여기서 $\partial (E_i) = \{g\in E_i\mid g_j\cdot g\notin E_i\text{ for some }j\}$ 으로, $E_i$의 "boundary"에 해당된다. (Cayley graph에서는 진짜 boundary가 된다.)
Theorem을 증명하기 전에 여기서 $\lambda_0$는 Riemannian manifold위에 laplace-beltrami operator $\Delta$의 bottom eigenvalue에 해당된다. 이러한 $\lambda_0$ 값이 다음의 값과 같다고 알려져 있다:
$$\lambda_0(M) = \inf_f{\int_M\parallel df\parallel^2\over\int_M\parallel f\parallel^2}$$
여기서 $f$는 compactly supported smooth function on $M$을 말한다.
이제 이 두 사실을 이용해서 다음을 증명한다:
Proof. 일단 $M_1$의 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 finite sided fundamental domain $F$를 고른다. 그리고 $g_1,\ldots,g_k$를 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 generator들로 잡는데, 두개의 $F$의 copy들이 $\partial F$에서 겹치도록 $M_1$에서 나타나면 $g_i$의 원소들 중 하나가 하나의 $F$에서 다른 하나의 $F$로 옮기는 성질을 갖도록 한다. (이렇게 설명하니까 괜히 복잡한데, 쉽게 hyperbolic manifold의 세팅에서는 $F$는 Dirichlet domain들에 해당되고, $g_i$들은 그 domain을 형성할 때 사용되는 generator라고 생각하면 편하다.)
이제, $M_1$의 compactly supported smooth function $f$를 잡고, $\mathrm{supp}(f)$를 $F$로 lift를 시키자. 그리고 $\epsilon>0$을 충분히 작게 잡아서, 모든 $x\in\mathrm{supp}(f)$의 $\epsilon$-ball은 최대 $\partial F$의 component를 한번만 만나도록 한다. 그러면 이러한 가정에 의해서, 만약 $F_i = \bigcup_{g\in E_i}gF$ 라고 한다면,
$$x_i^\epsilon = \begin{cases} 1 & \text{if }\mathrm{dist}(x,\partial F_i)>\epsilon,\\ {1\over\epsilon}\mathrm{dist}(x,\partial F_i) & \text{o.w.} \end{cases}$$
는 잘 정의된 smooth function이 된다. 이제 $f$를 $M_2$로 lift를 하면, $f_i = x_i^\epsilon\cdot f$는 $M_2$의 compactly supported smooth function이 된다. 이제
$${\int_{M_2}\parallel df_i\parallel^2\over\int_{M_2}\parallel f_i\parallel^2}$$
를 계산하는데, 값을 구해보면, 만약 $A_i = \#(E_i), B_i = \#(\partial E_i),C_i = A_i - B_i = \#(E_i-\partial E_i)$라고 한다면, 분모는 $\geq C_i\int_{M_1}|f|^2$이고, 분자는 Schwartz inequality에 의해서
$$\leq{1\over\epsilon^2} B_i\int_{M_1}|f|^2+C_i\int_{M_1}\parallel df\parallel^2+{1\over\epsilon}B_i\left(\int_{M_1}|f|^2\right)^{1/2}\left(\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\right)^{1/2}$$
가 된다. 따라서 계산하려는 식은 다음의 값으로 bound가 된다:
$$\leq {\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon}\left({\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}\right)^{1/2}$$
가 된다. $E_i$의 성질에 의해서, $B_i/C_i\to 0$가 되고, 따라서 첫번째 텀 말고는 전부 죽는다. 따라서 $i\to\infty$로 해서 $E_i$가 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$가 되도록 하면, $f_i$는 $f$로 수렴하고, 따라서
$$\lambda_0(M_2)\leq\lambda_0(M_1)$$
이 성립한다. $\geq$는 항상 성립한다고 알려져 있으므로* $\lambda_0(M_1) = \lambda_0(M_2)$가 된다. $\square$
*는 임의의 complete Riemannian manifold의 $\lambda_0$를 positive $\lambda_0$-harmonic function으로 represent될 수 있고, 임의의 positive $\lambda$-harmonic function은 항상 $\lambda_0\geq\lambda$가 된다는 성질로부터 나온다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
어차피 갈대학이 없어서 ㅋㅋㅋ 정시해야됨 학종으로 과기원 3개 1차붙고 나중에 다떨어짐
-
이번 6모 77 미적선택 재수생인데 문해전...s2 풀고싶은데 믾이 어려울까효...
-
ㅈㄱㄴ 논술 노리는 중경외시 반수생이라 아직 수특은 풀고만 있고 연계 공부는...
-
착해 보이지 않나요
-
귀찮다
-
1.6정도면 ㄱㄴ한가요?
-
문해력 졸라 부족함...ㅜㅜ 그래서 이것 저것 많이 피곤함요... 기초 문해력...
-
사탐람 질문 0
학교마다 미적사탐해야지 공대 지원할 수 있는곳이 있는거고 확통 사탐을 해도 지원 할...
-
수능 기준으로는 몇정도라 보면 되나요
-
M13 구상 성단 로버트 4중주 은하군이 뭔데 씹덕아 본문에도 안 썼으면서 문제를...
-
여기에 질문 해도 되나요 ..?
-
진짜 개노답이겠죠 아니 진짜 찍은거 제외 최대 56점이에요 그 이상 안...
-
하루에 5번..은 하는거같은데 107
나 ㄹㅇ 어카냐 아니 이게 가만히 앉아서 공부만 하니까 ㄹㅇ 미치겠음…. 억제제...
-
ㅈㄱㄴ
-
어떻게 시람이 매번 하나만 틀리거나 다맞지
-
박근혜정부때도 같이 설명해주세요
-
오류 많다고 까는 ㅅㄲ들은 머임 ㅋㅋ 지들이 돈주고 샀음? 뭘 투자라도 함? 수험생...
-
ㄷ에 대한 질문입니다. 지리적 격리에 의해 종분화가 일어나고 있는 상황인데, ㄷ...
-
1. 포켓몬 소드실드 2. 젤다 야숨 3. 스플래툰 뭐고르지
-
내 고닉 정함 1
코붕
-
입력하려다가 중복이라고 떠서 보니까 딱 작년 요맘때에 예문까지 똑같은 걸로 입력해...
-
언매 97 #39 전체적으로 쉬웠던 것 같고 개인적으로 문학에 헷갈리는거 몇개...
-
김승리 KBS 1
8월부터 수완……. 그래도 늦는 만큼 잘 해줘서 좋긴 해
-
군수생 달린다 16
잘하고 싶어요
-
건동홍은 꽤 봤고 중앙대랑 경희대도 가끔 본 거 같은데 외대는 거의 못 본 거 같아서요
-
로마자 표기법 2
수능때 표기법 안주고 내기 ㄷㄷ
-
전체 3.51, 주교과 3.37이면 어느정도인가요? 진로선택 모두 A이고 출결도...
-
이감 상상 둘다 저거에 꽂혔네 그거랑 별개로 만복사저포기(수특연계) 얘는 유독...
-
머지머지 22
과외순이야왜발음나는대로표기하지를못하니ㅠㅠ
-
볼때 꼭 책있어야하나요?? 판서가 많다고 하는거 보면 필요없을것 같기도 한데
-
본인이 고2때 4에서 노력으로 평가원 98 교육청 99까진 뚫어봤는데 그 이상이...
-
작년에 8투스 학교에서 봤는데 화작 98이었어요 그 당시에 예상 컷이 98이어서...
-
우와 대치다 7
히히 찾으시면 밥사드림
-
안녕하세요 작년에 전문대 재학 중 정신과 약 테스트 겸 3개월 반수 후 기하는 5...
-
재수생들 2
힘내장 얼마나 힘든지 안다 근데 그거 견디면 진짜 행복한 대학생활할 수...
-
잇올 편도로 40분 좀 넘는데 아침잠 때문에 고생이네요 ㅠㅠ 원래 수면패턴상 7시간...
-
비평준화 지역이고 갓반 중에서도 꽤 유명한 갓반 (제 모교인데 전 내신 하위권이긴...
-
양치도구 스카에 놓고옴;;; 스카에입성한다 양치도구챙겨서바로나간다...
-
수2 복습책 1
개념원리, rpm으로 수2 개념만 공부한 고1입니다. 학원에서 겨울에 미적분 특강을...
-
뭔 ㅋㅋㅋㅋ깜짝이야
-
피램 질문 2
수능 국어 준비하는 군인입니다 피램 고등학생 때 이용해보았는데 좋았어서 한 번 더...
-
슬슬 잘시간이네 13
-
수학 양심고백 0
수특 풀다가 분자식 구조가 안보여서 로피탈 써서 푼 문제 있음
-
교육청/평가원(3, 5, 6, 7) 100 84 96 100 더프(3, 4, 5,...
-
제곧내..
-
한권 두께가 국어사전급인데? 이게 3권 있는데 도대체 몇 문제인거야
-
화력확인용 3
댓글 한 번씩만 부탁드려요 100덕씩 드림
-
김준 필수이론이랑 크포 같이 병행해도될까요?
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.