Shearing hyperbolic surfaces and bending pleated surfaces
Definition (transverse cocycle). Closed oriented surface $S$에 대해서, geodesic lamination $\lambda$가 있고, $G$가 abelian group이라고 하자. $G$-valued transverse cocycle for $\lambda$는 $\lambda$에 transverse한 (unoriented) arc $k$에 대해서 $G$의 원소 $\alpha(k)\in G$를 associate 하는 것인데, $\alpha$는 additive하고 holonomy invariant 하는 성질을 만족해야한다. $\mathcal{H}(\lambda; G)$를 the group of $G$-valued transverse cocycle for $\lambda$를 뜻한다. (참고로 measure가 되려면, countably additive가 되어야 한다)
Rmk. 보통 $G = \Bbb R$ (transverse signed measure) 혹은 $=\Bbb R/2\pi\Bbb Z$ (bending measure) 인 경우를 생각한다. 만약 transverse cocycle의 값이 non-negative이라면 countably additive하다는 것을 보일 수 있고, 따라서 $\lambda$의 transverse measure를 정의한다. 따라서 transverse cocycle은 기존의 measured lamination의 transverse measure를 일반화한 개념이라고 볼 수 있다. Signed measure를 생각하는 이유는, "shear map" 을 다루기 위해서인데, 주어진 closed oriented surface에 두 가지의 hyperbolic metric $m_1,m_2$가 주어졌을 때, 어떤 lamination $\lambda$를 기준으로 왼쪽으로 각각의 $S-\lambda$의 component들을 twist해서 $m_1$ 에서 $m_2$로 바꿀 수 있다는 것을 보였음. (참고로 밑의 Theorem A는 unique하게 찾을 수 있음을 말해줌.) 이 경우에는 얼만큼 twist를 했는지를 따라서 $\lambda$에 transverse measure를 줄 수 있는데, 핵심 이유 중 하나는 항상 "왼쪽"으로 twist를 하는 것을 요구하기 때문. 일반적으로 오른쪽으로 twist하는 것도 허용을 하면, transverse measure를 주지는 못하고 위에 transverse cocycle을 줌. 이렇게 왼쪽 혹은 오른쪽으로 어떤 geodesic lamination을 기준으로 twisting 혹은 shifting을 하는 것을 shear map 이라고 부름. 왼쪽으로 twist는 양수, 오른쪽은 음수로 기록을 함.
밑에 Theorem들에 shearing cocycle과 bending cocycle를 언급하는데, 이걸 formal 하게 정의하면 너무 길어질 것 같아서, shearing cocycle에 대해서만 대충 말로 설명하자면, 기본적으로 $\lambda$에 transverse한 arc에 대해서 정의한 것을, 하나의 $S-\lambda$의 component에서 다른 component로 가는 것으로 생각할 수 있으므로, 주어진 두개의 component에 대해서, 하나의 real value를 assign하면 된다. Description을 쉽게 하기 위해, 보통 universal cover로 올린 다음에 생각하고, 이 경우 (closure를 취한) complementary component들을 plaque라고 부른다. 두개의 plaque $P,Q$가 주어졌을 때, $Q$에 가장 가까운 $P$의 edge와 $P$에 가장 가까운 $Q$의 edge를 leaf들에 orthogonal한 foliation으로 연결할 수 있는데, 이 연결하는 방식이 두 edge leaf들 사이의 isometry를 주게 된다. 따라서, $P$의 edge leaf에 canonical한 basepoint를 이용해서, $\Bbb R$로 basepoint는 0이 되도록 leaf를 parametrize하고 $Q$의 edge leaf 또한 비슷한 식으로 정의하면, $\sigma(P,Q)$라는 것은, 위에서 말한 isometry로 인해서 basepoint가 어디로 mapping이 되는지 기록하는 것이다.
Shearing cocycle $\sigma_m$의 중요한 성질은, 만약 $m_2$가 $m_1$에서 $\lambda$를 기준으로 shear mapping을 해서 얻은 것이라고 한다면, 이 shear map이 왼쪽으로 shift하는 정도를 measure하는 transverse cocycle은 정확히 $\sigma_{m_2} - \sigma_{m_1}$. 따라서, shearing cocycle은, $\lambda$를 기준으로하는 earthquake map을 일반화 한 것이라고 생각할 수 있다.
Theorem A. For a fixed maximal geodesic lamination $\lambda$, the map $\mathcal{T}(S)\to\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R)$ by $m\mapsto\sigma_m$ defines a real analytic homeomorphism from $\mathcal{T}(S)$ to an open convex cone $\mathcal{C}(\lambda)$ bounded by finitely many faces in $\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R)$.
만약 $M$이 oriented hyperbolic 3-manifold이고 $f:S\to M$이 pleated surface with pleated locus $\lambda$ 라고 한다면, $f$의 local convexity에 의해서, 다시 말해서 $f$가 항상 같은 방향으로 굽어져 있기 때문에, 굽어져있는 정도가 $\lambda$에 transverse measure를 정의한다는 것을 증명할 수 있다. 따라서 각각의 pleated surface $f$에 대해서, $\Bbb R/2\pi\Bbb Z$-valued transverse cocycle $\beta_f$를 associate 할 수 있다. (자세히는 말하지 않을 것이다. 일반적으로 어떻게 정의하는지는 상당히 까다롭다.) 또한, $f$의 image에 해당되는 immersed surface에 inherit 되는 complete hyperbolic metric을 $f$로 pullback을 해서 $S$에 $m_f$라는 hyperbolic metric을 얻을 수 있다. 다시 말해서, 각각의 pleated surface $f$에 대해서, 두가지 정보 $(m_f,\beta_f)$를 뽑아낼 수 있다. 다음의 정리는 이 두가지 정보가 pleated surface를 완전히 결정한다고 말하고 있다.
Pleated surface는 소위 "abstract" pleated surface로 생각하는 것이 편할 때도 있는데, 이것이 무엇이냐면, $f$를 $(\tilde{f},\rho)$로 기록을 하는 것이다. 여기서 $\tilde{f}:\tilde{S}\to\Bbb H^3$는 $S$의 universal covering $\tilde{S}$에서 $\Bbb H^3$로 가는, pleated locus가 $\tilde{\lambda}$인 pleated map으로 보는 것이다. 그리고 $\rho$는 $\tilde{S}$가 $S$에 어떻게 "접히는지" 기록하는 map으로, $\rho:\pi_1(S)\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$이다. 물론 $\tilde{f}$와 equivariant 하다는 것을 요구한다.
Theorem C. For every geodesic lamination $\lambda$ of $S$, the map $f\mapsto (m_f,\beta_f)$ induces a homeomorphism from the space of all pleated surfaces with pleating locus $\lambda$ to the space $\mathcal{T}(S)\times\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R/2\pi\Bbb Z)$. In addition, the space $\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R/2\pi\Bbb Z)$ is homeomorphic to the union of 0 or 1 tori, whose number and dimension can be explicitly computed from $\lambda$.
따라서, 만약 $\lambda$가 maximal이라면, 그 외의 부분에서 bending이 일어날 수 없기 때문에 $\lambda$를 pleated locus로 갖는 pleated surface는 $\rho$ 하나로 결정이 된다. 따라서, 이러한 space of pleated surface들은 $\mathcal{R}(\lambda)\subset\mathrm{Hom}(\pi_1(S),\mathrm{PSL}_2\Bbb C)/\mathrm{PSL}_2\Bbb C$으로 open subset으로서 identify할 수 있다. Theorem A와 C에 의해서, $\rho\in\mathrm{R}(\lambda)$는 bending cocycle $\beta_f\in\mathrm{H}(\lambda;\Bbb R/2\pi\Bbb Z)$ 와 shearing cocycle $\sigma_{m_f}\in\mathrm{H}(\lambda;\Bbb R)$ 으로 characterize할 수 있다. 이 두 가지를 하나로 합칠수 있는데, 이것을 "shear-bend cocycle" 이라고 부른다: $\Gamma_\rho = \sigma_m+i\beta_f\in \mathrm{H}(\lambda;\Bbb C/2\pi\Bbb Z)$
Theorem D. The map $\rho\to\Gamma_{\rho}$ induces a biholomorphic homeomorphism from $\mathcal{R}(\lambda)$ to the open subset $\mathcal{C}(\lambda)\oplus i\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R/2\pi\Bbb Z)$ of $\mathcal{H}(\lambda;\Bbb C/2\pi i\Bbb Z)$, where $\mathcal{C}(\lambda)\subset\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R)$ is the open cone of Theorem A.
Theorem D가 말하는 것은, 어떤 maximal geodesic lamination을 기준으로, earthquake과 bending은 서로 어떤 holomorphic map의 real, imaginary 파트를 담당한다고 생각할 수 있다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
태양 정도의 질량을 가진 별의 주계열 단계에서 수소 껍질 연소가 나타나나요? 아님...
-
.....
-
천만덕 가쥬아
-
연논 채점기준표 5
어디서 보나요?? 연세대 홈페이지 들어가도 기출문제랑 출제의도만 있고 채점기준표는...
-
첫사랑 스카에서 봄 10
5년도 전인데 딱 봐도 알겠다.. 대학은잘갔나 공학용계산기쓰는거봐서는 공대갓나보네
-
이것도 틀딱이냐??
-
하프실모 추가? N제 풀기?
-
ㅈㄱㄴ 물론 난 재수생이고 그분도 대학졸업함 ㅇㅇ
-
교육청이 다 섞여있던데 평가원만 풀고싶어서요
-
알 수가 없음 ㅋㅋ
-
애들 줄어들고 수능 페지되고 망한다는 생각은 망상이겠죠?
-
수학 과외 준비 5
올해 대학 입학해서 이제 대학생활 한학기 보낸 사람입니다. 1학기때는 대학생활...
-
내일 방송 3
아주 기대가 됩니다
-
꽤 많이 온듯
-
안정2~가끔1 기준으로
-
나형은 만점이라던데
-
28일쯤에 올오카 끝날듯 한데 다음 커리 어떤걸 타는게 좋을까요 어떤분은 시간...
-
상메에 링크 걸어봤는데 저게 맞나..? 한번 걸어보고 싶어서 걸어봤어요
-
인문 철학 파트 논리적 비약 조낸 많음 ㅋㅋㅋㅋ 퀄이 참….
-
어제 오후 3시부터 지금까지 총 13건의 표본이 제출되었습니다. 방학 기간이라...
-
출판되었습니다. 21
안녕하십니까? [다정 : 다항함수 정복하기] 의 저자 곽희윤, 김동우입니다....
-
캠퍼스큰건 단점이라는걸 정말 여름이되고 절실하게 깨닫고있어요 뭐 하나 놓고왓다? 걍...
-
미적백분위 100에 가르친 경험은 1명 있으면 시급이 얼마 정도 됨?
-
현역인데 그냥 방학때 한다니까 엄마가 자꾸 수능끝나면 하라는데 뭐가 더 ㄱㅊ을 거...
-
공부하러간다 2
흐음
-
시즌4-1부터 (프리파이널)장기거래 가능 권당 6000원
-
이신혁T 듣는분 1
이번주부터 새로 드가는데 과제 있나요? 서바는 수학처럼 수업시간에 보는건가요?
-
인증글 싹 지움 0
이유는 새출발 하자는 느낌 인증글은 그래도 매일 올린다.!
-
학원에서 보니까 스폐셜간쓸개? 밖에 없네요
-
재수하시길 간절히 바랬던분을 오르비에서 만났어요ㅋㅋ 2
최초합분 어차피 점수차이 많이나서 아쉽지는 않은데 뭔가 세상 좁은느낌ㅋㅋ
-
오랜만입니다 8
옯비를 삭제한지 뭐 거진 4개월…이나 됐네요 스카이만을 노리는거면 편입이 더...
-
어떻게 될지 도저히 감이 오지않아 많은 분들의 사견을 들어보고자 합니다.
-
뉴런은 필수? 6
꼭 들어야 하나요? 이미 수1은 다 듣고 수2 거의 다 들은 상태긴 한데 안 맞는거...
-
왜 5의 7제곱이아니라 5h7인가요 이거 갑자기 ㅈㄴ헷갈리네
-
나도 안정 50 받고 싶다 45 48 이딴 점수 말고...
-
고3인데 인스타,카톡 다 지우고 친구도 없고 매일 밥도 혼자 먹으면서 공부만 하니까...
-
지도교수 면담 필요해서 메일 보냈더니 전화상담부터 하자 함 전화드렸더니 사유...
-
. 2
오늘도 뭔가 깨달았서 ..밥 먹어야징
-
흐히힉
-
씨.발탱..
-
하... 0
수학 실모 하나 망치니까 자존감이 바닥까지 떨어지네요
-
[단독]유상임 과기부장관 후보자 장남, 병역검사 기피 후 현역면제 16
유상임 과학기술정보통신부 장관 후보자의 장남 유모 씨(37)가 과거 해외 체류를...
-
잘때 꾸는 꿈이든 목표인 꿈이든 하나도 없네
-
[단독] 2026학년도 의대 증원 규모 또 물러선 정부 12
의료계 ‘통일된 증원안’ 없어도 대화 참여하면 재논의 검토 정부는 최근 의료계가...
-
정부, '하반기 모집 전공의 '보이콧' 교수들에 "법적 조치 강구"(종합) 1
수가개편 놓고 "23년 만에 구조 체계 고쳐 지역·필수의료 확충" 강조...
-
국어 > [강대모의고사K 4회] 공통, 화작 수학 > [서바이벌 모의고사 1회]...
-
"개그가 따로 없네"…정몽규, '30년 축구경영' 회고록 출간 시끌 9
대한축구협회장인 정몽규 HDC그룹 회장이 축구와 함께한 지난 30년간의 활동을...
-
공군 사교학교 아니면 힘들까요? 잘 아시는 분 없을까요?
-
1번이 맞나요 2번이 맞나요?ㅠㅠㅠㅜ
-
자꾸 사람들이 내 1인실 문 두드리길래 왜저러지 싶다가 헤드셋 벗고 노래 트니까...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.