A Norm on homology of 3-manifold

Definition of Thurston norm

Properties of Thurston norm ball

Example of Thurston norm ball

Teichmuller polynomial

Thurston norm and foliation

Gabai's theorem

Classic and new transverse surface theorem

Euler class

Euler one class conjecture and Fully marked surface theorem

Mosher's study on Thurston norm ball

Operations on surfaces

(oriented) 3-manifold의 2nd homology class는 항상 (oriented) embedded surface로 represent할 수 있다. ($S^1$가 $K(\Bbb Z,1)$ space인 것을 이용해서, $H_2(M;\Bbb Z) = H^1(M;\Bbb Z)$와 $[M,S^1]$ 사이의 bijective correspondence가 있다는 것을 이용하면 된다) 이러한 homology class의 덧셈과 상수배를 기존의 representative를 이용해서 나타나기 위해서는, surgery라고 불리는 기본적인 operation이 필요하다. Surgery 기법은 위상수학에서, 특히나 고차원 위상수학에서 자주 나오는 기법이다. 여기서 소개될 여러 surgery 기법들은 추후에 thurston norm이 integral lattice에서 pseudo-norm인 것을 보일 때 쓰일 것이다.

$S$와 $T$가 3-manifold에 들어있는 embedded surface라고 했을 때, $S$과 $T$가 각각 represent하는 homology class $[S],[T]$가 있을 것이다. 우리는 $S\asymp T$라는 새로운 surface를 만들어서, $[S\asymp T] = [S]+[T]$가 되도록 할 것이다. 따라서 $\chi(S\asymp T) = \chi(S)+\chi(T)$가 되는 embedded surface를 만든다.

위에 그림처럼, $S\asymp T$는 $S\cap T$를 따라서 $S$와 $T$를 자른 다음에 orientation을 그대로 유지되게끔 하는 방식으로 (유일하게 결정된다) 다시 붙이는 operation이다. 이러한 operation은 1-manifold $\gamma,\eta$에서도 비슷하게 행해질 수 있고, 똑같은 기호 $\gamma\asymp\eta$를 사용해서 만들어진 1-manifold를 나타낸다. 한가지 쉽게 볼 수 있는 것은, 만약 $M$이 boundary를 갖고 있다면, $\partial (S\asymp T) = \partial S\asymp\partial T$를 알 수 있다.

$S\cap T$에 simple closed curve $C$가 있는데, 둘 중 하나의 surface $T$에 inessential 하게 들어있을 수 있다. 이러한 경우에는 intersecting하는 경우는 정보를 거의 갖지 않고 surface의 복잡도만 늘기 때문에 주로 없애준다. 이러한 없애주는 operation을 2-surgery라고 한다.

위에 그림과 같은 상황을 보자. $T$에 $D$라는 $C$가 bounding하는 disk가 있다고 하자. 물론, $D$ 안에 $S\cap T$의 다른 component들이 존재할 수 있지만, 가장 안쪽에 있는 것을 골라서 위의 그림과 같은 상황을 연출할 수 있다. 이제 $T$의 $D$에서의 tubular neighborhood를 잡아서 $S$에서 뺀 다음 "capping"을 해서 위의 그림과 같이 $S'$이라는 새로운 surface를 만들 수 있다. 다시 말해서, $D$를 $S$의 compressing disk로 보고 compression을 진행하는 것이다. 이렇게 만든 새로운 surface $S'$를 $S$으로부터 2-surgery를 통해서 얻었다라고 한다. 중간에 $T$의 tubular neighborhood의 일부 $D\times I$가 $S$와 $S'$ 사이의 3-cell로서의 homology를 주기 때문에 $[S'] = [S]$가 된다. 또한, $\chi(S') = \chi(S) + 2$ 임을 알 수 있다. 다시 말해서, 2-surgery는 homology class의 representative의 complexity를 줄이는 operation에 해당된다.

비슷한 식으로, $S\cap T$의 inessential curve $C$가 boundary에서 나타나는 경우에도 똑같은 2-surgery를 행할 수 있다. 이 경우에도 만들어진 surface $S'$는 기존 $S$와 같은 homology class를 represent 하지만, complexity는 하나 줄은 surface가 된다. $\chi(S') = \chi(S) + 1$.

앞에서도 말했지만, (topological) 3-manifold theory에서 자주 등장하는 embedded surface에서의 operation 중 하나가 "compressing" 이다. 기본적으로 embedded surface $S$가 $M$에서 compressible 하다는 것은 $S$위에 essential simple closed curve $C$를 boundary로 갖는 $M$에서의 embedded disk $D$가 존재하는 경우를 말한다. 그러면 우리는 위에서 2-surgery와 같이, $D$를 기준으로 $S$를 자르고 새로 생성된 $S$의 boundary 2개를 각각 $D$의 copy로 붙이는 작업을 한다. 이것을 $S$를 compressing 한다고 하고, $D$를 compressing disk라고 부른다. 다음 사진과 같은 상황이다:

앞선 2-surgery와 같이 $D\times I$가 새로 만들어진 surface $S'$와 $S$의 homology를 주기 때문에 homology class 자체는 바뀌지 않고, complexity는 $\chi(S') = \chi(S) + 2$로 줄어든다. 2-surgery 때와 마찬가지로, 비슷한 식의 compression을 essential arc $(A,\partial A)\subset (S,\partial S)$ 를 따라서 진행할 수 있다. 마찬가지로 새로 만들어진 surface의 homology class는 바뀌지 않고, complexity는 1 줄어든다. $\chi(S') = \chi(S)+1$. 만약 compressing disk가 없는 경우에 incompressible 이라고 부르고, compressible arc가 없는 경우에는 boundary incompressible 이라고 부른다.

Definition of Thurston norm

Lemma. If $\alpha$ is divisible by $k$, then $S$ is a union of $k$ components, each representing $\alpha/k$.

$(\because)$ $\alpha = k\beta$ 라고 하자. 그러면 우리는 다음의 homotopy-commutative diagram이 존재한다:

여기서 $f_\alpha,f_\beta$는 $H^1(M,\Bbb Z)$와 $[M,S^1]$ 사이의 bijective correspondence에서 나온 map들을 말한다. $f_\alpha$, $f_\beta$의 unique up to homotopy 성질에 의해서 $p$는 $k$-fold covering map이 된다. $p^{-1}(y) = \{y_1,\ldots,y_k\}$가 $f_\beta$의 regular value들이라 가정할 수 있고, 따라서 $S$는 $f_\beta^{-1}(y_1)\cup\cdots\cup f_\beta^{-1}(y_k)$의 disjoint union of surfaces가 되고 각각의 component들은 $\beta$를 represent 한다. $\square$

Rmk. 자명히, $\alpha = k\beta$라고 하면, $\beta$가 represent하는 surface의 parallel copy를 $k$개 모아놓으면 그것의 homology class는 $\alpha$ 를 represent 한다.

Thurston norm은 주어진 integral 2-homology class를 representing하는 embedded surface들 중에서의 minimal complexity를 잰다. 여기서 surface의 complexity는 Euler characteristic으로 잰다.

Definition. Given a connected surface $S$, let

$$\chi_-(S) = \max(0,-\chi(S))$$

and if $S = \coprod_j S_j$ then

$$\chi_-(S) = \sum_j\chi_-(S_j).$$

한가지 알아둘 것은, $\chi_-(S_1\# S_2)\geq\chi_-(S_1)+\chi_-(S_2)$가 된다는 것이다.

Definition. Let $M$ be any compact, oriented 3-manifold. Define the norm $\parallel - \parallel$ on the integral lattice of the second homology $H_2(M)$ or $H_2(M,\partial M)$ by the formula

$$\parallel a\parallel = \inf \{\chi_-(S)\mid S\text{ is an embedded surface representing }a\}$$

Theorem. For any integral 2-homology class $a,b$ and any $n\in\Bbb N$, the following properties hold:

$$\parallel a \parallel = \parallel -a \parallel,\quad \parallel na\parallel = n\parallel a\parallel,\quad \parallel a+b\parallel\leq\parallel a\parallel +\parallel b\parallel.$$

$(\because)$ 첫번재는 주어진 surface의 orientation을 모두 바꾸면 된다. 두번째는 만약 $S$가 $a$를 represent하면, $S$의 $n$개의 parallel copy는 $na$를 represent하고, 따라서 $\parallel na\parallel\leq n\parallel a\parallel$이 된다. 위의 Lemma에 의해서, 만약 $T$가 $na$를 represent 한다면, $T$를 $n$개의 disjoint union of surfaces each representing $a$로 쪼갤 수 있고, 따라서 $n\parallel a\parallel \leq \parallel na \parallel$이 된다.

마지막 inequality는 조금 더 복잡하다. $S$와 $T$를 $a,b$의 norm-minimizing surface representative들을 가져오자. 만약 $S\cap T$가 inessential한 circle이나 arc를 갖고 있으면, 2-surgery를 적용해서 $S$와 $T$ 각각의 homology class를 바꾸지 않고 없앨 수 있다. 또한, 2-surgery가 만약 새로운 component를 생성한다고 하면, circle에서는 sphere나 disk 들을 생성하고, arc의 경우에는 disk를 생성하기 때문에, $\chi_-$ 값 자체는 2-surgery를 해도 변하지 않는다. 따라서, 우리는 inessential들을 모두 지운 뒤에, essential하게 intersect하는 경우만 남겨놓고, $S\asymp T$를 생각할 수 있다. 이 경우에 새로운 sphere나 disk가 생성되지 않는다. 따라서, $\chi_-(S\asymp T) = \chi_-(S)+\chi_-(T)$가 되고, $S\asymp T$는 $a+b$를 represent하기 때문에 $\parallel a+b\parallel\leq \parallel a\parallel + \parallel b\parallel$이 성립한다. $\square$

Rmk. 첫번째는 Thruston norm은 symmetric about the origin 이라는 뜻, 두번째는 rational homology class로 natural하게 norm이 extend 된다는 뜻, 세번째는 Thurston norm은 convex하다는 뜻이다.

사실, Thurston norm은 real homology class로 continuous하게 extend를 할 수 있고, norm 자체는 2nd homology with real coefficient vector space에서의 semi-norm으로 주어진다. 또한 Thurston norm의 continuity에 의해서, norm이 vanishing하는 부분은 정확히 subspace spanned by embedded surfaces of non-negative Euler characteristic 에 해당된다. 다시 말해서, $H_2$를 저러한 subsurface를 quotient한 space 혹은 저러한 subsurface가 없는 경우, 다시 말해서 nontrivial homology class가 non-negative Euler characteristic embedded surface로 (다시 말해서, essential sphere나 torus, properly embedded annulus) represent 되는 경우를 없다면, Thurston norm은 실제로 norm이 된다. 그리고 위에 (2) 성질이 연속적으로 확장이 되기 때문에, $H_2$ real vector space에서 원점을 지나는 각각의 ray에서는 Thurston norm은 linear 하다. 따라서, Thurston norm의 $H_2$에서의 정보는, norm을 1 이하로 normalized 시킨, homology norm ball의 face들에 전부 기록이 된다.

Thurston norm은 integral lattice point에서는 integer value를 갖는 semi-norm의 formal consequence는 Thurston norm ball on $H_2$는 항상 polytope이라는 것이다. 따라서, 만약 Thurston norm이 실제로 norm이면, polytope은 compact이고, 만약 아니라면, 다시 말해서 semi-norm 이라면, Thurston norm ball은 noncompact polytope이 된다.

Thurston norm as a (semi-)norm on $H^1$

David Fried는 Thurston norm을 $H^1$에서 정의된 norm으로 보고, 각각의 (de Rham) cohomology class를 smooth fiberation over $S^1$으로 대응을 시켜서 이해하려고 했다. 이렇게 되면, 자연스럽게 base compact oriented 3-manifold를 fibered 3-manifold over $S^1$으로 볼 수 있게 된다.

The correspondence between smooth fibrations and nonsingular integral periodic closed 1-forms.

먼저 correspondence를 말하기 전에, closed 3-manifold $M$에서의 Universal coefficient theorem을 먼저 상기하도록 한다.

$$H^1(M;\Bbb Z)\simeq\mathrm{Hom}(H_1(M;\Bbb Z),\Bbb Z),\quad H_1(M;\Bbb Z)/\mathrm{torsion}\simeq \mathrm{Hom}(H^1(M;\Bbb Z),\Bbb Z).$$

만약 $\Bbb Z$가 아니라 $\Bbb R$ coefficient 이라면, $H^i$와 $H_i$는 dual vector space가 된다. 또한 Poincare duality에 의해서, $H^2(M;\Bbb Z)$는 $H_1(M;\Bbb Z)$와 identify 할 수 있다.

$f:X\to S^1$가 smooth fibration 이라고 하자. 그러면, $d\theta$를 $H^1(S^1;\Bbb R)$의 generating 1-form이라고 한다면, $f^*(d\theta)$는 integral periodic를 갖는 nonsingular (i.e. nonvanishing) closed 1-form이 된다. 반대로, 만약 $\omega$가 nonsingular closed 1-form 이고 $X$가 closed 3-manifold라면, $f(x) = \int_{x_0}^x\omega$는 $X$에서 $\Bbb R/\mathrm{periods}(\omega)$로 가는 mapping이 되고, 만약 $\omega$의 period들이 rational ratio를 갖고 있다면, fibration over $S^1$이 된다. Fibration이 되는 이유는 다음과 같다: $X$의 compactness에 의해서, $\pi_1(X)$가 finitely generated 이기 때문에, $\omega$의 ($H_1$의 각각의 basis element에 대한) period들은 $\Bbb R$의 subgroup이 되고, (trivial하지 않은 이유는 $X$는 compact이고, $f$는 open map이기 때문) rational ratio 가정에 의해서 $\Bbb R/\mathrm{periods}(\omega)\simeq S^1$이 된다. 따라서, $X$에 smooth flow $\psi$ s.t. $\omega({d\psi/dt}) = 1$을 construct 하면 (local하게 항상 존재하고, global하게 항상 확장 가능하다) $\omega$가 nonvanishing 하다는 것과 flow는 time variable에 대해서 local diffeomorphism 인 것을 이용하면 주어진 integrating map이 smooth fibration 이라는 것을 알 수 있다. $\square$

이러한 closed 1-form들로 $H^1(M;\Bbb R)$을 보기 시작했을때, 위의 correspondence에 의해서 nonsingular 한 1-form이 존재한다는 것은 정확히 3-manifold $M$이 fibered 3-manifold가 된다는 것으로, manifold에 어떤 (smoothly) embedded surface가 존재해서, 그 surface의 mapping torus와 $M$은 diffeomorphic 하다는 것이다. 이후 이것은 Thurston norm ball의 "fibered face"에 해당된다.

Theorem. For a compact 3-manifold $X$, the collection $\mathcal{C}$ of classes of nonsingular closed 1-forms is an open cone in $H^1(X;\Bbb R)\setminus\{0\}$. The cone is nonempty if and only if $X$ fibers over $S^1$. $\square$

이제부터, $M$을 closed, connected, oriented irreducible 3-manifold라고 하자. 이렇게 되면, fiber의 genus가 1 이상이 되는 경우만 생각하게 되는 것이다.

다음의 정리에 의해서, 우리는 Thurston norm을 이용해 $H^1$에서 fibered cone이 정확히 어떤 것들인지 포착할 수 있다:

Theorem (Thurston). $\mathcal{C}$ is the union of (finitely many) convex open cones $\mathrm{int}(T_i)$ where $T_i$ is a maximal region on which $\parallel - \parallel$ is linear. The region $T_i$ containing a given nonsingular 1-form $\omega$ is

$$T_i = \{ u \in H^1(M;\Bbb R)\mid \parallel u\parallel = -\chi_F(u)\}$$

where $\chi_F$ is the Euler class of the plane bundle $F = \ker\omega$.

Rmk. 만약 Thurston norm이 실제로 norm이라면, 우리는 $\mathcal{C}$를 norm 1으로 normalized 시켰을 때, nonsingular face에 해당되는 element들이라 말할 수 있다. ($H_2$의 경우에는 fibered face라고 부른다.)

각각의 $u\in H^1(M;\Bbb Z)\subset H^1(M;\Bbb R)$은 $S^1$의 $K(\Bbb Z,1)$-space property에 의해서, $u$에 대응되는 smooth map $f:M\to S^1$ with $f^*(d\theta) = u$를 고를 수 있고, $f$의 regular value의 inverse image에 해당되는 surface $S$가 $H_2(M;\Bbb Z)\simeq H^1(M;\Bbb Z)$에 대응되는 homology class의 representative라고 말할 수 있다. 다시 말해서, $H_2$에서의 (밑의 정리에 의해서, norm-minimzing) surface는 $H^1$에서의 nonsingular closed 1-form에 의해서 만들어지는 codimension one foliation의 leaf에 해당되는 것이다. In particular, 만들어진 foliation은 Reebless이다.

Rmk. 사실 이것의 더 일반적인 converse도 참이다. 이것 또한 Thurston에 의해서 증명 된 것인데, 만약 $M$이 irreducible 3-manifold with empty or toroidal boundary일 때, 만약 $M$이 transversely oriented codimension one Reebless foliation $\mathcal{F}$ such that each component $\partial M$ is either transverse or a leaf of $\mathcal{F}$, then then every compact leaf $F$ of $\mathcal{F}$ is norm-minimzing 이다.

후에 우리는 $H^1(M;\Bbb Z)\ni u = f_* :\pi_1(M)\to\pi_1(S^1)$을 자주 identify 시켜서 혼용해서 쓴다.

놀라운 것은, 이렇게 만들어진 $u$에 대응되는 fibration에서의 fiber surface는 Thurston norm minimizing surface이라는 것이다.

Proposition (Thurston). If $K\to M\xrightarrow{f}S^1$ is a fibration, then

$$\parallel [f^*(d\theta)] \parallel = -\chi(K).$$

$(\because)$ Homogeneity에 의해서, 우리는 $u = [f^*(d\theta)]$를 indivisible 하게 잡을 수 있다. 따라서, $u(\pi_1(M)) = \pi_1(S^1)$이 된다. 따라서 fibration의 homotopy exact sequence에 의해서 fiber $K$는 connected가 되고, 따라서 $M$을 $K\times\Bbb R$로 lift를 시킬 수 있다. 만약 $K$가 torus면 위의 equality는 자명하게 나오기 때문에, $-\chi(K)>0$라고 가정하자. 그러면 모든 $u$를 representing하는 incompressible embedded surface $S$는 $K\times\Bbb R$로 lift가 되는데, 이유는 모든 $S_0\subset S$의 component는 incompressibility에 의해서 $\pi_1(S_0)\subset \ker u = \pi_1(K)$가 되기 때문이다. Surface group $\pi_1(K)$의 infinite index subgroup은 free이기 때문에, 그리고 $\pi_1(S_0)$는 free가 아니기 때문에, $S_0$는 $K$의 finite cover가 된다. ($\pi_1(S_0)<\pi_1(K)$임을 상기하자.) 따라서,

$$\parallel u\parallel = -\chi(S)\geq -\chi(S_0)\geq -\chi(K)$$

가 된다. $\square$

Rmk. $u$를 representing하는 norm-minimizing surface는 항상 fiber $K$와 homotopy equivalent 하다.

이제 위에서 Thurston의 nonsingular face characterization 정리를 증명하자. 먼저 statement를 다시 적기로 한다. 참고로, plane bundle (혹은 circle bundle. 둘이 "equivalent" 하다) $F$의 Euler class $\chi_F$ on $M$은 $H^2(M;\Bbb Z)$에 존재하지만, Poincare duality에 의해서 $H_1(M;\Bbb Z)$의 원소로 볼 수 있고, UCT에 의해서, $\Bbb R$과 tensor를 취해서 $H^1(M;\Bbb R)$의 linear functional로 볼 수 있다.

Theorem (Thurston). $\mathcal{C}$ is the union of (finitely many) convex open cones $\mathrm{int}(T_i)$ where $T_i$ is a maximal region on which $\parallel - \parallel$ is linear. The region $T_i$ containing a given nonsingular 1-form $\omega$ is

$$T_i = \{ u \in H^1(M;\Bbb R)\mid \parallel u\parallel = -\chi_F(u)\}$$

where $\chi_F$ is the Euler class of the plane bundle $F = \ker\omega$.

Proof. 만약 $\omega$와 $\omega'$가 nonsingular closed 1-form which are $C^0$-close 라고 한다면, 그에 대응되는 plane bundle들 $F = \ker\omega$와 $F' = \ker\omega'$는 homotopic 하게 되고, 따라서 같은 Euler class $\chi_F = \chi_{F'}\in H_1(M;\Bbb R)$를 represent 한다. (여기서 plane bundle이 homotopic 하다는 것은 암묵적으로 contact topology의 용어를 쓴 것인데, closed oriented 3-manifold의 경우에는, cooriented plane bundle의 homotopy class와 Gauss map에 의해 만들어진 map $M\to S^1$의 homotopy class와 bijective correspondence가 있기 때문에, 그냥 Gauss map으로 부터 induced된 map $M\to S^1$ 들의 homotopy class가 같다고 생각하면 된다.)

만약 $[\omega']$가 rational이라고 한다면, $q[\omega'] = \beta'\in H^1(M;\Bbb Z)$ for some $0<q\in\Bbb Q$가 되고, $\beta'$는 indivisible하게 맞출 수 있다. 그러면 $q\omega'$에 associated 되어있는 fiber $K'$는 connected이다. 따라서, $F' = TK'$임을 이용하면,

$$\chi(K') = \chi_{F'}([K']) = \chi_F([K'])$$

을 얻게 된다. 여기서 $[K']$는 $K'$의 fundamental class이다. Fiber $K'$의 norm-minimizing property를 이용한다면,

$$\parallel [\omega'] \parallel = {1\over q}(-\chi(K')) = -{1\over q}\chi_F([K']) = -\chi_F([\omega'])$$

를 얻게 된다. 마지막의 equality는 duality에 의한 것이다. 따라서, 모든 rational classes $[\omega']$ "near" $[\omega]$에 대해서는 seminorm $\parallel - \parallel$은 linear functional $-\chi_F$에 의해 주어지게 된다. 따라서 Thurston norm은 각각의 nonsingular class의 neighborhood에서는 $-\chi_F$와 일치하게 된다.

이제 남은 부분은 각각의 $\alpha\in\mathrm{int}(T)$는 nonsingular class인 것을 보이는 것이다. 여기서 $T$는

$$T = \{\alpha\in H^1(M;\Bbb R)\mid \parallel\alpha\parallel = -\chi_F(\alpha)\}$$

는 $[\omega]$를 포함하는, $\parallel - \parallel$이 linear한 가장 큰 region이다.

이걸 보이기 위해서는 Thurston의 Thesis에 해당되는 정리가 하나 필요한데, 그건 다음과 같다:

Lemma (Thurston). Let $M$ be a closed oriented 3-manifold and $\mathcal{F}$ be a Reebless foliation on $M$. If $S$ is an immersed incompressible surface which is not a sphere, then $S$ can either be homotopic into a leaf or can be homotoped to intersect $\mathcal{F}$ in only saddle tangencies.

위의 lemma는 우리의 상황에서 $\mathcal{F}$는 nonsingular 1-form $\omega$가 induce하는 nonsingular codimension one foliation에 해당된다. 만약 $\alpha\in T\cap H^1(M;\Bbb Z)$가 $[\omega]$의 multiple이 아니라면, $\alpha$를 norm-minimizing surface $S$로 represent할 수 있다. 그럼 $S$의 각 component $S_i$들은 incompressible 하고 sphere가 아니기 때문에, 각각은 $\mathcal{F}$의 leaf 혹은 saddle tangency를 갖도록 isotope을 할 수 있다. 만약 $S_i$가 $\mathcal{F}$의 leaf $L$에 embedded 되거나, (우리의 경우, $S_i$는 closed embedded surface이기 때문에, $L$은 $S_i$와 같아진다) 앞의 proposition의 증명과 같이 $\pi_1(S_i)$는 $\pi_1(L) = \ker\omega$의 finite indexed subgroup이 된다. Incompressibility에 의해서, $\pi_1(S_i)$는 $\ker\alpha = \pi_1(S)$에 injective하게 들어가기 때문에, $\alpha$는 $[\omega]$의 multiple로 나타나게 된다. 따라서 각각의 $S_i$는 $\mathcal{F}$의 saddle tangency를 갖도록 $M$에 embedded 되어 있다.

한가지 알 수 있는 사실은, 각각의 $i$에 대해서, $S_i$와 $\mathcal{F}$의 normal orientation들은 모든 tangency에서 일치한다는 것이다. 이것 또한 증명할 수 있으나, 생략하고 그냥 사실로 받아들이기로 한다.

이 사실로 인해서, 우리는 $S_i$에 $\omega(N_i)>0$인 normal frame $N_i$를 줄 수 있다. 다시 말해서 임의의 $T$에 들어가있는 integral lattice에 해당되는 norm-minimizing surface는 $\omega$로부터 induce되는 codimension 1 nonsingular foliation에 오직 saddle tangency만 갖도록 isotope을 할 수 있고, 나아가 각각의 surface의 component에 $\omega$에 대해서 positively transverse한 $S_i$ 위에서 정의된 local flow를 찾을 수 있다.

이 frame은 $S_i$의 product neighborhood $U_i$로 extend가 될 수 있다. 다시 말해서, $h_i:S_i\times [-1,1]\to U_i$ : diffeomorphism이 존재해서, $h_*({\partial\over\partial t}) = N_i$ on $S_i = S_i\times 0$가 되고, $\omega(h_*({\partial\over\partial t}))>0$가 되도록 잡을 수 있다. $B:[-1,1]\to\Bbb R$를 support이 $|x|\leq 1/2$인 smooth bump function으로 잡은 뒤에, $\eta_i = (\pi_2h^{-1})^*B dt$로 한다면, 모든 $s>0$에 대해서,

$$(\omega+s\eta_i)\left(h_*{\partial\over\partial t}\right)>0\quad\text{on }U$$

가 된다. $U$ 이외에서는 $\omega+s\eta_i = \omega$이기 때문에, closed 1-form $\omega+s\eta_i$는 nonsingular임을 알 수 있다. 따라서, 우리는 $\omega+s\eta_i$는 $\mathrm{int} T$에 들어가 있음을 알 수 있다. 따라서,

$$[\eta_i] = \lim_{s\to\infty}{[\omega+s\eta_i]\over s}\in T\cap H^1(M;\Bbb Z),\quad\text{for all }i$$

가 된다. 따라서, $[\omega]$를 $[\omega]+s_1[\eta_1]+\cdots+s_{i-1}[\omega_{i-1}]$로 바꾼다면, inductive하게 우리는 

$$[\omega]+s_1[\eta_1]+\cdots+s_i[\eta_i]$$

가 모든 $s_1,\ldots,s_i\geq 0$에 대해서 nonsingular 하다는 것을 알 수 있다. 따라서, 모든 $s\geq 0$에 대해서

$$[\omega]+s\alpha = [\omega]+s\sum[\eta_i]$$

가 nonsingular하다는 것을 알 수 있다.

정리하자면, 우리가 보인 것은 만약 $\beta = [\omega]\in\mathrm{int}T$가 nonsingular class라고 한다면, 모든 $\alpha\in T\cap H^1(M;\Bbb Z)$에 대해서 $\beta+s\alpha$ 또한 모든 $s\geq 0$에 대해서 nonsingular하다는 것이었다. 이제 $\beta\neq\gamma\in\mathrm{int}T$를 고려해보자. 그러면 convexity에 의해서, $v_1,\ldots,v_d\in\mathrm{int}T$, $d = \dim H^1(M;\Bbb R)$가 존재해서, $\gamma$는 $\beta,v_1,\ldots,v_d$의 convex hull의 interior에 존재한다는 것을 알 수 있다. 물론 우리는 $v_i$들을 rational ${1\over N}\alpha_j$ for some $N\in\Bbb N,\alpha_j\in\mathrm{int}T\cap H^1(M;\Bbb Z)$ 로 잡을 수 있다. 그러면

$$\gamma = t_0\beta+\sum_{j=1}^d t_j\alpha_j,\quad t_j>0$$

로 쓸 수 있다. 앞선 결과를 이용해서 $k$에 대한 induction을 하면 각각의

$$\beta+\sum_{j=1}^k (t_j/t_0)\alpha_j$$

는 nonsingular 하다는 것을 알 수 있다. $k =d$로 세팅하고 $t_0>0$를 곱하면, $\gamma$ 또한 nonsingular하다는 것을 알 수 있다. $\square$

Relation to codimension one foliations

Theorem (Thurston). Let $M$ be an irreducible 3-manifold with empty or toroidal boundary and $\mathcal{F}$ be a transversely oriented codimension 1 Reebless foliation on $M$ such that each compoment of $\partial M$ is either transverse to $\mathcal{F}$ or is a leaf of $\mathcal{F}$. Then every compact leaf $\mathcal{F}$ is norm-minimizing.

Theorem (Gabai). Let $M$ be an irreducible 3-manifold with empty or toroidal boundary and $S$ be a norm-minimizing surface in $M$ representing a nontrivial class in $H_2(M,\partial M;\Bbb Z)$. Then there exists a codimension 1 transversely oriented taut foliation $\mathcal{F}$ of finite depth such that $\mathcal{F}$ is transverse to $\partial M$, $S$ is a leaf of $\mathcal{F}$ and $\partial|_{\partial M}$ is a suspension of homeomorphisms of $S^1$.