함수의 연속성에 관한 오개념
요즘 오개념들을 파고들고 있는데
함수의 연속성에 관한 오개념을 언급할까 합니다.
그냥 개인적으로 정리도 할 겸..
오르비에서는 다들 잘 알고 계시는지 궁금하기도 하고요.
먼저 질문을 하나 드리겠습니다.
우리가 흔히 0/0꼴 부정형이라고 부르는
중간에 구멍이 하나 있는 함수, 예를들어 함수 (x^2-1)/(x-1)는
연속일까요 아닐까요?
정답은
질문이 잘못되었습니다. 입니다.
이렇게만 물어봐도 많은 학생들이 불연속이라고 대답하거나
조금 잘 아는 학생들은 연속이라고 하더라구요.
그런데 연속이라고 한 훌륭한 학생들에게 미안하지만
사실 올바른 대답은 '질문에 문제가 있다'입니다.
연속성을 어떤 함수가 가진 하나의 모습이라고
생각하는게 오개념의 가장 큰 이유가 아닐까 싶습니다.
연속의 정의(함숫값과 극한값이 존재하고 서로 같다)는
함수 자체와는 크게 상관이 없고 중요한건
질문에 있거든요. 어떤 점, 어떤 구간에서 연속성을 논하는지가
중요하다는 것입니다.
어떤 함수나 그래프가 주어졌을 때 단순히 그래프 형태나
알고 있는 지식만으로 연속이다 아니다를 논한다면.. 그것은 오개념입니다.
항상 조건을 잘 봐야합니다. 그게 핵심입니다.
우리 수험생들이 다루는 연속이라는건 크게 두 종류가 있습니다.
함수의 연속성
그리고 실수 전체에 대한 연속성
이것만 기억하셔도 앞으로 연속성에 대해
오개념을 가질 일은 없을 것입니다.
초등함수들은 전부 연속함수이지만
실수 전체에 대한 연속성을 따지면 불연속인 함수들이 있듯이
분모에 0이 있는 부정형 함수들도
함수 자체는 연속함수이지만 실수 전체에 대해서는 불연속이지요.
그래서 처음 드렸던 질문,
'함수 (x^2-1)/(x-1)는 연속일까요 아닐까요?'
는 다음과 같이 고쳐야 문제가 성립합니다.
1. 함수 (x^2-1)/(x-1)는 연속함수일까요? --> 정답은 연속함수입니다.
2. 함수 (x^2-1)/(x-1)는 실수 전체에 대해 연속일까요? --> 정답은 불연속입니다.
이미 잘 알고 계시는 분들한테는 너무 뻔한 기본개념일 수도 있겠습니다.
제 글이 도움이 되는 분들이 조금이라도 있길 바라면서...
그럼 이만...
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어디서 알 수 있는 개념인가요? 처음 듣네요
어디나오는 개념이냐고 물으신다면... 사실 이 개념을 제대로 논하려면 대학교 수준에서 나오는 연속의 개념(정의역에서 연속에면 연속이다)을 언급해야하는데 제가 그 정도 수준까지 '완벽하게' 알지는 못하기 때문에... 그리고 굳이 그러지 않아도 되서 언급하지 않았습니다. 그냥 제가 쓴 글 정도만 아셔도 충분하실거 같습니다. 어디까지나 개념에 관한 것이기 때문에 실제 문제를 풀 때는 크게 상관이 없을 수 있습니다만 고난이도 문제들은 다르니까 오개념은 잡아두는게 좋을테니 글을 적어보았습니다.
어떤 점 어떤 구간에서 연속이 아닌 부분이 있다면 그 함수는 연속함수가 아니지 않나요?
함수자체는 연속함수여도 연속성을 논하는 부분이 정의역이 아닌 x값이거나면 불연속이라고 합니다. 이것이 '특정 x값에서' 어떤 함수의 연속성에 관한 개념입니다. 반면에 '특정 함수에서'의 연속성을 논하는 것은 조금 다른데, 연속함수인 초등함수들(정의역에 대해 항상 함숫값이 존재함)로부터 불연속 함수를 만들어내려면 구간을 나누어 다른 함수들을 정의해서 극한값이 함숫값과 달라지게하는 방법 밖에는 없는 것과 같습니다.
첫 문장이 무슨 소린가요? 정의역이 아닌 x값이나면 불연속 이거요
애초에 연속함수라하면 실수전체의 정의역에서 연속성질이 성립되는 함수를 일컫습니다
그게 오개념입니다. 교과서든 어디에서든 연속의 정의는 오직 함숫값과 극한값이 존재하고 그것이 동일하다가 전부입니다. 실수 전체가 정의역이라는 것은 문제에서 주어지는 조건입니다. 그래서 그것이 중요하다고 언급한 것이구요. 연속성 문제는 문제에서 주어지는 조건을 잘 보는 것이 핵심입니다.
어라 별다른 조건이 없다면 실수 전체에서 다루는거 아닌가요? 신기하네요
네 많이들 그렇게 생각하고 풀고 그래도 문제가 없는 경우가 많습니다만 고난이도 문제들은 모르니까요. 어디까지나 오개념을 잡는 글입니다.
구간을 나누는 것을 엄밀히 해야한다는 소리를 하고싶으신거 아닌가요? 본문에서 언급된 함수가 1을 제외한 정의역 부분에서는 연속이지만, 1이 포함된 정의역 부분에서는 불연속이다. 이 주장아닌가요?
표준국어대사전에 연속함수는 정의구역의 모든 점에서 연속인 함수라고 정의되어있어요 그래서 본문의 주장은 모순이라 생각합니다. 뉘앙스를 범위에따라 연속이될수도 불연속이 될 수도 있다. 이러면 옳은 개념이지만, 아무 조건없이 연속함수라고 일컫는 함수에 불연속인 부분이 있다면 그 함수는 연속함수가 아닙니다
정의역에 대한 개념이 또한 필요한데 예를들어 함수 (x^2-1)/(x-1)에서 x=1은 정의역이 아닙니다. 애초에 함수의 가장 기본적인 정의가 '모든 정의역이 함숫값을 같는다'입니다. 언급하신 표준국어대사전에 나오는 정의가 전공수학에서 나오는 연속의 정의의고 사실 이걸 기준으로 고등학교에서도 가르쳐야 이런 오개념이 없어질텐데 그러지 않아서 오개념을 흔하게 가지는거 같습니다.
글쓴이님이 하신 말씀대로,
'모든 정의역이 함숫값을 가진다'가 함수의 정의라면, 본문의 예시는 엄밀하게 말하면 연속을 따질필요도 없이 그냥 함수자체가 아니며, 그리고 연속'함수'또한 모든 정의역에서 함숫값을 지니는 동시에 그 함숫값과 좌우극한이 같다는 것을 내포하기에 본문의 주장은 모순아닌가요?
본문의 예시에서 (x^2-1)/(x-1)를 함수라고 언급한 시점에서 자동으로 정의역에 x=1이 제외되었음을 의미합니다. 말씀하셨다시피 (x^2-1)/(x-1)는 함수인데 연속의 정의를 거꾸로 물고 들어가보니 함숫값이 없는 부분이 있으면 함수가 아니어야하는데 다들 (x^2-1)/(x-1)은 함수라고 말하지요? 그것은 함수 (x^2-1)/(x-1)가 사실 함수 자체는 연속 함수라는 뜻입니다. '분모가 0이 되는 x는 정의역이 아니다'는 개념이 필요합니다. 그리고 (x^2-1)/(x-1)는 x=1을 제외한 모든 함숫값에서 함숫값과 좌우극한이 같습니다.
자동으로 정의역이 제외된다는 것도 대학수학의 내용인가요?
혹시 오르비에 링크를 달고 게시글을 써도 될까요? 대학수학 문외한이라 도무지 이해가 안가서요
글을 좀 더 자세하게 쓸걸 그랬습니다. 너무 자세하게 쓰면 장황해질까봐 핵심만 써본다고 나름 줄인건데... 오히려 혼란을 일으키는거 같아서 죄송합니다.
'함수 자체'에서는 x=1에 '함숫값'이 정의될 수가 없습니다. x=1이 정의역이 아니기 때문입니다. 저 함수가 주어졌을 때 우리가 연속성에 대해 논할 수 있는 것은 오직 'x=1인 지점에서 저 함수가 연속인가'일 뿐이고 연속의 정의에 x=1에서는 함숫값이 존재하지 않으니 이 관점에서는 불연속입니다. 억지로 100을 집어넣는다면 구간을 나누어서 y=100 (x=1)을 추가해서 새로운 함수를 만드는 것인데 그렇다면 x=1을 기준으로 함숫값과 극한값이 달라져서 불연속 '함수'가 됩니다.
윗 답변 읽어보실래요?
함수의 정의가 '모든 정의역이 함숫값을 갖는다'라서 그렇습니다. x=1에서는 분모가 0이므로 함숫값을 가질 수 없기 때문에 자동으로 정의역에서 제외가 되는 것입니다. 그리고 (x^2-1)/(x-1)가 x=1에서 불연속이 되는 것은 x=1에서 함숫값이 존재하지 않아서입니다.
답글 수 제한이 있어서 여기에 적습니다.
대학 수학까지 갈 필요는 없는 내용이라고 생각합니다. 저도 대학 수학까지는 잘 몰라요ㅋㅋ
그럼 정의역에 제외된다는 것은 어디서 확인할 수있는 내용인가요?
고1 함수의 정의에서 나오는 내용입니다. 함수는 모든 정의역이 하나의 함숫값을 갖습니다.
그럼 본문의 예시는 x=1에 특정값을 적용시킨 구간별함수가 아니고서 단독으로 존재하는 경우 함수가 아니잖아요 제외시키는게아니라
제외시킨다는 내용이 어디있는지 궁금합니다
이렇게 말씀드리면 이해하실지... 정의역(x) = 함수에서 변수로 쓰는 x축 상의 값들 입니다. 그리고 정의역이 아닌 실수 a를 도입해서 x=a인 경우를 가정한다면 그 지점에서 그 함수가 연속이냐 아니냐가 되는 것입니다. 이걸 편의상 그냥 'x가 실수전체라면'이라고 부르는 것이구요.
제 생각에 제가 쓴 글 정도만 이해하시면 충분할거 같고 너무 깊이 파고드는 것은 오히려 안 좋을거 같지만 오개념이 잡힌다면 나쁠건 없습니다. 중요한건 연속성을 논할 때 크게 1. 1. 함수 자체의 연속성(=함수의 정의역에 대한 연속성. 함수니까 모든 x가 함숫값을 갖습니다. 구멍이 없다는 이야기. 구간 별로 함수가 다르게 정의되어 있으면 함숫값과 극한값이 달라서 불연속이 발생)과 2. 특정한 지점에서의 연속성(정의역이 아닌 x값에서 연속성. 함숫값이 없는 지점, 즉 구멍이 있는 경우입니다.) 이렇게 두 종류의 사고가 필요하다는 것입니다.
'함수니까 모든 x가 함숫값을 갖습니다. 구멍이 없다는 이야기' 본인이 계속 말씀하시고 계신데 구멍이있는 본문의 예시는 함수가 아니라고
그러니까 그 다음의 내용들도 다 모순아닌가요?
아 저기서 x는 정의역을 의미합니다. 실수 전체가 아니라.. 빠르게 쓰다보니 죄송합니다.
검색해보니까 전공수학의 내용이네요
전공수학에서 x=a에서 정의가 되지않으면 그 점에선 연속인지 불연속인지를 따지지 않고, 따라서 그 정의역이 정의되지않은 부분을 제외하고 연속이라면 연속함수라 칭한다.
그러나 고등학교 교육과정내에서는 정의되지않는 함수라면 불연속함수라고 명시되어있네요
그래서 '수능'의 고난도문제를 풀때는 고려할 필요도 없는 개념이고, 대학 전공수학 시험에서 고려해야할 개념이네요
고난도 문제에서 필요하다 아니다를 떠나서 오개념 관점입니다. 연속의 정의 자체를 한번 파고 들어가 본 글이라고 생각해주시면 감사하겠습니다.
그리고 교육과정 내에서도 '정의역을 실수전체로 확장시키면' 불연속함수가 되는 것입니다. 정의역이 아닌 지점에서 불연속이다와 같은 맥락입니다. 그런데 간혹 함수 자체가 불연속인 것으로 오개념을 가지는 경우가 있어서 쓴 글입니다.
전공수학 찾아보니 이해했습니다
애초에 어떤 x값에 함숫값이 지정되지않는다면 정의역에서 배제한다는 내용이요 이 대학수학 관련 내용 맞았네요.
그리고 이 내용을 토대로 연속함수와 실수전체에서 연속이 다르다는 내용까지도요. 연속함수는 정의역이 기준이고, 후자는 실수전체라는 구역을 강제로 지정해버리기에 함숫값이 정의되지않는 x값이 존재한다면 불연속이되는 것요.
근데 적어도 수능내에선,(옳은 내용이지만) 연속함수의 위 내용(어떤 x값에 함숫값이 지정되지않는다면 정의역에서 배제한다)을 소개하지않았기에 고난도문제를 풀기위해 수험생이 굳이 알 필요 없는 개념이라 생각합니다
아이고 저도 빠르게 쓰다가 잘못 썼습니다 정의역을 실수전체로 확장시키면 불연속'함수이다'가 아니고 그냥 '불연속'입니다. 더 이상 함수가 아니게 되기 떄문에.. 문제들을 잘 보시면 발견하시겠지만 불연속 '함수'라는 표현은 오직 구간을 나눠서 만든 새로운 함수에서 모든 정의역에 함숫값이 존재하고 함숫값이 극한값과 달라서 불연속이 될 때만 사용합니다.
제 답글이 본문 요지 맞을까요?
네 맞습니다.
아이고 고생하셨습니다 좋은저녁보내세요!
궁금한 점이 있는데요! 앞에 리밋에 x는 1로 간다라는 표현이 없는데 막 나눠도 되나요?? 저는 연속 또는 다항함수라고 적혀있지도 않고 함수라고만 적혀있어 연속함수라고 단정지을 수 없을 뿐더러 저 식 앞에 리밋이 없으니 나눌 수 없어 불연속이라 생각했는데 좀 더 잘 생각한 분은 연속이라 생각했을 것 같다 적혀있어서요 본문의 내용과는 맞지않지만 궁금합니다!
극한이 있든 없든 나누는 건 상관이 없습니다 저 함수는 그냥 x=1에서만 정의되지 않고 나머지는 잘 정의된 함수예요 정의역 집합을 D라고 했을 때
D=R-{1}이 되고 애초에 정의역 원소에 1이 없기 때문에 정의역에 있는 모든 원소에 대해서 함숫값이 정해지고, 정의역에 있는 모든 원소에 대해서 극한값과 함숫값이 같아서 연속함수이다 라고 말하는 거예요
혹시 현우진t 뉴런 수2 들으셨다면 현우진t께서 함부로 나누는 거 아니야 앞에 극한이 있어야 해 하셨었는데 그거랑 차이점이 뭔지 여쭤봐도 될까요?
정리하면 그저 y=(x²-1)/(x-1)은 함수라는 언급이 없기 때문에 해당 방정식(?)은 x≠1에서만 정의되고,
반면에 "함수" (x²-1)/(x-1)이라면 모든 실수 x에 대해 대응되는 y값이 단 하나여야 하는 함수의 정의에 따라 x≠1에서는 y=x+1의 형태를 가지고, x=1에서는 y값이 존재하지만 어떤 y값을 가지는지는 정해지지 않았다는 거죠?
연속일까요? 아닐까요? 에서
연속함수를 물어보는건지, 실수집합에서의 연속성을 물어보는건지
말을 똑바로 해야되는거 아니야? 뭐 이런사람이 공부글을 쓰지?
하고 순간 빡칠 뻔 했는데 그걸 설명하는 글이었네요 ㅎㅎㅎ
약간 그런거 말하시는거 아닌가요 log(x)가 연속함수인가 하면 모두들 자동으로 진수조건 생각해서 연속이다 라고 말하는데 왜 (x^2-1)/(x-1)에서는 분모 조건 생각안하시는건지.. 따로 말 없으면 전체실수라면 log(x)도 불연속함수겠죠