Sutured 3-manifold (3) - Consequences
Gabai의 원문에 main theorem의 수많은 corollary들을 적어놨는데, 약 절반 정도가 knot에 관한 것으로 knot에 관련된 오래된 문제들을 해결하는 결과들로 보임. 그 외에는 일반적으로 어떤 foliation이 주어진 3-manifold에 존재할 수 있는지와 homology norm(들)에 관련된 결과들도 소개되어 있음. 양이 상당히 많은데, 내가 봤을때 Gabai 논문 특성상 증명에 오타/오류도 좀 있고 대충 설명해놓는 경향이 있어서 명제는 대부분 적되, 증명을 전부 적진 않고, 몇몇가지 내가 강하게 어필링이 되는 것만 적어보기로. 근데 적혀있는 corollary들 중 몇몇 명제들 빼고는 증명은 짧은데, 이미 잘 알려진 (어려운) 사실들을 사용하기 때문. 만약 인용된 결과가 흥미로우면 그거 증명도 따로 적어보겠음.
Corollary 1. A nontrivial link $L\subset S^3$ is nonsplit if and only if $L$ is the set of cores of Reeb components of some foliation $\mathcal{F}$ of $S^3$.
*여기서 link $L$이 nonsiplit이라는 것은: there exists no embedded $S^2\subset S^3$ such that $S^2\cap L=\emptyset$ but each component $S^3-S^2$ intersects $L$ nontrivially. Equivalently, $\pi_2(S^3-L) = 0$.
다시 말해서, $S^2$로 인해서 link가 $S^3$에서 두개의 component로 나눠지는 경우 split된다고 함.
Corollary 2. Let $S_i$ be a Seifert surface for the oriented link $L_i\subset S^3$ for $i =1,2$ and $S$ be any Murasugi sum of $S_1$ and $S_2$ with $L = \partial S$. Then $S$ is a minimal genus surface for the oriented link $L$ if and only if each $S_i$ is a minimal genus surface for the oriented link $L_i$.
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이 Corollary 2의 motivation/historical remark를 말해보자면, Gabai가 Murasugi sum is a natural geometric operation 이라는 타이틀로 논문을 쓴 적이 있는데, 저기서 말하는 geometric 중 하나가, minimal genus surface들의 Murasugi sum은 여전히 minimal genus surface다라는 것. 이거 자체로도 흥미로운 결과이기 때문에 정리과 증명을 써보기로 함. 증명을 하는 이유는 주요 아이디어가 "interpolation" 이기 때문인데, 이러한 아이디어는 hyperbolic 3-manifold에서 아주 중요하게 쓰이는 아이디어이기에 기록하기로 함. 추후에 Canary의 covering theorem과 Brock의 Weil-Petersson metric과 convex core volume에 대한 결과를 소개할 계획이라 그때 여기서 나오는 철학이 어떤 식으로 변형되어 적용되는지 비교해보면 좋음.
Definition. The oriented surface $R\subset S^3$ is a Murasugi sum of compact oriented surfaces $R_1$ and $R_2$ in $S^3$ if $R = R_1\cup_D R_2$ for $D$ = $2n$-gon, $R_1\subset B_1,R_2\subset B_2$ where $B_1\cap B_2 = S = S^2$, $B_1\cup B_2 = S^3$ and $R_1\cap S = R_2\cap S = D$.
정의에서 한가지 유의해야할 점은, $R$은 애초에 oriented surface임을 명시했기 때문에 임의의 $2n$-gon $D$로 $R_1$과 $R_2$를 무작정 붙일 수는 없고, 꽤 "잘" 붙여서 만들어지는 topological space가 surface가 되어야 함.
Theorem. (Gabai) The Murasugi sum of minimal genus surfaces is a surface of minimal genus, i.e., if $R$ is a Murasugi sum of $R_1$ and $R_2$ and if for $i =1 2,$ $R_i$ is a minimal genus surface for the oriented link $L_i = \partial R_i$, then $R$ is a surface of minimal genus for the oriented link $L = \partial R$.
Proof of the theorem. 증명의 시작은 만약 $R$ is minimal genus surface가 아니라고 한다면, 어떤 oriented Seifert surface $T$ 가 있어서 $\partial T = L$ 이고 $T^\circ \cap R^\circ = \emptyset$, $\chi(T)>\chi(R)$ 이 됨. 포인트는, $T$는 $R$과 boundary에서만 겹치고, genus가 $R$보다 더 적다는 것. 메인으로 증명할 것은, $T$로 인해서 Murasugi sum으로 $R$을 만들 적에 사용된 $S = S^2$ 로 $T$를 "desumming"을 하면 $R_i$보다 genus 수가 더 적은 oriented Seifert surface가 만들어진다는 것을 보이는 것.
$E$를 $4n$-gon $S - (D^\circ\cup N(L)^\circ)$ where $S$ is the 2-sphere along which $R$ was summed and $D$ the summing disc, $N(L)$은 regular nbd라고 하자. 뭔가 복잡한데 쉽게 밑에 $n=3$인 경우에 도식화를 해놨지만, 그림 자체도 좀 misleading하다. 오른쪽 그림에서 $D$는 그대로 있고, $L$에 해당되는 바깥으로 뻗어나가는 직선들이 실제로는 화면을 통과하는 식으로 뚫고 지나가고 있는 것이고, $L$의 regular nbd에 의해서 $D$의 꼭짓점을 변으로 깎는 형식으로 생각하면 된다. (혹은 꼭짓점을 blow up한다고 생각해도 괜찮음) 결과적으로는 $2n$-gon인 $D$에서 $4n$-gon인 $E$로 변형이 됨.
자 이제 $u_1,\ldots, u_{2n}$을 $\partial N(L)\cap E$로 cyclic order를 준 component들이라고 하자. $T$를 적절히 isotope을 해서 $T\cap E$의 각각의 component들이 properly embedded arc이고 각각의 $u_i$가 $T$와 unique point에서 intersect를 하도록 설정. 이제 $T$의 "compression along $S$"인 $T_i = T\cap B_i - N(S)^\circ$ 를 정의. $T_i$는 $N(S)$에 해당되는 부분이 없는 상황이고 밑에 claim에서는 이거를 1-handle들로 잘 이어붙여서 Seifert surface로 만들 수 있다는 것.
Claim: One can extend $T_1$ and $T_2$ to Seifert surfaces $T_1^1$ and $T_2^1$ for $L_1$ and $L_2$ by attaching a total of $n-1$ 1-handles to $T_1$ and $T_2$ in $N(S)$.
Proof of claim: $S$를 $\Bbb R^2\cup\infty$로 보고 $L\cap S$가 evenly spaced points $X_1,\ldots, X_{2n}$ on the unit circle, $E$ is the unit disk in $\Bbb R^2$ minus neighborhoods of $L\cap S$ 라고 하자. 다시 말해서 $n =3$ 일 때 밑에 그림과 같은 상황이 됨:
이제 "적절한 좋은 세팅"을 위해서 다음과 같은 조건을 만족한다고 하자: View $N(S)$ as $S\times I$ with $S = S\times\{1/2\}$, $S\times\{0\}\subset B_1$, $N(S)\cap L = (L\cap S)\times I$ and $N(S)\cap T = (S\cap T)\times I\subset E\times I\cup N(L)$. 다시 말해서 $N(S)$의 딱 중간에 원래 $S$가 있는 상태이고, 밑으로 내려가면 $B_1$의 영역에, 위로 올라가면 $B_2$의 영역으로 가도록 하고, link $L$과 surface $T$는 $N(S)$에 transversal하게 intersect 하게 하는 것.
자 이제 메인 아이디어인 interpolation에 대해서 설명하기로 함. Let $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ be a good set of properly embedded arcs in $E$ if each $u_i$ contains a unique point of $\cup_{j=1}^n \lambda_j$. 그림으로 보면 상황 이해가 더 잘됨:
가운데에 12각형에 선 3개가 그어져 있는데, 저게 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$에 해당됨.
만약 $\delta$가 embedded arc in $E^\circ$ such that $\delta^\circ\cap\left(\cup_{j=1}^n\lambda_j\right) = \emptyset$ 그리고 $\partial\delta$ is contained in distinct components of $\cup_{j=1}^n\lambda_j$ 그러면 $\delta$를 중심으로 $\lambda_i$들을 쪼개서 새로운 good set $\lambda_1^1,\ldots,\lambda_n^1$ 를 만들 수 있음. formal하게는 $\cup\lambda_i^1 = \left(\cup\lambda_i-\delta\times I^\circ\right)\cup\delta\times\partial I$.
위에 그림에서는 왼쪽 혹은 오른쪽에 점선에 해당되는 것이 $\delta$이고 그걸 중심으로 쪼개서 만들어진 새로운 good set이 밑에 그려져 있다. 이렇게 만들어진 새로운 set $\{\lambda_1^1,\ldots,\lambda_n^1\}$는 $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$으로 부터 "1-handle들을 붙였다" 라고 말함. 위에 그림과 같이 "양방향" 으로 각각 handle attaching을 해서 최종적으로 $u_{2i},u_{2i+1}$과 $u_{2i-1},u_{2i}$가 $\lambda$들로 이어져 있는 최종 꼴로 항상 만들 수 있음. formal하게는, $n$으로의 induction을 통해서, 주어진 good set $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$에 대해서 어떤 수 $0\leq k\leq n-1$가 존재해서 $\{\lambda_1^i,\ldots,\lambda_n^i\}$ for $0\leq i\leq k$ and $\{\delta_1^j,\ldots,\delta_n^j\}$ for $0\leq j\leq n-k-1$ 인 good set들을 만들 수 있다. 여기서 $i = j = 0$에서는 $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$와 같고 각각의 $\lambda_\bullet^i$, $\delta_\bullet^j$들은 각각 $\lambda_\bullet^{i-1}$, $\delta_\bullet^{j-1}$ 들로 부터 1-handle attachment를 통해서 만들어진 것이고, 최종형인 $\lambda_r^k$와 $\delta_s^{n-k-1}$은 arc of the form $m_{2r-1}$ to $m_{2r}$ and $m_{2s}$ to $m_{2s+1}$ 로 나타나야 함. 최종형을 저런 세팅으로 한 이유는 기존 $T$에 대한 assumption 각각의 $T\cap E$의 component들은 properly embedded arc이고 각각의 $u_i$는 $T$와 unique point에서 intersect를 한다는 것 때문.
자 이런식으로 어떤 식으로는 주어진 good set에 대해서 good set hierarchy를 만든 다음에 hierarchy각각의 단계의 good set들을 interpolate하는 surface를 만들면 끝남 (참고로 good set은 항상 존재함): 만약 $k = 0$이면 $T_1^1 = T\cap B_1$. 만약 아니라면, $0 = t_0<t_1<\cdots<t_k = 1/2$를 고른 다음, $T_1^1\cap (B_1-N(S)^\circ) = T_1$, $T_1^1 \cap (S\times\{t_i\}) = \{\lambda_1^i,\ldots,\lambda_n^i\}$ 그리고 각각의 component $T_1^1\cap S\times [t_i,t_{i+1}]$은 either $\lambda_j^i\times [t_i,t_{i+1}]$ 이거나 밑에 그림과 같은 saddle인, 그러한 $T_1^1$을 construct한다.
다시말해서, $T_1^1$은 $t_i$ 레벨에서는 $\{\lambda_1^i,\ldots,\lambda_n^i\}$들이고, 그 사이사이 $[t_i,t_{i+1}]$ 에서는 "바뀌지 않는" 부분에서는 $\lambda_j^i\times [t_i,t_{i+1}]$이고 "바뀌는 부분"에서는 위에 saddle처럼 interpolation을 하는 surface를 집어 넣는다. 그리고 이 모든 일은 $S\times [0,1/2]$에서 일어나는 것이고 그 밖에 영역에서는 $T_1^1$는 $T_1$과 같음. 그러면 resulting surface $T_1^1$는 topological 하게는 $T_1$에다가 $k$개의 $1$-handle들을 붙인 것이고, 비슷한 방식으로, Seifert surface $T_2^1$ for $L_2$를 $n-k-1$개의 $1$-handle들을 붙여서 construct할 수 있음. 참고로 처음에 $N(S)\cap T$를 $E\times I\cup N(L)$로 구겨놓은 가정 때문에, 그리고 $T$와 $R$은 boundary link $L$에서만 intersect한다는 가정 때문에 결과적으로 만들어진 $T_1^1$와 $T_2^1$는 coherent하게 $T_1$, $T_2$ 각각과 붙게 됨.
다시 메인 정리의 증명으로 돌아오면,
$$\chi(T_1^1)+\chi(T_2^1) = 1-n+\chi(T_1)+\chi(T_2) = 1+\chi(T)>1+\chi(R) = \chi(R_1)+\chi(R_2)$$
가 되기 때문에, $\chi(T_i^1)>\chi(R_i)$ for some $i$가 됨. $\square$
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다음의 Corollary들은 Reebless foliation과 긴밀히 연관되어 있는데, 이것의 motivation 혹은 유용성을 먼저 말하는게 더 와닿을 것 같다. Reebless foliation이란, Reeb component가 없는 foliation을 말하는 것으로, 대표적인 depth 1 foliation이다. 엄밀한 정의보다 어떻게 생겼는지를 보는 것이 더 좋음:
위에 그림은 3-dimensional Reeb component인데, 3차원인 이유는 foliated된 manifold가 3차원이기 때문. 그림을 보면 solid torus의 boundary torus가 compact leaf가 되고, 나머지는 이 boundary torus에 spiral하면서 다가가는 그런 모양새를 하고 있다. 각각의 noncompact leaf는 $\Bbb R^2$와 homeomorphic하다. 보통 compact leaf를 depth 0 leaf라고 하고, leaf $L$이 depth 1 이라는 것은, $\overline{L} - L$은 depth 0 leaf들의 union으로 나타나는 경우를 말함. 다시 말해서, $L$이 어떤 depth 0 leaf로 spiraling 하는 경우를 나타냄. 비슷한 식으로 어떤 leaf $L$이 depth $k$ 라는 것은, $\overline{L} - L$이 depth $j\leq k-1$ leaf 들의 union으로 되어 있고, 최소한 하나의 depth $k-1$ leaf를 갖고 있는 경우를 말함. 일반적으로 foliation의 depth를 얘기할 때는, 각각의 leaf들의 depth 중에 maximum을 말함.
Reebless foliation의 대표적인 theorem은 Novikov theorem임.
Theorem (Novikov). Let $M$ be a 3-manifold and $\mathcal{F}$ be a Reebless foliation. Then every leaf $L$ is $\pi_1$-injective and every transverse loop $\gamma$ is essential in $\pi_1$.
이 theorem의 direct corollary는, hyperbolic 3-manifold의 경우에, Reebless foliation이 있는 것과 taut foliation이 있는 것이 동치라는 것.
사실 이것보다 Reebless를 찾는 더 중요한 이유가 있는데, Thurston norm 과 관련되어 있음.
Theorem. Let $M$ be a compact oriented 3-manifold. Let $\mathcal{F}$ be a codimension 1, transversely oriented foliation without Reeb component such that $\mathcal{F}$ is transverse to $\partial M$. If $R$ is a compact leaf then $R$ is norm minimizing as an element of $H_2(M,\partial M)$.
Sutured 3-manifold 케이스에서는 다음과 같이 서술할 수 있음.
Theorem. Let $(M,\gamma)$ be a sutured manifold. Let $\mathcal{F}$ be a transversely oriented foliation on $M$ such that $\mathcal{F}$ is transverse to $\gamma$ and tangent to $R(\gamma)$, $\mathcal{F}$ and $\mathcal{F}|\gamma$ have no Reeb components. If $S$ is a compact leaf of $\mathcal{F}$ then $S$ is a norm minimizing surface representing a class of $H_2(M,\gamma)$.
일반적으로 어떤 embedded surface가 norm-minimizing 하다는 것을 보이는 것은 어려운 문제. 위의 theorem들이 말하는 것은 대상이 되는 embedded surface를 compact leaf로 갖는 transversely oriented Reebless foliation의 존재를 알면 그 surface는 norm-minimizing이다는 것을 보장한다는 것.
Corollary 3. Let $M$ be a compact irreducible connected oriented 3-manifold such that its boundary $\partial M$ is a (possibly empty) union of tori, and $H_2(M,\partial M)$ is not generated by tori and annuli. Then there exists a $C^\infty$ transversely oriented foliation $\mathcal{F}$ of $M$ such that $\mathcal{F}$ is transversal to $\partial M$ and $\mathcal{F}|\partial M$ has no 2-dimensional Reeb components, and no leaf of $\mathcal{F}$ is compact.
Corollary 4. Let $M$ be a compact acylindrical 3-manifold with boundary $\partial M$ whose interior has a complete hyperbolic metric and $H_2(M,\partial M)\neq 0$. Then there exists a $C^\infty$ transversely oriented foliation $\mathcal{F}$ of $M$ such that $\mathcal{F}$ has no compact leaves, $\mathcal{F}$ is transversal to $\partial M$ and $\mathcal{F}|\partial M$ has no Reeb components.
Proof of corollary 4. $M$이 acylindrical hyperbolic 3-manifold를 갖는 다는 것은, $M$은 irreducible, atoroidal, acylindrical 하다는 것을 내포함. 따라서 위의 corollary 3의 조건을 만족함. 따라서 corollary 3에 의해서 증명됨. $\square$
Corollary 5. Suppose $M$ is a compact irreducible 3-manifold, $\partial M$ is a (possibly empty) union of tori, and $H_2(M,\partial M)$ is not generated by tori and annuli. Then there exists a Riemannian metric and foliation $\mathcal{F}$ of $M$ such that $\mathcal{F}$ is transversal to $\partial M$ and every leaf is a minimal surface.
Proof of corollary 5. 이거는 거의 Sullivan의 theorem에서 나오는 것인데, Sullivan이 어떤 것을 보였냐면, 3-manifold $M$이 transversely oriented $C^\infty$ foliation을 갖는다고 했을 때, 이 foliation이 taut인 것과 동치가 $M$의 어떤 Riemannian metric이 있어서, 각각의 leaf들이 minimal surface가 된다는 것을 보임. 이제 Corollary 3에 의해서 corollary가 증명됨. $\square$
Corollary 6. Let $M$ be a compact and orientable. Let $p:\tilde{M}\to M$ be an $n$-fold covering map, and let $z\in H_2(M) = H^1(M,\partial M)$ or $z\in H_2(M,\partial M) = H^1(M)$. Then $n(x(z)) = x(p^*(z))$. Here, $x$ denotes Thurston norm.
어쩌면 가장 흥미로운 corollary라고 볼 수 있는 것이, 앞서 말했지만, foliation을 형성해서 norm minimzing surface임을 보이는 corollary이기 때문.
Proof of corollary 6.
Corollary 7. Let $M$ be a compact oriented 3-manifold. Then on $H_2(M)$ or $H_2(M;\partial M)$,
$$x = {1\over 2}g,$$
where $x$ denotes the Thurston norm and $g$ denotes the Gromov norm.
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