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복수정답이나 오류 인정할 가능성은 0.00000001%입니다.
걱정 안하셔도 되어요.
잘 나가다가 갑자기 뭔 정치
정치 이야기는 아니고 기조 관련해서 옛날 기출의 스타일이 반복될 수 있다는 소리입니다
단순 정치 이야기도 아니고 음모론 수준인데 저건 좀...
저는 가능성 높다고 생각하긴 하는데, 믿거나 말거나입니다~
다만 실제로 교육부 장관님께서 당시 교육부 장관을 맡으셨던 분은 맞으니, 기조가 비슷할 수 있다는 점은 확실하니까요.
다항함수의 계수가 실수로 한정되어 있고(복소계수 다항함수의 미분은 교육과정에서 다루지 않음), 실계수 다항방정식에서는 허근이 항상 켤레꼴로 발생하므로, 허근이 중근인 상황은 발생할 수 없어서, 이 문제는 수학적으로 오류가 아닙니다.
글의 내용을 거꾸로 착각하신 듯합니다. 중근이 아니기에 허근 두 개가 확보되어 오류라는 것이 글의 내용입니다…
아 네, 제가 오독했네요. 허근도 원소로 고려하면 극소에서 실근, 허근, 켤레허근으로 원소의 개수 3이 되니 문제에서 의도한 상황이 무너진다는 이야기군요.
말씀하신대로, 조건제시법으로 집합을 구성하고, 사차방정식의 근을 논할 때에는, 교육과정 상 복소근까지 다룰 수 있고, 당연히 사차다항식 f(x)에는 x=복소수를 대입하는 것도 허용됩니다.
다만 이미 아시다시피, 이 주장은 평가원에게 받아들여지기 어려울 것 같습니다. f(x)가 단순히 사차다항식으로 주어진 것이 아니라 사차함수라고 주어져 있고, 사차함수의 도함수를 논하고 있어서, 정의역과 공역이 R로 제한된 함수 f:R->R가 전제되어 있다고 보아야 합니다. 이걸 허용하게 되면 f(i), f'(i) 등을 생각해야 하거든요.
정리하면, 고등수학에서 다루는 사차다항식에는 복소수를 대입할 수 있고, 집합에서 그런 복소수들을 원소로 갖는 집합을 생각할 수는 있지만, 수2에서 다루는 사차 다항함수에는 복소수를 대입할 수 없어서 허근은 고려하지 않아도 됩니다.
네. 확인했습니다. 다항함수의 정의가 교육과정 내에서 실수의 부분집합으로 된다는 말씀이시지요? 맞는 말씀이신 것 같고 혼동을 드린 점 죄송합니다. 교육과정 내 다룰 수 있는 사차 다항함수의 범위를 잘못 알고 있던 제 불찰입니다. 바로잡아 주셔서 감사합니다.
괜찮습니다. 저도 잘못 읽고 답해서 죄송해요.
이 문제와 거꾸로의 방향으로 오류 이의제기가 있던 2010학년도 6월 평가원 가형 12번도 참고해보세요.
그때 문제는 사차방정식 f(x)=0의 근을 논하고 있어서, 사차다항식에 실계수 조건이 빠져 있습니다.
그러면 복소계수를 절묘하게 잡아주면 ㄱ,ㄴ,ㄷ의 조건을 만족시키면서 답이 달라질 수 있다는 게
이의제기의 요지였습니다.
물론 그때 문제도 문제에서 미분계수를 언급하고 있다보니,
실계수가 아니게 되면 복소계수 다항함수의 미분을 논하게 되어 교육과정을 벗어난 내용이 됩니다.(그래서 문제 없음)
이명박 정권이랑 윤 정권이 둘다 보수라던가 교육부 장관이 같다던가 이런거보단
작년에 출제진 쓸데없이 갈아서 인력 풀 부족하고, 억지로 출제진 끌어모았고, 교사 비중 강화 등으로 퀄리티 낮아진거같다고 생각합니다
의견에 동감합니다.
윗댓에도 달았듯 인력 풀이 비슷할 것 같다는 얘기는 믿거나 말거나고 사실 수험생분들이 뭔가 하실 것은 없으니 그냥 흘러 들으셔도 되고요.
평가원을 마냥 욕하기도 그런 게 인력 수급이 확실히 난해할 것 같긴 합니다.
고등학교 과정에서 다항함수의 정의역은 실수 전체의 집합의 부분집합으로 제한되기 때문에 21번에 실수 조건은 필요없을 것 같습니다.
함수의 관점으로 보는 게 아니죠.
(나)를 볼 때에는 수식의 결과가 k가 되는 모든 x를 찾아서 중복되는 값들을 제거하고 집합의 원소로 택하는 해석을 해줘야 합니다.
따라서 다항함수인 것은 중요치 않아요.
(나)는 사차방정식입니다.
f(x)가 실수전체의 집합에서 정의되었는데, f(i)를 생각하는게 넌센스죠.
예를 들어 함수 f(x) = x^3 + 3x라고 하고,
f(x) = 0을 만족하는 모든 x를 구하라는 문제가 나오면
고등과정 내에서도 0과 플마 루트 3 * i를 모두 해라고 합니다.
다항식이라고 하면 맞지만, 다항함수라고 하면 저렇게 풀면 저 문제가 잘못된거에요.
아닙니다. 고교 수학 내에서 다항함수의 정의역이 실수 조건으로 제한되어서 가르치는 것은 것은 맞습니다만
“해당 내용을 학생들이 외울 이유“는 없습니다.
개념을 정확하게 아는것과 교과 내 한계로 인해 제한된 특수 조건을 아는 것은 완전히 다릅니다.
또 문제가 잘못된 방향으로 풀리냐 안풀리냐도 중요한데
예를들어 수능 12번 문제는 잘못 생각하면 시작도 못해서 넘어갈 수 있었습니다만
해당 문제는 계속 잘못 풀 수 있어서 문제가 크고요
솔직히 수능이었으면 사건이 엄청 커졌을거라 보는데
모평은 관례적으로 이 정도는 넘어갈수도 있는데 봐야죠
글쓰신분도 굳이 삭제 할 이유는 없었던거같아요
논리화학 님 말씀도 타당하고 현역 때 도움 많이 받았던 기억도 있어서 존경하고 있습니다.
다만 수학적으로 논쟁이 있을 수 있고 확실하지 않은 부분인데 저는 정보를 전달하는 사람이지 수학적으로 엄밀하게 증명하거나 주장을 할 목적은 아니기에 분명한 부분이 아니라면 글을 내리는 것이 맞다고 생각합니다.
아뇨. 수학은 정의에서 시작하는 학문이죠. 사실 원칙적으로는 고등학교의 모든 함수 문제에서 정의역과 공역을 명시해 주는게 맞습니다.
이때, 다항함수는 정의역이 실수 범위로 제한되는 것이 맞고요.
논리화학님 말씀처럼 생각하기 시작하면 x^2 - 1 < 0 과 같은 부등식을 풀 떄, x=i도 해가 되야 합니다. 고등학교에서 부등식을 실수 범위로 제한해서 하는게 맞지만, 그 내용을 외울 이유가 없다고 해야 할까요?
이중잣대가 될 거 같습니다!
물론, (나) 조건을 쓸 때, 굳이 실수라는 조건을 뺄 이유가 있었나? 에 대해서 생각해보면 넣어주는게 더 좋을 수 있다고 생각하지만, 뺏다고 문제가 되지는 않는다고 봐요.
(정의역, 공역에 대한 정보를 생략하면서 다항함수의 정의역이 은근 슬쩍 실수 범위 내로 제한되는데,,, 저는 이렇게 생략하는 것이 개인적으론 좀 아쉽습니다.)
아 이 댓글을 지금 봤네요.
일단 복소수 부등식의 경우엔 조금 억지인게 다항함수의 복소수 포함여부(특히 이번 문제처럼 다항식으로의 혼동 가능성까지 있음)와 부등식에서의 해의 복소수 포함 여부는 관습의 차원이 많이 다르죠. 이중잣대라고 하면 뭐 관점에 따라 그렇게 볼 수는 있겠네요.
애초에 근이 아니라 “실근“이라고 하면 됐는데 너무 기초적인 실수고..
이 문제가 문제점이 너무 많아서 뭐를 포인트로 잡을지 생각이 잘 안났는데, 정리하고 보니 약간 말을 바꿀게요.
이 문제는 다항함수 실수 정의역 여부보다, 집합 및 함수의 정의역, 식의 모양 등 때문에 혼동이 훨씬 심하게 오는게 문제인 것 같아요.
사실 다항함수의 계수가 실수라고 가정하는것도 교육과정에서의 convention이며, 교과서 정의에 따르면 다항함수의 정의역이 실수가 맞기는 해요. 그래서 오류가 아니라고 하는것도 타당은 하지만...
{x | f(x) = k} 이렇게 식을 써 놓으면 교과내에선 혼동이 너무 크게 옵니다.
1) f의 정의역이 실수로 제한되어 있으므로 x는 실수이어야 한다(다항함수 정의역 실수 숙지 필수는 기본, 집합과 함수의 정의역 관계성)
2) 식 모양은 똑같은데 뭐가 다른거냐? “다항식“에서는 허근도 따진다. 하지만 “다항함수“에서의 “근“은 정의역은 실수이므로 x는 실수이어야 한다
이 사고까지 하는건 출제의도에서 한참은 벗어난 것 같습니다. 그래서 “문제가 되진 않는다“는 아닌 것 같아요.
오류를 따질때 출제의도도 보고 혼동성 여부도 보고, 피해받은 인원도 보고, 사탐 예전 사례처럼 교과서 밖 사실을 인정하기도 합니다.
수능이었으면 소송까지도 가긴 갈 정도로 문제가 너무 혼동성이 강하다고 봅니다. 상식적으로 실근이라는 표현을 써 줘야지 저딴 표현으로 문제를 내는 것 자체가...
전 저런 풀이까지 요구하는건 고교 수학에서 한참 벗어났다고 봅니다.
뭐 지금은 걍 씹거나 “앞으로 잘 내겠다“ 정도 아닐가 싶네요.
이건 대상에 대한 서술문제인데요. 문제의 첫 문단에서 다항함수라고 명시했기 때문에 문제가 없다고 봅니다.
이건 평소에 신경 써서 공부했어야 할 부분인데 그렇지 않아서 생기는 문제를 오류라고 보긴 어렵다고 생각합니다.
문제에 주어진 것과 구하는 것이 어떤 집합의 원소인지 파악하는 것은 기본 중에 기본입니다. 이런 습관이 없어서 혼동이 온다면 공부 습관에 대해 다시 생각해봐야 하지 않을까 싶어요. 21번 문항이 오류기 때문에 오는 혼동이 아니라, 평소에 잘못 공부했기 때문에 혼동이 오는 것이라면, 오히려 최상위권을 가리는데 도움이 될 수도 있죠.
물론 보통 문제집에 있는 문제들이 대상을 서술하지 않고 얼렁뚱땅 넘어가는 경우가 많아서~ 학생들이 혼란스러울 수 있는 부분이 있다고 생각하고, 그런 점에서 굳이 실수 조건을 빼야 했나?
라고 묻는다면, 넣어주면 더 친절하다 정도이지, 없다고 오류라고 생각하진 않습니다.
솔직히 오류냐고 단정할 수 있느냐 하면 정배는 오류가 아니다 이거긴하죠. 그래도 전 저정도면 오류라고 보긴 합니다.
이유는 맨 처음 댓글이랑 같습니다. 그것까지 외울 필요는 없다 이 생각은 여전합니다.
전 댓글에서 말한 근거들은 “얼마나 문항이 개판인지“에 관한 얘기라서 소송간다 쳤을때 도움이 되지 않을까 싶네요
교과서에서 언급된 함수들의 정의역을 다 알아둬라... 물론 정의역 자체는 수학의 기본 of 기본이다만
“ “교과서 내에서는“ 다항함수 = 실수제한, 따라서 저 서술에서 근은 실근만을 말한다“?
이거는 그렇게까지 타당한건지 잘 모르겠습니다.
자야해서 여기까지만요
좋은 의견 감사합니다
1. 논점을 잡자고 하셔서~ 편의 차원이 아니라 오류인지 아닌지를 보는 것을 논점으로 했을때
당연히 정배로 봐야하지 않나요?
2. 교육과정에서 무엇을 배우는지도 모르는게 잘 하고 있는건 아니라고 생각합니다. 다항함수의 정의역을 실수로 제한하는 것을 몰라도 된다는 근거가 무엇인가요?
3. 논리화학님이 근거로 삼는 것은 “시중 문제가 다항함수임데도 복소수 범위까지 고려해야 하는 문제”가 많을 때 근거가 될 수 있을것 같은데, 시중에서 다항함수라고 명시해놓고 복소수 범위를 고려하는 문제가 그만큼 있나요?
4. 이차함수가 항상 0보다 클 조건 등을 구할 때도 사실 복소수 범위는 고려하는 것은 본 적이 없어요~
실근 조건을 언급하는 것은 친절함의 문제이지 오류 문제라고 보긴 어렵다 생각되네요.
일단 논점을 잡아야 할 것 같은게 이게 적절하게 출제된 문제가 아니다(솔직히 잘못 냈다)에 동의하는지부터 시작해야 할 것 같아요
오류를 받아들여야 하냐 vs 그래도 오류는 아니다의 쟁점인지
“애초에 실수 명시해주는게 학생들 편하라고 한거다“의 쟁점인지요.
혹시 여기서부터 의견 차이가 나면 이야기가 잘 안될듯
저는 오류는 아니라고 생각합니다.
f(x)에 대한 서술이 중요한데, 고등학교 문제집 중에 주어진 대상에 대한 서술을 제대로 한 문제가 없는게 함정이죠.
하지만 보통 평가원 기출이나 논술, 면접에서는 명확히 서술해 줍니다.
이 문제에서는 f(x)가 다항함수라고 먼저 명시돼있고, 허수 x에 대해서는 f(x)가 정의되지 않기 때문에 오류로 볼 수 없어요~
무슨 말씀이신지 알겠습니다. 유사한 문제 보고 왔는데 말씀에 일리가 있네요. 혼동을 줄 수 있는 글을 내리겠습니다. 감사합니다.