미분에 대하여
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 가 한 점 를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점 를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는 의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
족보구해야되는데 1번의 실수로 1년정지 먹어버렸네요 ㅠㅠ 한번 살려주실 분 구합니다
-
왜 안돼... 이전에 회원가입한 적 없고 진짜로 가고 싶은 대학 붙은 후에 회원가입...
-
재학생인데 정지먹어서 꼭필요해요ㅠㅠ 구매나 대여 가능할까요?
-
연애를 하다.. 실수를 해서 올 차단을 당하고 차였는데… 상대방이 건대를 다니고.....
-
계정 구매하는 건 아니고 일정기간 대여 해주시면 사례해 드립니다!! 지인 가게...
-
아는 누나 가게 오픈해서 홍보해준다는게 잘못해서 자게에 올리는 바람에 신고먹고...
-
어제 에타 무지성 신고테러 받고 정지먹었는데 지금 탈퇴하고 학번 나올때 쯤 재가입...
-
대외활동 홍보 잘못했다가 5년정지 받음... 5이상에 살테니까 댓글이나 쪽지 부탁드립니다.
-
2만원에 사봐요 크롤링 하다가 이게 정지사유인지 모르고 정지당했습니다.. 재학생 인증 가능합니다 !
-
어느 분이 말해줬는데 인하대 에타에 입시 카테고리가 있어서 우리의 주적은 ~대학...
-
에타 계정이 정지 되어서 구해봅니다... 단순 시험 정보나 과제 등 정보 얻는...