미분가능성 관련 질문!(1000덕)
어떤 도함수가 연속이면,
원함수는 미분가능하잖아요?
미분가능함은 연속임을 내포하잖아요??
그럼, 만약 도함수가 연속이 보장이 되지 않는다면,
원함수는 미분이 가능하지 않잖아요? 그렇다고 연속이 보장되지 않는 것은 아니잖아요?(알수 없음)
그렇다면, 이동거리, 속도, 가속도가 그래프로 주어진다면,
가속도 그래프가 연속이 아니라면, 속도그래프의 연속성도 보장이 안된다고 봐야하나요??
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Q1) 만약 도함수가 연속이 보장이 되지 않는다면, 원함수는 미분이 가능하지 않잖아요?
A1) 이건 틀렸습니다. 도함수가 불연속이지만 미분가능한 함수도 존재합니다.
다만 말씀하신 것 처럼 원함수가 미분 불가능한 경우가 훨씬 일반적으로 많이 나오기 때문에, 연속임을 알 수 없다는 것은 사실입니다.
Q2) 가속도 그래프가 연속이 아니라면, 속도그래프의 연속성도 보장이 안된다고 봐야하나요??
A2) 네, 그렇다고 봐야합니다.
사실 현실에 존재하는 물체라면 가속도 또한 불연속일 수 없지만, 수학 문제의 경우 주어진 상황이 "수직선 위에 존재하는 점" 이라고 하는 실체가 없는 존재이기 때문에 일반적인 물리에서 통하는 상식이 성립하지 않을 수 있습니다.
마찬가지로 수학 문제 상황에서는 속도 그래프가 연속이 아니라면, 위치 또한 연속성이 보장된다고 할 수 없습니다.
답변감사합니다.
1. 도함수가불연속인데, 원함수가 어떻게 미분이 가능한가요?? 두 극한값만 같고, 함수값만 다른경우 일까요?(한가지 예시가 있을까요?)
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1) https://orbi.kr/0003080696
2) t가 0에서 2사이에서는 주어진 함수가 연속이므로, 정확히 2일 때는 a(t)가 2를 포함한 구간으로 정의되어 있으니 t=2 일 때 v(t)가 미분가능하다는 의미가 되어서 연속, 2 초과일 때는 a(t)가 정의되어 있으니 도함수가 존재(미분가능해서) 연속이 됩니다.
오정말감사합니다! 천덕보내겎습니다