수열 준킬러 1분 안에 푸는 방법 (2)
과연 무조건 첫째항부터 나열하는 것이 항상 좋은 걸까요..?
또한 나열하면서도 시간과 과정을 조금이라도 단축시킬 수는 없을까요..?
등차수열이나 등비수열이 아닌 순수한 수열 문제에서,
모두가 알다시피 ‘일단 나열해놓고 보는 것’이 정말 중요합니다.
하지만, 문제의 방향성을 염두한 채로 나열하다보면 불필요한 시간을 훨씬 줄일 수 있습니다.
올해 6월 모의고사 15번입니다.
이 문제에서 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는 의 부호입니다.
따라서 우리는 이 부호가 어떻게 전개될지에 모든 초점을 맞춰 풀이를 진행해야합니다.
먼저 모든 상황에서
으로 여기까지는 케이스를 나눌 필요가 없어보입니다.
이제 여기서부터 케이스를 나누어야합니다.
이제 k=1부터 k를 1씩 올려가며
등의 부호에 따른 케이스를 나누어보아야합니다.
상당히 번거로운 과정이 될 것 같습니다.
그 전에 풀이를 단축시켜줄 수 있는 규칙성이 있는지 살펴보는 것이 좋을 것 같습니다.
먼저, 과연 모든 항들의 부호가 서로 독립적일까요..?
혹시나 에 숨겨진 규칙이 있는지 살펴봅시다.
위와 같이 식을 변형해보고, 이 세 가지만 놓고
각각의 경우에 어떻게 전개되는지 대략적으로만 살펴봅시다.
만약에 이라면
이므로 입니다.
즉, 음수항 다음 항이 양수항이라면 그 다음 항은 다시 음수항이 됩니다 ... ㄱ
또한,가 전부 음수라면
"어..? 그렇다면.?"
... 이를 통해, 음수항에서 양수항으로 바뀔 때까지
음수항(이후 첫 양수항도 포함)에서 각 항들끼리의 차이는 공차가 2인 등차수열임을 알 수 있습니다 ... ㄴ
마지막으로, 만약 3~6번째 항에서 0이 하나라도 나온다면
이므로 더 살펴볼 필요가 없습니다
... ㄷ
우리는 ㄱ, ㄴ, ㄷ세 가지를 염두한 채로 최대한 빠르게 모든 경우들을 파악해볼겁니다.
k=1일 때,이므로
성립X (- + + -) (ㄱ 활용)
k=2일 때이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=3일 때, 이므로
성립O (- + - -)
k=4일 때, 이므로
성립X (ㄷ 활용)
k=5일 때,이므로
성립O (- - + -) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=6일 때, 이므로
성립O (- - - +) (ㄱ, ㄴ 활용)
k=7일 때, 이므로 성립X (- - - -) (ㄴ 활용)
k>7일때도 전부
(- - - -)일 것입니다.
따라서 가능한 k는 3, 5, 6 뿐입니다.
우리는 나열을 하면서도, 몇가지 규칙을 미리 염두해두어 케이스를 나열하는 시간을 줄이는데 성공했습니다.
한 문제만 더 살펴봅시다. 2023년도 수능 15번입니다.
이 문제에서는, 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는
이 3의 배수인지 아닌지의 여부입니다.
먼저, (가)를 보고
은 3의 배수가 아니기에
일 것이라고 먼저 확정해야합니다.
(나)를 본 뒤,
이미 모두가 알고 있는 ‘일단 넣고 보자’ 식으로
먼저 대입을 해봐야 합니다.
그러나, 만약을 시작으로 전개를 하려고 하면,
너무 많은 경우의 수가 나옵니다.
그래서 보통 해설을 보면 통상적으로부터 역추적하는 방법을 사용하곤 합니다.
그러나, 현장에서 이 문제를 직면했을 때 부터 역추적하는 것은 상당히 리스크가 있습니다.
어디까지 역추적해야 문제가 끝날지
해보기 전까지는 모르기 때문입니다.
(물론 결론적으로는 5번째 항까지만 살펴보아도 답이 나오도록 문제가 설계되었지만,
저의 경우 문제를 처음 현장에서 직면했을 때 역추적이 언제 끝날지 모르는 불확실성을 회피하고자 아래와 같은 방법을 사용했습니다.)
그렇다면 우리는 어디를 시작으로 전개해보아야 할까요?
모릅니다.
무슨 소리냐고요?
우리는 어느 항들이 3의 배수를 가지는지조차 모르고,
안다고 한들 그 항에 3분의 1을 곱했을 때 또 다시 3의 배수가 나올지 아닐지조차 모릅니다.
그래서 우리는,
3의 배수이면서, 1/3을 곱했을 때 더 이상 3의 배수가 아니게 되는 어떤 항을
k번째 항이라고 가정해놓고,
라고 설정한 뒤 거기서부터 나열해보는겁니다.
이렇게 설정해놓은 뒤 라고 하면, 문제없이 1~k번째 항은 자연수가 되므로 ‘모든 항이 자연수인가?’에 대해서도 걱정할 필요가 없습니다.
이제 에서부터 전개해보면
... 5항 주기로 반복됨을 알 수 있습니다.
이므로, 40이 1, 4, 5의 배수임을 고려해보면
또는
또는
을 만족할 것입니다.
k=4일 때,
그러므로
k=5일 때,
그러므로
k=6일 때,
그러므로
따라서의 최댓값과 최솟값의 합은 224입니다.
순수한 귀납적 추론을 요구하는 수열 문제에서
‘나열하면서 규칙 확인해보기’는 필수입니다.
그러나, 단순히 아무 생각없이 나열하는 것 보다는
상황에 따라 어떤 식으로 흘러갈지 대략적으로 추측해보고,
부호 / 3의 배수 여부 등 문제의 상황을 가르는 핵심 요소에 집중하여 이와 관련된 성질을 미리 파악하고
나열을 시작하면 훨씬 문제를 푸는 과정과 시간이 단축됩니다.
그렇다고 해서, 귀납적 추론을 요구하는 문제에서 ‘규칙을 반드시 찾고야 말겠어’라는 생각으로,
나열을 하지도 않은 채 모든 규칙을 찾아내려고 무모하게 시도하는 것은 오히려 시간 낭비일 수 있으므로
귀납적 추론을 베이스로 깔고 가되, 언제나 문제의 방향성을 염두해 둔 채로 수열 문제에 접근했으면 좋겠습니다.
현재 저희 Team BLANK의 기출문제집 제작이 70% 이상 완성되었습니다.
저희는 기출문제집은 엄밀한 논증 또는 해설지다운 해설보다,
직관을 사용하여 최대한 간결하고 깔끔하게 문제를 해결할 수 있는
해설을 여러분들께 제공합니다.
많은 관심 부탁드립니다 :)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
14분 투자하고 2틀함 ㅁㅌㅊ
-
정시로 안뽑다보니 어디 위치다 객관적으로 알 수가 없어서 인식이 궁금함
-
낭자애는 볼록 튀어나온게 포인트라는 댓글 아직도 어지러워서 안잊혀진다
-
나 하니인데 3
하니대갈거다.
-
ㄷ.에서A랑 B랑 같을줄 알앗는데 A가 더 느린 이유 좀요
-
잡도해 질문 6
잡도해 같이하기는 어떤식으로 하는건가요? 심찬우 강사님이랑 강의 들으면서 해설하면...
-
소주 기준 몇병정도 되시나요? 그리고 술 안 마시는데 흡연하시는 분들은 하루에...
-
화미사문지구 0
백분위 93 96 1 93 88 이면 어디감?
-
처음 맞춘 한명
-
맨날 다이소에서 사던거 이제 안팜..
-
쌤한테 호출당함 ㅜㅜㅜ
-
현돌 어때요?? 2
퀄 좋아서 풀긴 하는데 사실 이거까지 알아야하나..?싶은 내용도 있는 느낌이라...
-
내 성격이면 기초 배울 때 하루종일 둥둥거리다가 때려칠거같긴 하지만
-
하 0
숨좀고르고
-
이기는 놈이 다음 정권 먹는거지?
-
문제 이럴게 대충 내도 됨? 답은 머리로 구했는데 눈을 의심하고 써봄 돈내고 푸는 의미가 있나;;
-
둘다 새거 포장만 뜯은 새 시험지입니당
-
국어꿀팁) 1
수능 국어 실모보다 리트 기출 푸는게 돈도아끼고 좋다
-
쓰읍 5
나쁘진 않은데 좀 아쉽 반성-아는 작품 나왔다고 보기 대충읽지 말자
-
수특에는 사회서비스는 일정소득수준 이하의 국민에 대한 비용은 전부 또는 일부를...
-
시즌1이랑 시즌2 풀어봤는데시즌2에거 벽느껴버림 ㅠㅠㅠ시즌1은...
-
댓글만 달았다 하면 5개 돌파 알람 계속 뜸 뇌빼고 쓰는데 감사?합니다?
-
울고 싶다 ㅠ ㅠ
-
9모 수학 4였고 작수 5등급이었습니다 9모 이후로 빨더텅으로 기출 한 번 더...
-
가장 힘든 듯요
-
1557 8
포르투갈이 마카오 거주권을 얻은 년도라고함..
-
양승진 파이널 시즌1 1회 62 찍맞1개 컷 88/78/70 2회 77 찍맞0개 컷...
-
강k 25회 92점 10
15 28 틀 15는 보자마자 숨이 턱 막혀서 안함 수학 실력 떨어진줄 알았는데 다행이네
-
가능한가요? 미기 가산 걸어놓은 곳들은 과탐 3프로 가산 정도는 사탐 만점으로 씹을 수 있으려나
-
수능 0
2중반만이라도 나왔으면좋겠다ㅠ 모두화이팅팅
-
못갈 거 같은데 전과목에서 실수 2개 이상 하면 바로 못갈 것 같음
-
수학 N제 2
다들 수학N제 풀면서 이 N제는 실력향상하는 데 큰 도움 됐다 하는 거 뭐...
-
입시 영상을 봤는데 올해는 과탐1과목 잘보면 영향력이 있을거라고 얘기하는데 이유가 뭘까요
-
수1은 하기 싫은데..
-
다음주 내로 72k 회복합니다 한화 1억~9천8백
-
아직 늦지않았다
-
현역때 고대 신소재 학우 1차합 최저떨 한양대 신소재 추합 성대 공학계열 추합...
-
이명학 알고리즘 0
난이도 어느 정도임 꽉찬 2등급이면 들을만 함?
-
ㅇㅇㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇㅇ
-
9년만이다 2
ㅅㅅ
-
대재윤
-
킬러 쉽고 비킬러 어려운 생명 모고 추천좀 해주세용 4
출제기조가 저렇지 않나... 요즘 생명 모의고사 풀때마다 킬러만 어렵고 비킬러는...
-
9모 69 높4 10모 71 3나왔습니다ㅏ 실모 푸는중인데 앞에 4점에서 시간이 좀...
-
대충 2턱실력이에요 현재 육군 복무중인데 인강볼 환경은 아니라 독학서같은걸로 해야할것같아요
-
시는 화자중심적 시와 대상중심적 시가 있습니다. 당연하죠? 화자가 대상...
-
진짜 뉴런 포지션에 있는 수능 개념 + 기출 교재 내주면 안되나? 진짜 과하지 않고...
-
풀면서 알아서 개념,스킬,유형 정리되는 레전드문제들... 박선 그저고트
-
맨날 요즘 플리스만 입고 다녀서 깜놀한 1인 ㅋㅋㅋ
-
첨 현장응시해봤는데 1페이지 내가 제일 먼저 넘겨서 기분좋았음
-
팀 ㅊㅊ부탁여 근데 지역 이런 무슨 기준 있지 않나
기출문제집 정말 기대가 되는군요
헉
8개년 평가원기출을 수록한다 하셨는데, 선별문제들인가요?
아님 8개년 평가원 준킬러,킬러를 다 포함하신 문제집인가요?
빨리 나왔으면..ㅠㅜ