[이동훈t] 22번 완전 분석 (241122)
안녕하세요.
이동훈 기출문제집의
이동훈 입니다.
오늘은 2024 수능 수학 공통 22번을
물고, 뜯고, 맛보는 시간을
가져보겠습니다.
이미 분석 글을 올려드리긴 했습니다만. (아래 글)
[이동훈t] 수학 22번 구조 분석 (2024학년도) 수학2
이 문제에 대한 생각이 완전히 정리되었고 ...
더 새로운 생각이 떠오를 것 같지는 않아서
최종 버전으로 다시 올려드립니다.
물론 ...
이 글에서 제시하는 분석만이 옳다.
라고 말 할 수는 없겠습니다만.
아마도 출제 의도에 가장 근접한
해석 중의 하나 일 것입니다.
우선 문제 보실까요 ?
사이값 정리와 도함수(그래프 개형)이
결합된 문제인데요.
문제를 읽고 나서
위의 세 개의 조건이 머릿속에서
다음과 같이 정리되어야 합니다.
붉은 상자 - 함수 (삼차함수의 그래프 개형)
보라 상자 - 사이값 정리 (x절편 결정)
푸른 상자 - 3개의 구간 + 2개의 점 (y절편 결정)
특히 아래 그림과 같이
세 개의 구간과 두 개의 점으로
정의역을 분할 해야 합니다.
위의 그림을 설명하면 ...
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) = 음수
가 주어졌을 때,
두 점 (-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4)) 을
좌표평면 위에 찍는다.
2 개의 경계 x=-1/4, 1/4 로 분할된
3 개의 영역 각각에서
함수 f(x)가 만족시키는 성질을
그림 또는 수식으로 표현한다.
여기까지가 ...
문제를 본격적으로 풀기 전에
해야 하는 밑 작업 입니다.
이 문제를 풀어본 분들은 아시겠지만 ...
푸른 상자를 위와 같이 처리하지 않으면
(=점 찍기와 구간 나누기)
f(0) = 0
을 유도하기 쉽지 않습니다.
이 풀이의 근거는 아래 문제에 있습니다.
미적분 문제인데요.
f(0) = 0, f(루트pi) > 0
에서 두 개의 점
(0, 0), (루트pi, f(루트pi))
를 좌표 평면 위에 찍어야 하고.
보기 ㄴ에서 점 (a, f(a))를 주었으므로 이를 찍고,
정의역을
[0, a), a, (a, 루트pi]
와 같이 두 개의 구간과 한 개의 점으로
구분해야 합니다.
아래의 그림은 2025 이동훈 기출 미적분 해설의 그림.
이처럼 사이값 정리 + 평균값 정리 문제는
주어진 점 찍고,
정의역 분할하고,
각 점과 구간에서 성립하는 성질을
그림과 수식으로 표현한다.
가 기본입니다.
이에 대해서는
2025 이동훈 기출 수학2, 미적분에서
자세하게 설명해두었습니다.
아래는 2025 이동훈 기출 수학2
평균값 정리 실전 개념의 예제와 참고.
위와 같이
사이값 정리, 평균값 정리에 대한 실전 개념을
정리한 수험생이라면 ...
그렇지 않은 분들보다
몇 단계 위에 있을 수 밖에 없습니다.
2등급 하단의 분들은
평가원 기출 1회독 하고 나서
실전 개념 한 번 정독하면
안정적인 1등급에 오를 가능성이 높습니다.
f ' (a) 가 주어졌을 때,
점 (a, f ' (a)) 를 찍는 문제는
찾아보면 상당히 많습니다.
아래의 문제가 대표적일 것이고요.
이 문제에 대한 자세한 설명은 아래 글에서.
[이동훈t] 수능 난문 만드는 법 (+221130, 231122) 수학2, 미적분
.
.
.
이제 교육 과정의 서술 체계의 관점에서
좀 더 자세하게 살펴보겠습니다.
집합은 함수의 선행 단원이고,
함수는 미분법의 선행 단원입니다.
즉,
집합(정의역의 분할, 포함관계, 연산, 등등) A
-> 함수(그래프) B
-> 미분법(사이값 정리, 미분가능성, 등등) C
수능에 출제되는 미적분 난문의 경우
C 가 어렵다기 보다는
A 에 대한 이해가 부족해서
잘 풀리지 않는 경우가 대부분입니다.
A 에 대한 예를 들어보면 ...
P in Q(=정의역)일 때,
P에서는 성립하지만
Q에서는 성립하지 않는 성질을 묻거나.
(또는 둘 다 성립하거나,
P는 성립하지 않고, Q는 성립하거나.)
점 (a, f(a))가 주어졌을 때,
(-inf, a) 합 a 합 (a, inf) = 정의역으로 구분하고,
두 구간 (-inf, a), (a, inf)과 점 a에서
모두 성립하는 성질을 묻거나.
(또는 일부에서만 성립하거나.)
... 등이 있습니다.
B 도 쉽지는 않지만
대부분의 수험생들이
어느 정도는 암기하기 때문에
이 부분이 아주 어려워 질 수는 없습니다.
수능 미적분 난문의 경우
미분법 단원을 그 자체를
어렵게 출제하는 것에는 한계가 있으므로
미분법의 선행 단원인
집합, 함수에서
어렵게 할 수 밖에 없습니다.
22번으로 다시 돌아가면 ...
정의역 분할의 관점에서
푸른 상자를 해석하면 ...
우선
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) 는 음수
의 조건에서 두 점
(-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4))
을 좌표평면에 표시할 생각을 해야 합니다.
이때,
붉은 상자의 조건을 결합해보면
최고차항의 계수가 양수인 함수 f(x)는
구간 (-1/4, 1/4)에서 감소합니다.
두 점 (-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4))을 찍고 나면
자연스럽게 y절편을 결정해야 하고
(왜냐하면 f(x)는 연속이니까요.)
( 좀 더 자세히 설명하면
(-inf, -1/4), -1/4, (-1/4, 1/4), 1/4, (1/4, inf)
로 구분하고 ...
구간 (-1/4, 1/4)를 다시
(-1/4, 0), 0, (0, 1/4)
로 구분한다.)
이때,
f(0) > 0, f(0) = 0, f(0) < 0
의 세 경우로 나누어야 합니다.
(고1 과정: 실수 a가 주어지면
a>0, a=0, a<0
의 세 경우로 구분하여 생각한다.)
보라 상자에서 주어진 조건에 의하여
(귀류법을 적용하면)
f(0) = 0
임을 알 수 있습니다.
y절편을 결정하였으므로
이제 x절편을 결정하면 됩니다.
도함수 보다 절편을 먼저 생각하는 이유는
교과서에서 다음과 같이 설명하고 있기 때문입니다.
< 교과서 본문 설명 >
다항함수의 그래프의 개형을 그리려면
좌표축과의 교점,
함수의 증가와 감소,
극댓값과 극솟값
등을 알아야 한다.
순서를 보시면 ...
절편이 증감극대극소에 우선함을 알 수 있습니다.
예를 들어 이차 곡선을 그리는 방법을 배울 때,
지나는 점을 여러 개 찍고 나서
부드러운 곡선으로 연결합니다.
(즉, 점 -> 곡선)
이처럼 수능 난문의 경우
점을 먼저 찍고 나서 곡선으로 연결하는 것이
풀이의 시작이 되는 경우가 상당히 많습니다.
이제 x 절편을 결정합니다.
f(0)=0 을 찾고 나서
x=+-1, +-2, +-3, ... 에서의
f(x)의 부호 또는 값을 결정합니다.
이때, 사이값 정리를 이용합니다.
x절편, y절편을 모두 결정하였다면
함수 f(x)의 방정식을 세우고
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) 는 음수
를 만족시키는 경우를 찾는다.
함수 f(x)의 방정식을 결정한 후에
f(8)의 값을 구한다. (끝)
요컨대 ...
함수 f(x)의 그래프의 개형을 그리는 순서는
절편을 찾는다 -> 도함수 -> 그림(수식)
이므로
x절편, y절편을 먼저 찍을 생각을 하지 않았다면
교과서와 (평가원) 기출을
완전히 무시한 풀이가 됩니다.
예를 들어
(미분가능성에 대한 문제를 풀던 관성으로)
f(x)의 그래프와 x축의 위치 관계로
먼저 접근한 분들이라면 ...
한 참을 헤맸을 가능성이 높지요.
이 문제가 참 잘 만든 것이 ...
교과서의 서술 체계
(집합 -> 함수 -> 미분법)
에 대한 이해가 부족하면
헤맬 수 밖에 없습니다.
뭐 ... 많이 들 헤매더라고 ..
.
.
.
이제 이해의 마지막 단계까지 가볼까요 ?
이 문제를
이산과 연속의 관점에서 해석해 보겠습니다.
보라 상자를 다시 쓰면 ...
모든 정수 k에 대하여
f(k-1)f(k+1) >= 0
인 최고차항이 1인 삼차함수 f(x)는 존재한다. (참)
모든 정수 k를 모든 실수 x로 바꾸면 ...
모든 실수 x에 대하여
f(x-1)f(x+1) >= 0
인 최고차항이 1인 삼차함수 f(x)는 존재한다. (거짓)
즉, 보라 상자에서 주어진 성질은
실수 범위에서는 성립하지 않지만
정수 범위에서는 성립합니다.
다시 말하면
연속적인 상황에서는 성립하지 않지만
이산적인 상황에서는 성립합니다.
이에 대한 문제는 작년 9월 공통에서
출제된 적이 있습니다.
보기 ㄷ은
t가 자연수일 때에는 성립하지만
t가 양의 실수이면 성립하지 않습니다.
이처럼 ...
수능에 출제되는 난문의 경우
이산과 연속에서 모두 성립하거나,
이산과 연속 중에서 한 쪽만 성립하는 경우를
종종 출제하고 있습니다.
이산과 연속은
고교 수학의 최종 목표 중의 하나이고,
거의 매해 출제되는 중요 개념 입니다.
뭐 ...
출제자들도
수학적으로 의미 없는 문제를
출제하고 싶지 않을 것이고 ...
이산과 연속에 관련된 명제를
찾기 위해서 혈안이 되었다고 봐야지 ...
배운 사람들은
배운 티를 내거든.
그게 출제자들의 약점이야.
.
.
.
정말 마지막으로 ...
22번은
어떻게 만들었을까 ?
다음의 두 가지 정도가 아닐까 싶은데요.
(1) 특수한 경우 -> 일반적인 경우로 확장
위의 교육청 기출 (나)에서
주어진 부등식은
몇 개의 정수 k에 대하여 성립하는데요.
이를 모든 정수 k에 대하여 로 바꾸었다.
고 생각해 볼 수 있습니다.
즉, 방정식 -> 항등식
으로 바꾸어서 문제를 만든 것이고.
이때, 필연적으로
사차함수에서 삼차함수로 바꾼 것이겠죠.
(2) 이산적인 상황에 삼차함수를 씌웠다 ?
수열 -> 삼차 함수로 즉, 이산 -> 연속으로
바꾸어서 문제를 만들었다.
뭐 .. 이런 가능성도 있어 보입니다.
.
.
.
안정적인 만점을 원하나요 ?
225 이동훈 기출 에서 제시하는
실전 개념과 함께하세요.
ㅎㅍ ~
[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)
2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
고1 평가원 기출문제집
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 고1 수학 PDF 무료 배포
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
화작 45번 버릴까요 16
시간계산해봤는데 시간이너무오래걸리네요
-
아 공부하기 쥰내 싫네
-
의자 높이가 낮아 다리아파서 올렸더니 이러면 책상이 낮아서 자세가 불편해짐
-
ㅈㄱㄴ
-
마무리 6승 중 4승이 류현진 선발경기였다
-
리턴해서 한국약사 할 수 있나요? 아거 개꿀아닌가..
-
안듣고말지 흥
-
3 4월 둘다 두개씩 들어있는데 어따쓰죠 두개씩이나
-
ㅠㅠㅠㅠㅠ
-
이숙연 대법관 후보자 “요즘은 백일 때 금반지 아니고 주식을 사준다” 2
이숙연 대법관 후보자(56·사법연수원 26기)가 25일 국회에서 진행된...
-
'HBM 효과' SK하이닉스, 상반기 성과급 최대치인 150% 지급 5
인공지능(AI) 반도체에 올라타 6년 만에 분기별 5조원대 영업이익을 거둔...
-
우리는 일반적으로 학습을 함에 있어서 '개념'->'기출'->'N제'->'실모'의...
-
ㅈㄱㄴ
-
여성질환 수술한 산부인과에…심평원 "사진 찍어 보내라" 3
[서울=뉴시스] 백영미 기자 = 병·의원의 진료비를 심사하는...
-
씨발 아침부터 코 훌쩍이는 소리냄 한두번이면 이해하는데 소리도 존나 크고 구라안치고...
-
수시 환산 점수 입결? 커트라인? 어디서 볼 수 있나요ㅜㅜ 아무리 찾아도 안...
-
ㅈㄱㄴ 독서 연계 말고 걍 리트 미트 피트 문제
-
저는 ㄱㅊㅂ 밖에 몰라서 텔레 추천도 부탁드립니다.
-
부모님은 굳이 재종을 가야하냐 독재로도 충분하지않냐는 입장이신데 잇올같은 독재가...
-
문제집 추천ㄱㄱ 5
고3인데 미적분 개념 강의만 들은 상태입니다.. 기출전에 유형서 하나 풀려고 하는데...
-
27부터 아예 못풀겠네 7더프 81점 나왔는데 미적 4틀임
-
쪽지주셈
-
3모 98 5모 77 6모 69 7모 91 허허... 성적이 왜 이따구야......
-
지문 해설 + 문제 몇개씩 붙어있는 그런거 없을까요
-
약대 졸업 질문받아드림 19
동생 입시정보 얻으러왔다가 심심해서 약대 관련 검색해봤는데 피트세대들은 이런곳...
-
지방약 학종(기균) 과고 5 초반 뽑아주나요? 지인이 고민중이길래요
-
저도 도전해보려고요
-
큐브 질문하려고 사고과정 정리하다가 혼자 풀어버림..
-
마치 격세지감 또는 상전벽 나형 시절 올 1컷 중경 문 닫고 들어 감 18 수능이긴...
-
계절학기 들을걸 0
후회된다... 방학 네가 날 망쳐놨어
-
?
-
현재 이명학 신택스 완강했습니다 알고리즘도 곧 들어갈거같은데 모의고사를 풀어보니...
-
나형 1등급 6
은 통합수학 백분위 어느정도임?
-
정법런 0
아 맛있누…ㅈㄴ 재밌네 ㅋㅋㅋㅋ
-
입결 어디라인 나올까? 대충 수원에 있다고하면 이원화x 원세 조려는 입결 꽤 낮고...
-
카리나 장원영이 앞에 있어도 미동도 없다. 이상.
-
오늘의 추천곡 0
사클에 오케이션 합본 있는데 그 버전은 더좋음
-
?2025수리논술 대학 43개로 증가 수능전 11월3일 서경대 수능후 11월23일...
-
..
-
STAY TOGETHER 훅만 계속 머릿속에 맴돔... ㄷㄷ
-
생긴건 ㄹㅇ 30댄줄
-
작수 백분위 83이고 반수라 시간이 얼마 안 남은 것 같아서 걱정인데 지금 시작해도...
-
태양 정도의 질량을 가진 별의 주계열 단계에서 수소 껍질 연소가 나타나나요? 아님...
-
.....
-
천만덕 가쥬아
-
연논 채점기준표 5
어디서 보나요?? 연세대 홈페이지 들어가도 기출문제랑 출제의도만 있고 채점기준표는...
-
첫사랑 스카에서 봄 10
5년도 전인데 딱 봐도 알겠다.. 대학은잘갔나 공학용계산기쓰는거봐서는 공대갓나보네
-
이것도 틀딱이냐??
-
닥사문임? 사문 도표풀이같은거도 해야되고 분량 은근많아보여서 걱정임
선7ㅐ추 후감상
기출분석이 여러모로 중요한거 같아요...
수학도 국어처럼 기출로 리턴해봐야겠네요..
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/factbot/08.png)
국어 못지 않게 수학도 기출 분석이 중요합니다. 특히 안정적인 만점을 원하는 분들이라면 더더욱 그렇겠지요.올해 좋은 결과 얻으시길 기원합니다 ! :)
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi_animated/009.gif)
넵 감사합니다