3달 뒤 이과 신입생들을 절망에 빠뜨리게 될 것
극한의 엄밀한 정의 - 엡실론 델타 논법
이공계 대학생들은 1학년 때 빠짐없이 대학 미적분학 수업을 듣게 되는데, 1챕터에 바로 등장하는 엡실론 델타 논법 때문에 많은 수의 학생들이 좌절하게 됨.
첫 단원부터 소개하기엔 논리가 너무 어려운 내용인데
고등학교때처럼 체계적인 인강이 있고 그런 것도 아니라서 더더욱 어렵게 느껴짐(인강이 아예 없는건 아니긴 하지만...)
본인도 처음 공부할 때 유튜브도 찾아보고 블로그도 뒤져기며 이해해보려 했는데 쉽게 설명해주는 글을 찾기가 힘들었고
나중에 이걸 깨우친 이후 엡실론델타 논법 설명하는 글을 시작으로 블로그를 시작하는 계기가 되었음
(구글에 "엡실론 델타" 검색하면 나무위키, 위키피디아 바로 다음에 본인 글이 올라와있음)
개인적으로 나보다 엡실론 델타 논법 쉽게 설명하는 사람 많이 없다고 자부함
각설하고 시작해보자!
고교 미적분학에서 극한에 대해 배웠을텐데 예를 들어
이 식은
y = f(x) = 3x 라는 함수에 대해
x 가 2 에 가까워짐에 따라 도달하게될 '도착지'는 6이라는 의미를 갖는다
근데 f(x)=3x 라는 함수가 2로 갈 때의 도착지가 6이라는 걸 어떻게 증명할 수 있음??
6이 아니라 알고봤더니 6.00000001일 수도 있는거 아님??
??? : x=2를 대입하니까 6 나오잖아!!!
이렇게 대답하는 사람이 있다면
미적분 공부를 처음부터 다시 하길 바람
x=2를 대입해서 극한값이 6이다라고 얘기하는건
극한값 = 함수값이 성립한다고 가정해버리고 펼친 논리인데
극한값 = 함숫값이려면 함수가 연속임을 먼저 증명해야한다.
그럼 연속임을 증명하려면?
1. 그럼 다시 극한값이 수렴하고
2. x=2에서의 함숫값이랑 비교해서 같은지 확인
이렇게 해야하는데
다시 극한이 6임을 보여야하는 순환논리에 빠지게 된다는걸 알 수 있다.
심지어 x=2 에서의 극한값은 x=2에서 함수가 정의가 안되어있더라도 상관없이 다룰 수 있는 계산이라서
더더욱 "x=2 를 대입했더니 6 나오잖아" 는 말도 안되는 얘기라는 것
그럼 어떻게 이걸 증명할 수 있을까?
애초에 '수' 라는건 움직이는 값이 아니라 고정된 값인데
3x라는 함수가 6이라는 목표점을 향해 나아간다는 것을 좀 더 엄밀하게 표현할 방법이 없을까?
이런 생각에서 나온게 엡실론 델타 논법
x=2 에 인접한 값에서 3x랑 6이랑 그 차이가 작게 나야 이런 의미를 살릴 수 있을 것임
이걸 좀 더 정제하면
그 어떤 (3x와 6 사이의) '오차'를 제시하더라도
x=2 근방 범위를 잡아서
그 범위 내에선 항상 3x와 6사이의 차이가 제시한 오차범위 이내에 들도록하는 'x=2 근방의 범위'가 존재하면 된다고 쓸 수 있음
그니까
3x가 만약 진짜 6으로 달려가는 극한이라면
3x와 6 사이의 오차를 100으로 제시하든
10으로 제시하든 0.00000000001로 제시하든
항상 x=2 근방의 값들에서 그 오차범위 내의 함수값만 만들어낼 수 있어야 한다는 말임
더 자세히 얘기하자면
공격자 : 하! 진짜 극한이 6이라고 주장한다고??
그럼 어디 한 번 오차가 1보다 작게 나도록 만드는 x=2 근방의 범위가 존재하는지 제시해보시지??
증명자 : 오차가 1이니까 5~7 사이의 값을 만들면 되겠네
x=2-1/3 이면 f(5/3) = 5 이고
x=2+1/3 이면 f(7/3) = 7 이니까
x 범위를 2플마 1/3 이렇게 잡아봐~ 그럼 3x는 항상 5와 7사이의 값을 가져서 니가 제시한 오차 1 미만으로 만드는 범위가 존재하는거네~~
공격자 : 쳇 근데 0.0001보다 적게 나는 것도 과연 찾을 수 있을까?? 굉장히 작은 오.차.라구? (쿠쿸)
증명자 : (후비적) 찾아보니 2±0.0001/3 의 x 범위에서 니가 원하는 오차 이내의 함수값이 나오네?
패턴을 보아하니 니가 어떤 오차(ε) 를 갖다대든
x = 2±ε/3 이렇게 범위 잡으면 가능하네
이런 느낌
그래서 이 내용을 수학적으로 적으면 이렇게 됨
임의의 ε>0 에 대해
다음 조건을 만족하는 δ>0 이 존재할 때
(조건 : 0<|x-2|<δ 범위의 x에 대해 |3x - 6|<ε 가 항상 성립)
라고 하고 그 반대도 마찬가지이다
그리고 이걸 극한의 정의로 채택했음
이걸 또 설명하자면
ε(엡실론)은 아까 위에서 함수값(3x)과 목표점(6) 사이의
오차를 나타내는 값이라고 얘기했는데
두 수 사이의 거리를 차의 절댓값으로 쓸 수 있으니
|3x - 6|<ε 이렇게 적으면 3x와 6의 거리가 ε미만으로 난다고 표현한 셈
그리고 δ는 위와 비슷하게 x와 2사이의 범위를 만들어내주는 역할이라서 |x-2|<δ 라고 하면 x와 2 사이의 거리가 델타 미만임을 나타내는 식이 됨.
근데 아까 극한은 x=2가 아닌 곳에서 따지는 개념이라 했잖음. 그래서 0<|x-2| 이렇게 앞에 0보다 거리가 크다고 적어줌으로 x=2인 경우는 피해가게 됨
아무튼 결론적으로
공격자가 그 어떤 오차(ε) 를 제시하던간에
증명자가 그 오차 범위 이내에 들게끔 하는 x의 범위를 만드는 δ를 제시하면 된다는 내용이라서
위에서 제시한 극한 설명방법을 식으로 잘 표현한 셈
이제 이 논리대로 위의 극한을 증명해보자.
이 식이 성립함을 보이려면 극한의 정의에 의해
임의의 ε>0에 대해 다음을 만족하는 δ>0가 존재함을 보이면 되는 것이다.
근데 아까 위에서 구했듯이
δ=ε/3이라고 하면 그 어떤 ε을 제시하든 |3x-6|<ε 이게 된다. 왜냐하면
0<|x-2|<δ=ε/3 이니까
--->
|x-2|<ε/3 이고 양변에 3을 곱하면
--->
3|x-2| < 3 × ε/3 = ε, 즉 따라서
|3x-6|<ε 이 되기 때문이다.
δ=ε/3 은 δ가 ε에 대한 함수임을 의미하고
ε>0 범위에서 ε/3는 항상 양의 값으로 존재하는 함수이기 때문에 그 어떤 ε>0을 제시하든 대응하는 δ>0가 존재함을 보여야한다는 조건도 만족한 셈이다.
δ 존재성을 보였으므로 극한의 정의에 의해
위 극한이 6임이 증명이 된 것이다.
https://vegatrash.tistory.com/11
그리고 이 글에선 다양한 엡실론 델타 논법 문제들과 자세한 풀이를 적어놓았는데, 관심 있는 옯붕이들은 같이 공부해보자!
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흠
휴 문과라서 살았다
본인이 고닥교때 입실론 델타를 했으면 7ㅐ추 ㅋㅋㅋㅋ
엡 실론입니다 참고로
입실론이라는 그리스 문자는 따로 있어요
고딩때 심화수학에서 해본거 같음
저거 존잼인데
하존나어렵네
코인이나 하쇼
재밌는 엡실론-델타 논법
엡실론 델타 하
다항식만 해도 한번씩 헷갈릴때 나오는데 초월함수 들어가면...
저거 어느과가면 안 하는지 알려주실분… 참고로 자연계임
문과가시면 됩니다~피할수없어요
경제학과에서도 저정도 수학은…ㅋㅋㅋ
메디컬 ㄱㄱ
좌극한 우극한 ㅈㄴ 그리워짐
어 형은 경영학과야 ㅋㅋㅋ
예체능이라 살았다
이해해버렸어...털썩
한 번에 이해하신거면 천잰데요 ㄷㄷ
털썩에 방점이 ㅠ
진짜 1학년때 이 엡실론 델타가 너무 힘들었던거같아요
문장 자체는 너무 당연하게 보이는데
적용을 하려니 문장을 정확히 이해를 하지 않는 이상 적용하기가 힘든...
오… 흥미롭네요
내가아는엡실론은성균관대수학팀뿐인걸..
메디컬이라 살았다...
수학 안해서 살았다..
이거 어렵죵
이거 수행평가때 써먹었었는데 ㅋㅋㅋㅋㅋ
교차지원해서 살았다..
적당히 작은 h에 대하여 ~
이거 보고 이과 전과 포기했다
저거 ㅈ같아서 이해는 못 하고 풀이 틀만 외우고 숫자만 바꿔가면서 풀었었는데
이게 ㅈㄴ찝찝한게 증명을 마무리해도 계속 순환논리에 빠지는 느낌이 없지않아있음
블로그주소좀,,,
아 마지막에 잇구나
경수할때는 직관적으로 이해하고 넘어갓는데
엄밀히 하면 이리 되네요
성공!
오 감사합니다!
다행히 서울대는 입델을
제가 수학과라 그런지 저희는 오히려 1학년 Calculus 때는 ε-δ를 크게 설명 안하고 넘어가셨더라고요!
해석학에서 ε-δ 논법을 제대로 배우게 되니 혹시나 있으실 수학과 학부생 분들은 참고해주시면 좋을 것 같습니다 ㅎㅎ
학교마다 다른 것 같아요
과 상관없이 다 배우는 학교도 있고
공대는 안하는데 자연계는 하거나
그 반대인 경우도 있고요
아하 ㅎㅎ 저희는 '나중에 해석학, 복소해석학, 위상수학 때 배워요~' 하며 넘어가신 게 많아서 그렇다고 더 느꼈나봐요!
일단개추
가끔씩 추상적 개념은 이해를 했는데도 뭔가 이해를 못 한 것 같은 느낌이 드는...
집합론, 측도론을 제대로 공부 안 해 봐서 그런 걸까요
일차함수는 어떻게 이해했는데 이차함수, 삼각함수 등에 대한 입델 써보는 상황에서 하나도 해내지 못하는 스스로를 바라보며... 수학과에 갈 인재는 아닐 수도 있겠다 싶던 기억이 있습니다
수학과라 죽었다
수학과라서 집합론때 처음 마주했었는데 엡실론 델타 처음에 보고 이야 이건 뭐냐 싶었던ㅋㅋㅋ
f(x)g(x)꼴같은거 증명하는게 ㄹㅇ 빡세던데
휴 공대가 아니라 살았다
요새 이거 안하는곳 많음. Ex) 성대 경희대 아주대 등. 수학과에서나 필요하다고 생각되서 그런지.. 그 수학과에서도 해석학에서 배우나? 그래서...
수학과는 어느 대학이든 해석학에서 배웁니다.
ㄹㅇ 대체 왜 이걸 먼저 박고 시작하는거임???
서울대 문과분들은 교양 중에 인문계를 위한 수학1 수강하시면 제대로 배우실 수 있으니 ㄱㄱ 꿀잼 보장
한창 날씨좋고 벚꽃필때 들어서 이상하게 공부하면 그때 생각이 나는 새끼..
공대 아니라 살앗다
근데 여담이긴한데 서울대에서는 1학년때 저거 안나오기는 합니다
이제 2학년이면 어떡해요 (ㅅㅂ)
해석개론 아니면 저거 할 일 없을걸요
교차쓸걸
학과 이름이 공학으로 끝나면 저거 배워야하나요?ㅠㅠ
이거 우리 안한다던데
무슨소린지 하나도 모르겠으면 개추ㅋㅋㅋㅋㅋ
아 즐거운 수학1의 추억이여
뭐라는거에요?
어 형은 자연대지만 미적분학을 안들었어
ㅋㅋㅋㅋ 개오랜만이다 이거 처음 설명듣고 멘붕에 빠졌는ㄴ뎈ㅋㅋㅋ
칼큘러스 ptsd 오네
프셋 문제풀이만 달달 외워서 맞음ㅋㅋ 이해하기를 포기한..
저거 끝내면 스톡정리 그린정리가 나중에 반기러 올거에용~
좆됐다 기하러는 진짜 대학가도 문제네
이거보고 삼수는 미적으로 가기로 결심했다.
시립대는 미적분학1 때 이거 안배우는데ㅎㅎㅎㅎ
이런 내용이 관심있으면
해석학 (고미) 를 수강신청하시면 됩니다.
제발
교양으로 미적분학 한 번 들어봤는데
의대 오길 잘했음….
엥 이거 그냥 넘어가지않음?
대부분 미분적분학에선 그냥 이런게 있다 정도로만 하고 넘어갈텐데..
공대생이면 졸업할때까지 저거 엄밀하게 배울일 없지않나
Ptsd오네 ㄹㅇㅋㅋ 교차하길잘했다
지금 수2 공부하는 입장에서 재밌네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
대1때 사실 저거 엄밀하게 안 배우긴 함
설령 엄밀하게 배운다 치더라도 딱히 1학년 때 배우는 벡터미적분에서 저걸 엄밀하게 써먹을 구석이 없음
있긴 있어요
이 문제 풀 때 무한극한의 엡델 논법에서 다루는 논리가 쓰입니다
어라 안 하고 넘어간 듯
이거 약간 배워도 찝찝해하는사람많길래 몇자 적고가요
정확한건 아닌데 나름 스스로 납득?시킨 팁을몇개 쓰면 위에처럼 6.0001로 향해가는거아님? 할때 6+-0.00000001사이의 값'만'나오게 하는 2근방의 범위를 잡아버리면 방금잡은 2근방의범위에서 6.0001은 나오지 않게되벌임 따라서 6.0001로 향해가지는 않는다는걸 알게될거임 이런식으로 매번따지면 6이아닌 다른숫자로 향해가는거 아니냐는 주장은 죄다 이런식으로 반박되버림 ㅇㅇ 그냥 대충 일케 생각하면서 납득했는데 딱히 정확한건아니니깐 나중에라도 이거보면 참고만
그리고 이차함수 대칭점같은데서 헷갈리는 친구도 몇번봐서 적자면 6+- 오차내의 함숫값만 만들어내는 2근방을 잡는거지 그 2근방에서 6+-오차내의 모든수를 나오게 할필욘없음
그냥 그 잡은 2근방에서 만들어내는 함숫값이 6+-오차 범위내이기만하면됨