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켈투자드 [1141572] · MS 2022 · 쪽지

2024-01-02 04:24:18
조회수 2,356

1/x 의 부정적분이 ln(|x|)+C 인 것에 대해

게시글 주소: https://image.orbi.kr/00066314357

정리 1) 미분해서 0이 되는 함수는 그 미분가능한 구간 내에서 상수함수임.


정리 2) 도함수가 같은 두 함수는 그 구간 내에서 오직 상수만큼만 차이난다.


이 두 정리의 증명은 저 아래에 있고 용어 하나 설명하자면


역도함수 : F' = f 일 때 F는 f의 역도함수라고 정의한다.

그리고 부정적분은 대상 함수의 역도함수의 일반적인 꼴을 알려주는 표현인 것.

그래서 결과로써 뒤에 상수 C가 붙음.


정리 2)의 결과로 무엇을 알 수 있냐면

어떤 함수의 역도함수는 꼴이 유일하다는 것임.

예를 들어 미분해서 2x가 나오게 하는 함수는

x² 꼴이 유일하고 기껏해야 여기 상수가 붙을 뿐이라는 것.


생각해보셈. 미분해서 2x가 나오는 함수가 x²+C 인거 말고 다른 형태의 함수가 없다는걸 어떻게 장담함? 이걸 장담할 수 있게 해주는게 정리 2)의 역할



------------------------------------------------------------

자 이제 시작


ln(x) 는 x>0에서 정의된 함수이고 미분가능하며

그 도함수는 1/x 이다. 

즉, x>0에서 1/x의 역도함수는 ln(x)인 것이다


ln(-x) 는 ln(x)와 -x의 합성함수라 볼 수 있다.

ln(x) 정의상 합성된 함수인 -x가 양의 값을 가져야 정의되므로 -x>0 ---> x<0. 즉, ln(-x)는 x<0에서 정의된 함수이다.

그리고 연쇄법칙을 적용하여 도함수를 계산해보면

{ln(-x)}' = 1/(-x) • (-1) = 1/x 이므로 

이것 역시 도함수가 1/x이다.


어라 그럼 1/x의 역도함수가 ln(-x)도 되는거임??

--> ㅇㅇ 근데 정확히는 x<0 일 때 1/x의 역도함수가 ln(-x)인거고

x>0 일 때는 위에서 구한 것 처럼 역도함수는 ln(x) 임



그럼 부호는 모르고 그냥 1/x 이렇게 주어져있는데 역도함수를 물어보면 어캄??

--> x>0 일 땐 ln(x), x<0일 땐 ln(-x)가 되었는데 

양수일 땐 부호 그대로, 음수일 땐 마이너스 붙이는게 뭐가 있음? 절댓값이 하는 역할이 바로 그거잖음

그래서 x 부호 없이 그냥 1/x가 주어지고 역도함수를 물어본다면 ln(|x|) 라고 하면 되는 것임.


아까 위에서 부정적분은 대상 함수의 가장 일반적인 역도함수 꼴을 묻는 것이라고 했잖음?

그래서 1/x 의 부정적분이 ln(|x|) + C 인 것.

근데 정리 2) 를 자세히 봐야 함.

"그 구간 내에서" 이 대목 때문에, 위의 C는 전 구간에서 모두 같은 값인게 아니라

x>0 일 때 이 범위 내에서 상수로써 일정하고

x<0 일 때 이 범위 내에서 따로 상수로써 일정한 것

둘이 같은 값을 가지지 않는다는 보장은 없지만, 적어도 항상 같은 건 아니란것임


1/x 의 부정적분이 ln(|x|)+C 로 같은 형태로 우연히 묶였다 뿐이지 사실상 x>0일때 1/x랑 x<0일 때 1/x랑 다른 함수 취급해서 보는게 맞음.





끝





아래는 정리의 증명들






정리 1) 미분해서 0이 되는 함수는 상수함수이다

-->

f가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분가능하다고 하자. 

(양 끝점이 미분가능해도 상관없지만, 포함 안시켜도 상관없는 정리를 이용하기 때문에 더 강한 조건을 택하기 위해 양 끝점 미분가능성 언급은 뺌)


x를 [a, b] 에 속하는 값이라 하자.

평균값 정리에 의해 다음 식을 만족하는 c가 (a, x)에 존재함

{f(x) - f(a)} / (x-a) = f'(c)

이 때, 조건에 의해 f'(c)=0 이므로 식을 정리하면

f(x) = f(a)를 얻음. x는 구간 내의 임의의 값이였으므로

구간 내의 모든 함수값은 f(a)랑 동일함을 의미하고

[a, b] 구간에서는 상수함수 형태를 갖음을 의미함. ■




정리 2) 도함수가 같은 두 함수는 그 구간 내에서 오직 상수만큼만 차이난다.

-->

미분가능한 두 함수 f, g가 구간 I에서 f' = g' 가 성립한다고 하자.

F(x) = f(x) - g(x) 라 정의하면

F'(x) = f'-g' 이고 조건에 의해 F'=0임.

위에서 증명한 정리 1)에 의해 F는 구간 I에서 상수함수이고

이 값이 C라고 하자. 그러면 구간 I 에서 F(x)=C

따라서 f-g = C ---> f(x) = g(x) + C ■


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