자연수가 아닌 분수를 두 번 제곱해 자연수가 되는 것이
가능한가?
불가능한거 같아 직관적으로
분수는 곧 무한소수건 유한소수건 소수이며
소수를 두번 제곱해서 자연수가 나오는 건 상상이 잘 안가는데
누구 이거 수학적으로 증명 해 줄 수 있는 사람?
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q/p(서로소 자연수)라고 할때 제곱을 아무리 해도 p,q가 가지는 소인수는 변하지 않아서 서로소 상태로 남게 되기 때문이라고 생각합니다
생각해보니까 분모 분자가 자연수일때만 있는게 아니네...
아니요
지금은 제 능력으로 이해가 어렵지만
많은 도움이 되었습니다
두고 두고 보면서 약간이나마 이해하고 싶네요
완벽한 지식은 아닐지라도 큰 도움이 되겠지요
감사합니다.
예를들면 3/2라 하면
1+1/2로 생각하고 제곱시켜서 완전제곱식 형태로보면
1^2+2×1×1/2+(1/2)^2이 되기때문에 항상 자연수+분수(자연수가될수도있긴함)+분수여서 항상 자연수+분수꼴이기때문에 분수를 제곱해도 자연수가될수는없죠
무리수라든지 허수라든지 같은 부분까지는 저도 잘모르겠네요
신박하고 창의적인 증명입니다!!
아직 100% 확신은 못하지만 99%정도 해결된 것 같습니다! 감사합니다..
q/p(p,q는 서로소인 자연수이다.)
이때 제곱한수를 자연수라고 가정해보자.
q²/p²=k(k는 자연수)
이면 q=루트k×p이다.
이때 두가지의 경우로 나눌수있다.
1) k는 자연수의 제곱수다.
q와 p는 서로소가 아니므로 모순이다.
2) k는 자연수의 제곱수가 아니다.
루트k는 무리수이므로 q도 무리수여야한다.
그러나 q는 자연수이므로 이는 모순이다
이렇게 분모 분자를 서로소인 자연수로 두면 증명 가능한데 무리수가 들어가면 다를수도 있겠네요
1) 분모분자가 모두 무리수(서로 약분 안됨)
(p/q)²=p²/q²=k라 하면(k는 자연수)
p=q루트k이므로 서로 약분이 되어 모순이다.
2) 분모가 무리수, 분자는 자연수(서로 약분 안됨)
(p/q)²=p²/q²=k라 하면(k는 자연수)
p=루트k×q이므로 서로 약분이 되어 모순이다.
3)분자가 무리수 분모는 자연수
(p/q)²=k라 하면(k는 자연수)
p=루트k×q 이므로 마찬가지로 약분이 되어 모순이다.
따라서 모든 분수에 대하여 제곱수는 자연수가 될수없다. (맞는지는 모르겠네요)
자연수가 아닌 유리수를 제곱한 것은 자연수가 아닙니다.
한편 ‘분수’의 경우에는, 따지자면 루트(2)/1도 분수이므로 자연수가 아닌 분수를 제곱해도 자연수가 될 수 있습니다.