1. 상황이 복잡해보이므로 t=-3 정도로 예시를 들어보자. 분모가 0으로 갈 때 전체 극한이 수렴하려면 분자도 0으로 가야하므로 f(-3)=-27임을 알 수 있다.
이후 식을 정리해보면 x->-3+일 때와 x->-3-일 때 모두 극한은 무한대로 발산할 것임을 알 수 있다. 다만 이차함수 f'(x)가 x=-3에서 극값을 갖는 것이 아니라면 두 극한은 같은 부호로 발산한다. 예를 들어 f'(x)가 x=p에서 극값을 갖고 -3>p라면 둘 모두 양의 무한대로 발산할 것이다.
그런데 주어진 극한은 t=1일 때만 양의 무한대로 발산한다 하였으므로 이렇게 되면 모순이다. 따라서 상황이 성립하려면 p>-3이 되어야 한다.
또는 전체 극한이 발산하는 상황을 생각해볼 수 있다. f(-3)이 -27만 아니면 분자는 부호 변동이 발생하지 않으므로 분모의 f'(x)-f'(-3)에서만 부호 변동이 발생할 것이다. 따라서 양의 무한대로 발산할 수 없다. 만약 f'(x)이 x=-3에서 극값을 갖는다면 f(-3)이 -27보다 큰 값을 가져야 조건을 만족할 것임을 확인할 수 있다.
2. t=0 정도로 예시를 들어보자. f(0)은 어차피 상수이므로 분모의 f'(x)-f'(-3)의 부호만 신경쓰면 되는데 2p+3과 0의 대소 관계에 따라 f(0)의 부호도 영향을 받는다. 만약 2p+3<0이라면 f(0)=0 혹은 f(0)>0이어야 하고 만약 2p+3>0이라면 f(0)=0 혹은 f(0)<0이어야 함을 알 수 있다. 그렇게 의미있는 정보는 아닌 것 같다.
3. t=2 정도로 예시를 들어보자. f(2)=8이라면 f'(2)=f'(-3)만 아니면 우극한과 좌극한은 각각 수렴하지만 두 값이 일치하지 않아 전체 극한은 발산할 것이다.
f(2)=8이 아니라면 앞의 상황과 마찬가지로 f'(2)-f'(-3)의 부호와 f(2)와 8의 대소관계를 엮어 생각해야할 것이다.
4. 이제 t=1일 때를 생각해보자. 극한은 양의 무한대로 발산해야하고 양의 무한대로 발산하는 '유일한' 경우여야 한다. 만약 f(1)이 1이 아니라면 마찬가지로 f'(1)-f'(-3)의 부호에 따라 대소관계에 영향을 받을 것이다. f'(1)-f'(-3)>0이라면 f(1)<1이어야, f'(1)-f'(-3)<0이라면 f(1)>1이어야 상황을 만족한다.
근데 대충 특수한 상황이지 않겠는가, 그럼 왠지 f'(1)=f'(-3)일 것이고 f(1)=1일 것이다... 아닌 것 같다
1. 상황이 복잡해보이므로 t=-3 정도로 예시를 들어보자. 분모가 0으로 갈 때 전체 극한이 수렴하려면 분자도 0으로 가야하므로 f(-3)=-27임을 알 수 있다.
이후 식을 정리해보면 x->-3+일 때와 x->-3-일 때 모두 극한은 무한대로 발산할 것임을 알 수 있다. 다만 이차함수 f'(x)가 x=-3에서 극값을 갖는 것이 아니라면 두 극한은 같은 부호로 발산한다. 예를 들어 f'(x)가 x=p에서 극값을 갖고 -3>p라면 둘 모두 양의 무한대로 발산할 것이다.
그런데 주어진 극한은 t=1일 때만 양의 무한대로 발산한다 하였으므로 이렇게 되면 모순이다. 따라서 상황이 성립하려면 p>-3이 되어야 한다.
또는 전체 극한이 발산하는 상황을 생각해볼 수 있다. f(-3)이 -27만 아니면 분자는 부호 변동이 발생하지 않으므로 분모의 f'(x)-f'(-3)에서만 부호 변동이 발생할 것이다. 따라서 양의 무한대로 발산할 수 없다. 만약 f'(x)이 x=-3에서 극값을 갖는다면 f(-3)이 -27보다 큰 값을 가져야 조건을 만족할 것임을 확인할 수 있다.
2. t=0 정도로 예시를 들어보자. f(0)은 어차피 상수이므로 분모의 f'(x)-f'(-3)의 부호만 신경쓰면 되는데 2p+3과 0의 대소 관계에 따라 f(0)의 부호도 영향을 받는다. 만약 2p+3<0이라면 f(0)=0 혹은 f(0)>0이어야 하고 만약 2p+3>0이라면 f(0)=0 혹은 f(0)<0이어야 함을 알 수 있다. 그렇게 의미있는 정보는 아닌 것 같다.
3. t=2 정도로 예시를 들어보자. f(2)=8이라면 f'(2)=f'(-3)만 아니면 우극한과 좌극한은 각각 수렴하지만 두 값이 일치하지 않아 전체 극한은 발산할 것이다.
f(2)=8이 아니라면 앞의 상황과 마찬가지로 f'(2)-f'(-3)의 부호와 f(2)와 8의 대소관계를 엮어 생각해야할 것이다.
4. 이제 t=1일 때를 생각해보자. 극한은 양의 무한대로 발산해야하고 양의 무한대로 발산하는 '유일한' 경우여야 한다. 만약 f(1)이 1이 아니라면 마찬가지로 f'(1)-f'(-3)의 부호에 따라 대소관계에 영향을 받을 것이다. f'(1)-f'(-3)>0이라면 f(1)<1이어야, f'(1)-f'(-3)<0이라면 f(1)>1이어야 상황을 만족한다.
근데 대충 특수한 상황이지 않겠는가, 그럼 왠지 f'(1)=f'(-3)일 것이고 f(1)=1일 것이다... 아닌 것 같다
어렵네요 ㅋㅋㅋㅋ 나중에 다시 고민해보겠습니다
t=-3일때 극한값이 존재한다? 라기 보단 t=-3일때는 '양의 무한대로 발산하지 않는다' 로 생각하면 풀 수 있습니다!
음의 무한대로 발산하는 경우도 있으니까요ㄷㄷ
1?
아닙니다ㅠ