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보성전문학교 [882084] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2023-07-09 13:51:54
조회수 4,873

최소제곱법과 요즘 쓰고있는 논문

게시글 주소: https://image.orbi.kr/00063695527

계량경제학쪽 논문인데

대개 계량경제학이나 통계 이론 논문들은


1. 모형(데이터가 생성되는 과정)을 세우고


2. 그 모형을 추정하는 방법을 세우고 


3. 그 방법이 모형을 잘 추정함을 보이는 경우가 많습니다


제가 지금 쓰고 있는 논문은 1. 2.는 이미 높으신 학자 분이 쓰셨는데 3.이 제대로 안 밝혀져서 이를 밝혀 보자는 내용인데


추정 방법은 최소제곱법이 아니지만 그와 관련이 있어 소개해보자면(수능에도 나왔다길래)


y = bX + e라는 모형을 일반화해서


y = b1X + e 이다가 어느 시점 이후로는 y = b2X + e를 가지는 모형을 생각해보면 (ex - y가 gdp 성장률인데 갑자기 뚝 떨어지는 경우) (이를 ‘구조변화’라 합니다)


(그림 예시... 수능 지문 그것이 가운데가 뚝 떨어져 있는 차이)


추정해야 할 것은 b1, b2와 “어느 시점”인데 최소제곱법의 원리를 확장시키자면


1) "어느 시점“의 후보를 임의로 고정하고 오차항의 제곱을 최소화하는 b1, b2를 찾고


2)  ”어느 시점“의 후보들 중에서 오차항의 제곱을 최소화하는 시점이 ”어느 시점“에 대한 추정치로 정해보자

라는 모형을 추정하는 방법(2.)를 세울 수 있는데


이게 실제 그 시점을 잘 추정하는지를 보이는 작업이 필요한데, 여기서 등장하는게 대수의 법칙과 중심극한정리 입니다.

두 정리를 이용해서 보통 데이터가 충분히 주어지면 그 근처로 잘 수렴한다를 보입니다.


밑에는 그 시뮬레이션 결과인데 두번째 그림이 극한값(수식으로 구한 값)이고 세번째가 오차의 제곱합 (나누기 샘플 사이즈) 입니다. 오차의 제곱합이 어떤 극한값으로 잘 수렴하고 이 극한값을 극소화 시키는게 실제 “어느 시점”임으로, 오차의 제곱합을 극소화 시키는 “어느 시점”의 후보가 실제 어느 시점으로 수렴한다는 게 결국 3.을 보이는 거라 할 수 있죠.


그냥 오차제곱합 갖고놀다가 그림도 이쁘고 문득 생각나서 주저리주저리...




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