230615의 엄밀한 눈풀
안녕하세요, 오늘은 수열에 대한 글이나 써 보려고 하는데요, 23학년도 6월 15번 문제를 간단하게 바로 풀 수 있는 법입니다. 제가 이 문제를 보고 떠올리고도 감탄했었는데, 바로 알려드리도록 하겠습니다.
여기서 수열 an을 살펴 보면 초항이 0이므로 위의 식을 따라갈 것이고, 그 다음에는 아래의 식을 따라가게 됩니다.
그런데 이때 a2 의 값은 k와 무관하게 양수가 된다는 사실을 알 수 있습니다. 그리고 다시 a3은 음수가 되죠.
그렇다면 a2k+2=0이 되고, (2k+1)이 주기임을 알 수 있습니다. 왜 이것이 성립할까요?
저 문제에서 끄집어내기 쉬운 강한 조건이 하나 있습니다. k와 k+1이 서로소라는 것입니다. 이 사실로 인해 1/(k+1)을 (k+1)번, 1/k를 k번 더했을 때가 최초로 0으로 회귀하는 지점이라는 것을 알 수 있습니다.(필요충분조건은 아니긴 합니다.) 이 정도를 머릿속으로 생각해 냈다면 눈풀로도 엄밀한 풀이를 할 수 있습니다! 이미 아시는 분들이 많은지는 잘 모르겠네요.
제가 만든 자작문제입니다. 다른 요소를 건드려서 더 까다롭게 만들고 싶기도 했지만 그냥 뒀어요. 풀어 보실 분은 풀어 보시기 바랍니다!
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a_2가 음수이기 때문에 a_3 = 1/(k+1) - 1/k = 1/k(k+1)으로 양수가 됩니다.
a_4는 다시 1/k(k+1) - 1/k이므로 음수가 되고, a_5 = 2/k(k+1)이 되는 식의 반복이죠.
따라서 부호가 번갈아 나오므로 (2k+1)이 주기가 됩니다.
a1 = 0, a2 = 1/(k+1), a3 = 1/(k+1) - 1/(k) = -1/(k)(k+1) 아닌가요??(진짜 모름)
아 부호 반대로 썼네요 양수 음수가 번갈아 나온다는 의미였습니다
저도 오타인거 같긴했는데 진짜 혹시나 제가 놓치고 있는게 있을까봐 질문드렸습니다 감사합니다!
21?
뒤에 뭐가 더 있어요!20! 맞나요?
아까 푼 풀이를 잃어버려서 다시 풀었는데 답이 다르게 나오네요 머지a
가능한 수열의 주기를 먼저 구하면 답은 더 크게 나올 거예요
혹시 이건혹시 주기가 몇으로 나온 걸까요?