2023학년도 수능 22번 논리적 풀이 (ft. 합성함수 자작 문제)
작년 수능 22번에서 x=1이 f(x)가 극대일 때보다 작은 곳에 있다고 가정하고, 거기를 (1, f(1))로 잡고 이제 (x, f(x))와 비교해서 g(x)를 생각하는 과정이 발상적이라고 느껴서 4개월째 떠오를 때마다 고민을 해봤습니다.
강사 여섯 분 정도의 설명을 확인해봤는데 전부 시작을 y=f(x)가 x=c에서 극대라 할 때 1<c로 가정하고 상황을 접근하시는 것 같더라고요. 어떻게 하면 이 과정 없이 문제를 접근할 수 있을까 하다 아래와 같은 생각을 해봤습니다.
(가) 조건에서 [f(x)-f(1)]/(x-1)=f'(g(x))로 식 잡고 나면 (이 정도는 평가원 기출 문항으로부터 학습할 수 있는 충분한 필연성이라 생각) g(x)가 연속이니까 양변에 x->1 해볼 생각을 할 수 있죠
그러면 f'(1)=f'(g(1))로부터 g(1)=1 이거나 f(x)의 변곡점의 x좌표가 [1+g(1)]/2이고 1<g(1)이거나 1>g(1). 이렇게 세 가지 경우가 나오는데
여기서 (나) 조건 써주면 g(1)=1 안되고 1>g(1) 안되니까 변곡점의 x좌표가 [1+g(1)]/2이고 g(1)>1인 상황으로 결정되죠
그럼 y=f'(x)의 그래프와 적당한 두 교점을 갖는 y=k를 그려보면 교점의 x좌표가 더 작은 쪽이 1, 큰 쪽이 g(1)이니 이제 대충 변곡점보다 왼쪽 아무곳에 x=1을 두고 생각을 해봅시다
그럼 (1, f(1)) 고정해두고 (x, f(x))를 x->inf일 때부터 점점 x=1로 가깝게 가져와보면 (1, f(1))에서 변곡점 오른쪽 어딘가에 f(x)의 접선을 그었을 때 그때가 [f(x)-f(1)]/(x-1)이 최솟값을 지닐 때임을 알 수 있죠
천천히 생각을 해보면 (1, f(1))에서 f(x)에 그은 접선의 접점의 x좌표가 아닌 x에 대해서 [f(x)-f(1)]/(x-1)을 생각해보면 해당 접선의 기울기보다 항상 큰 값을 가질 것임을 기하적으로 파악할 수 있습니다.
그럼 [f(x)-f(1)]/(x-1)이 예를 들어 x=a에서 최소인 상황인데 다시 말해 f'(g(x))도 x=a에서 최소인 상황이겠죠. 이때 g(x)가 연속이니까 x->inf에서 점점 x=1로 오다가 지나서 x->-inf로 가는 상황을 생각해보면 g(x)가 변곡점 오른쪽의 어딘가까지 왔다가 다시 증가해야함을 알 수 있습니다.
다시 말해 g(x)는 x->inf에서 x->-inf로 갈 때 g(x)->inf에서 g(x)=어디까지 왔다가 g(x)->inf로 갈 것이라는 거죠. 근데 (나) 조건에서 g(x)의 죄솟값이 5/2라 했으니까 이 어디에 해당하는 것이 x=5/2일 것입니다.
정리하면 (1, f(1))에서 f(x)에 그은 접선의 점점의 x좌표가 5/2라는 것이죠. 그럼 이제 비율관계에 의해 (증명은 교과과정 내로 가능한, 대중적인 실전 개념이니) 변곡점의 x좌표가 2로 결정되고 g(1)=3이 될 것입니다.
그럼 (다) 조건에 f(0) 조건을 활용하면 f(x)=x^3+px^2+qx-2로 작성해볼 수가 있고 변곡점의 x좌표가 x=2임을 통해 p값을 결정할 수 있고 f(g(1))=f(3)=6을 통해 q값도 결정할 수가 있겠죠
강사 분들 풀이 보면 웬만해서는 다 (1, f(1))을 대충 잡고 시작하거나 ebsi 해설 보니 웬 수식으로 복잡하게 풀어놨길래 '어떻게 자연스럽고 깔끔한 논리로 설명할 수가 있을까' 했는데 어제 오늘 열심히 고민해본 결과 4개월만에 풀 수 있었네요 ㅋㅋㅋㅋ
<요약>
작수 22번은 아래의 두 가지를 쓰면 된다.
1. 순간변화율과 평균변화율이 같이 보일 때는 평균값 정리를 통해 이 둘을 연관지을 수 있다.
2. 정보를 알지 못하는 함수를 파악할 때는 x->inf에서 x->-inf로 가는 생각을 해보면 좋다. (이는 발상적이라고 생각하지는 않는 게, 이미 교과서나 평가원 기출 문항에서도 함수 파악할 때 정의역 끝(?)에서의 극한을 조사해보라고 말하고 있기 때문에)
p.s. (가) 조건을 식 변형하지 않고 바라보면 g(x)만 1이면 f(x)의 (1, f(1))에서의 접선과 f(x)가 항상 일치한다는 항등식으로 생각해볼 수 있죠. 다시 말해 방정식 f(x)=f(1)+(x-1)f'(1)로 생각을 해보면 이는 직선과 어떤 함수의 교점을 조사하는 것과도 같기 때문에 문제의 핵심이 어떤 곡선과 직선의 교점을 파악하는 데에 있을 수 있다고 생각할 수 있습니다. 실제로 식 변형해서 g(x)를 파악하는 과정이 어떤 직선의 기울기와 같은 기울기를 갖는 접선의 x좌표를 잡아가는 과정이죠
p.s.2 수능 끝나고 오르비에 어떤 분이 '(다) 조건에 g(1)값을 준 것도 계산량을 줄이려는 평가원의 전형적인 시도다'라고 말씀하셨던 것이 기억나는데 실제로 문제 풀어보니 g(1)이 (가) 조건에서 중요한 단서로 나오기 때문에 f(g(3)) 이럴 때와 달리 바로 g(1)값을 찾아 f(x)에 관한 하나의 정보로 활용할 수 있게 출제했구나 느낍니다.
p.s.3 지금까지의 기출, 특히 통합 수능이 된 2022학년도와 2023학년도에서는 (이전 기출은 저도 공부 안한 게 많아서) 두 함수를 주고 합성해서 그 함수를 파악하는 것은 줬어도 합성할 두 함수 중 한 쪽을 숨기고 그것을 파악하라는 문항은 처음 출제된 것 같습니다. (230329 수정합니다, 찾아보니 많았습니다 ㅋㅋ 다만 평균변화율 함수 자체를 묻는 것은, 다시 말해 미적분 킬러 문항 중에 기울기 함수라는 용어가 (아마도) 처음 등장한 2017학년도 수능 가형 30번 이후로 공통에는 처음인 듯합니다) 선택과목 포지션 문항의 상대적 난이도가 과거에 비해 내려가고 공통과목 문항, 특히 수2 난이도 올라가고 있다고 볼 수 있는 것을 생각해볼 때 합성함수는 꼭 공부할 필요가 있는 소재구나 싶습니다. 물론 n축 그런 거 없이 그냥 수학(하)에서 학습했던 증가 감소로 합성함수 그래프 파악하는 방식이면 충분할 것 같고 이번 3월 모의고사 13번에 합성함수가 주어졌다고 n축 써서 푸는 분들도 있던데 그건 그냥 합성방정식으로 해석하시면 충분합니다. 2023학년도 수능 22번처럼 합성'함수' 자체의 특성을 파악한다기보다는 그냥 2022학년도 6월 22번처럼 차분하게 case 분류해서 합성방정식을 풀어봐라..로 출제한 것이 아닌가 (참고로 아래는 23 3모 13번)
언급했으니 2022학년도 6월 22번도 남겨두겠습니다, 아래 문항입니다.
참고로 (나) 조건에 y=f(x-f(x))를 해석하면 이것은 9차함수인 셈인데 이때 영감 받아 만들었던 12차함수 문항도 남겨두겠습니다. 물론 얘는 22번이라 생각하긴 했는데 엄밀히 생각하려면 합성함수 미분법을 알아야해서 미적분 문항이어야 하긴 합니다.
p.s.4 2017학년도 수능 가형 30번이 아마 '기울기 함수'라는 말이 처음 나왔던 문항 같습니다. 결국 231122도 1711가30처럼 기울기 함수, 즉 평균변화율의 상태를 파악하는 것이 핵심이었기 때문에 이제 보니 합성함수 문항보다는 평균변화율 킬러 문항으로 분류하는 것이 더 적절하려나 싶은 생각이 듭니다. 신기하게도 1711나30을 보면 f'(g(x))라는 형태 자체는 똑같이 나오는데 문제 풀이는 거의 다릅니다. 정석 풀이는 g(x)를 직접 f'(x)에 대입하여 계산해 상황을 정리하는 것인데... 물론 이것도 f'(g(x))를 직접 떠올려 문항을 해결하신 분들도 있다고 들었습니다. 이렇게 보니
[1711가30에서 기울기 함수 아이디어를 갖고 1711나30에서 f'(g(x)) 아이디어를 섞어 231122를 만들었다]
... 뭔가 그럴싸한 설명 아닌가요? ㅋㅋ
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첨언하자면 (가)에서 x->1 통해 바로 g(x) 파악을 시작할 수 있다고 생각하긴 하는데 [f(x)-f(1)]/(x-1)에서 평균값 정리를 통해 (가) 조건을 f'(c)=f'(g(x))로 잡아주면 훨씬 엄밀하게 바라볼 수도 있죠. 이때 c는 x와 1의 대소관계에 상관없이 x와 1 사이의 어느 값일테고요. 여기서 연속 조건과 (나) 조건 활용해주면 g(x)가 f(x)의 변곡점의 x좌표보다 큰 쪽에서만 놀아야한다는 것을 알 수 있고 그럼 본문에 g(x)가 x->inf에서 x->-inf로 갈 때 inf에서 와서 어디 찍고 다시 inf로 간다고 생각할 수 있다.. 부분으로 갈 수 있습니다.
이 x->-inf에서 x->inf 갈 때와 같은 논리과정은 미적분 기출문항에서 합성함수 개형 추론하다보면 자연스레 하게 되는 부분인데 수학(하)에서 합성함수 처음 공부할 때 증가 감소를 통해 개형 파악하는 것과 같은 논리입니다. 제가 합성함수 문항 접근할 때 n축을 배우지 않고도 충분하다 얘기하는 이유이기도 합니다. 합성한 함수와 합성된 함수의 (안은 문장과 안긴 문장의 <- 느낌) 증가 감소를 파악하면 된다..!
자작 문항에 (가) 조건은 생명과학II에서 샤가프의 법칙이라는 것을 이용해 특정 DNA 구간의 염기 비율을 추론하는 문항 종류가 있는데 그거 공부하다가 x/y=a/b 꼴 조건이 자주 보이길래 '나도 수학 문항 만들 때 비율을 조건으로 제시해서 case 분류하게 해봐야겠다' 하는 마음으로 만들었던 것 같습니다. 물론 (n, m)=(3, 4)말고 (6, 8)로 넘어가는 순간 어떻게 상황을 잡아도 (6, 8)일 수가 없기 때문에.. 바로 (3, 4)임을 파악할 수 있긴 하죠
좋은 글 잘 읽었습니다! 말씀해주신대로 샤가프, 집단 유전, 화학 양론에서도 많이 쓰이는 관점이지요/-/
집단 유전이 하디-바인베르크 그거 맞나요? 그거도 (p+q)^2 활용해서 대충 비율로 찍어 풀었던 기억이 있네요 ㅋㅋㅋㅋ 양적 관계는 제가 화학이랑 별로 친하지 않아 잘 모르겠지만 대충 비슷한 풀이를 봤던 것 같습니다. 읽어주셔서 감사합니다!
좋은 풀이 잘봤습니다 저도 해강듣고 당황스러웠는데 이런 원리였군요 좋은 아이디어 감사합니다!!
감사합니다! 정리해보면 이런 거죠
1. 연속이면 lim 통해 함숫값을 알 수 있다...와 [f(x)-f(a)]/(x-a) 꼴에서 x->a 취해보는 것이 미분계수의 정의도 떠오르고 평가원 기출 문항으로부터도 익숙하다...에서 x->1 통해 우선 세 가지 상황을 파악해두고. 이제 g(1)>=2.5로부터 상황 하나로 정한 다음에 그래프 그려 생각해보자
2. 그래프 개형 추론할 때 x->-inf에서 x->inf 쓰듯 g(inf)에서 g(-inf)로의 변화를 생각해보니 (1, f(1))에서 f(x)에 그은 접선의 (x=/1이어야 변형한 식이 성립하니 (1, f(1))에서의 접선 자체는 고려 x) 기울기가 f'(g(x)) 값의 최솟값. 그러니 g(x)는 그 접점의 x좌표일 것이고 그것이 2.5
3. 비율 관계 통해 변곡점 x좌표 잡고 (이차항 계수 결정) (다) 조건 활용해 연산해보자~
혹은 사진의 2022학년도 9월 22번처럼 논리적 풀이 말고 딱 볼 때 대~충 생각을 해볼 수 있는 방식을 써보자면
<3분컷, 직관>
1. (가)에서 f'(g(1))=f'(1) 얻고 싹 보니 (다)에도 g(1)이 있으니 g(1)은 특수한 값일 것
2. (나)에서 대충 g(1)=5/2일 것. 그리고 (1, f(1))에서 대충 접선 그었을 때가 최소라고 치자
3. 그럼 비율 관계 통해 g(1) 확정 후 발문과 (다) 조건에서 f(x) 결정
이렇게도 풀어볼 수 있지 않을까..!
다항함수에서 특수한 상황은 접할 때, 초월함수에서 특수한 상황은 변곡점을 지날 때라는 암묵적인 불문율이 있습니다 ㅋㅋ
엄청 자세하고 친절하시네요 좋은 풀이 잘 봤습니다!
감사합니다! 처음에 '평균값 정리에 의해 [f(x)-f(1)]/(x-1)=f'(c)이기에 f'(c)=f'(g(x))가 항상 성립할 것이다. 따라서 [c+g(x)]/2가 변곡점의 x좌표다.'라는 일반적인 상황을 언급해주고 중간에 'x->-inf보다 x->inf일 때부터 조사하는 것은 g(x)가 최솟값이 존재하는 연속함수이고 f'(c)=f'(g(x))에 대해 c->inf일 때 g(x)도 같은 크기의 inf인 것이 자연스럽게 먼저 떠오르기 때문에' 정도를 추가해주면 기본적인 개념만 학습한 분들도 충분히 풀이의 흐름을 읽어낼 수 있지 않을까 싶네요
자작문제 답이 8인가요?
8, 정답!
ㄱㄴㄷ 합답형도 그렇고 바로 파악하기 어려운 상황이 주어지면 우선 단순하거나 극단적인 상황부터 파악한 후에 일반화하려는 사고가 자연스럽다고 생각합니다. 그래서 231122의 (가) 조건도 보자마자 평균값 정리를 떠올리는 것보다는 우선 g가 연속이라는 점에서 식을 조작해보고 그럼 평균변화율 꼴이 나오니 자연스레 양변에 x->1을 취하고 싶어지죠 (좌변은 순간변화율=미분계수, 우변은 연속 조건을 사용할 수 있게 되니)
그런 다음 f'(1)=f'[g(1)]에서 g(1)이 의미하는 것이 f의 x=1에서의 접선의 기울기와 같은 값을 기울기로 갖는 접선의 x좌표라는 점에서 [f(x)-f(1)]/(x-1)=f'[g(x)]이 의미하는 것이 평균변화율과 순간변화율이 일치한다는 점을 발견해 자연스레 평균값 정리를 떠올릴 수 있지 않나 싶습니다.