칼럼10) 소소한 테크닉
나름 알려진 편이고, 은근히 유용하며 개념적으로도 의미가 있는 '소소한' 테크닉 하나를 소개해드릴까 합니다.
이미 알고계신 것도 있을 거고, 아마 처음보는 것도 있을거에요!
이는 e^x의 재밌는 특징에서 시작됩니다.
y=e^x는 도함수가 e^x이죠. 원함수와 도함수가 식이 같다는 겁니다. 즉, 원함수의 함숫값이 그 점에서의 미분계수인 셈이죠. x=a에서 함숫값은 e^a, 미분계수도 e^a일겁니다.
기울기가 e^a라는 것은, x축으로 1 이동할 때 y축으로 e^a만큼 이동한다는 뜻이죠. 그런데 마침 이 지수함수 위의 점(a,e^a)는 함숫값이 e^a네요.
여기서 다음 사실을 알아낼 수 있습니다.
e^x 위에 점 (a, e^a)에서의 접선은 x절편이 a-1이겠네요!
이걸 뒤집어서 말하면, (b,0)에서 y=e^x로 접선을 그으면 접점은 x좌표가 b+1인 곳에서 생긴다는 겁니다. 기울기는 e^(b+1)이 되는 것이구요.
y=e^x 뿐만 아니라 얘가 평행이동되었을 때도 마찬가지입니다. 그 함수의 점근선 위의 점에서 접선을 날렸을 때 접점은 x좌표가 1 큰 곳에서 생깁니다.
아래 문제에 적용해보겠습니다.
기출 문항입니다. 이미 다들 잘 알고 계실 것 같습니다.
최대인 순간은 바로 나오지 않아서 계산을 좀 해줘야 하지만, 최소인 순간은 분명하죠. 기울기인 양수 a가 최대인 순간과 y절편인 음수 b가 최소인 순간이 일치하는데, 다음과 같이 양쪽에 동시에 접할 때입니다.
(그림 출처: ebs)
일단 대칭에 의해 x절편이 3/2인 걸 캐치한 상황에서, 접한다는 정보를 이용해 a를 구해야 합니다. 이때 앞서 알려드린 소소한 테크닉을 이용해볼게요. 그림에서 표시된 t가 3/2보다 1만큼 큰 5/2겠죠. x=5/2일 때 f(x)의 함숫값은 루트 e입니다. 따라서 이 순간에 a는 루트e네요.
물론 s를 이용해서 구하셔도 됩니다. s의 경우에는 x좌표가 1/2이 되겠죠. g(1/2)= -루트e니까 기울기는 루트e여야겠지요. (g(x)는 아래로 그려진 상황이니까 -부호를 빼줘야 합니다.)
어찌됐건 직선을 이렇게 완성할 수 있겠습니다. 훨씬 간편하죠!
평행이동뿐만 아니라 확대축소됐을 때에도 이런 정보를 뽑아낼 수 있습니다.
이 함수의 경우에는 x축 위에 (a,0)에서 접선을 날렸을 때, 그보다 x좌표가 1/5만큼 큰
이 점에서 접점이 생기겠죠. 함수가 5배 축소되었으니 앞서 말씀드린 1차이난다는 경향성도 5배 축소하여 1/5이 되었다고 생각하시면 되겠습니다. 주의할 점이 있다면, 이때는 미분계수도 5배를 해줘야 하겠네요. 그래서 식을
다음과 같이 써낼 수 있습니다. 근데 이건 실수 가능성도 있어보이니(???: 아 ㅆ 5배 안했다) 이건 검토용으로 사용하시면 좋을 것 같습니다.
이 특징은 y= lnx 에서도 당연히 읽어낼 수 있겠죠. 대신 1 차이 난다는게 x축이 아니라 y축의 얘기로 바뀝니다.
e의 x승 놈을 뒤집은 거로 봐도 괜찮고, lnx의 도함수가 1/x이란 것에 착안하여 기울기 해석을 하셔도 됩니다. (기울기가 1/m라는 것은, x축으로 m 증가할 때 y축으로 1 증가한다는 뜻!)
한편, 다음과 같은 의문이 드실 수 있습니다. "왜 하필 e^x에서만?"
적절한 의문이죠. 사실 이 얘기는 모든 지수함수에 대해 가능합니다.
얘도 원함수와 도함수가 상수배 차이나는 꼴이므로 다음 정보를 이끌어낼 수 있습니다.
a=e일 때는 저 차이가 1이 되었던 거죠.
준비한 내용은 여기까지입니다. 원함수와 도함수가 관계되어있다는 지수함수의 성질을 이용한 재밌는 해석이었다고 생각합니다. 앞으로도 재밌는 칼럼과 자작문제 많이 보여드리겠습니다. 유익했다면 좋아요 부탁드리고, 팔로우 해두셔서 꼭 확인해보세요!
0 XDK (+1,000)
-
1,000
-
가나형 시절이긴 했는데 교사경 n제 왜 품? 더럽기만 하고 수학 문제 퀄리티는...
-
어렸을 때부터 책 많이 읽은 사람이 꽤 있는거같음
-
본인한테 잘 맞는과목이 있을까?
-
여캐일러 투척. 12
수능 만점 기원 7일차
-
ㅇㅇㅈ
-
서코 왔어요 7
-
동국제강 장세욱 부회장육군사관학교(41기) 졸업 후, 10년 동안 군 복무를 하고...
-
얼벅이 2
-
후기좀
-
https://orbi.kr/00025889377...
-
으아아아아악
-
이감 0
이감 off 모고만 따로 구하기 힘드나 간쓸개까지 대부분 묶어파네…
-
피터 싱어 근황 1
추어탕 너무 잔인하대
-
꿈은 늘 악몽임 0
바라지만 현실에서는 실현되지 못하던 것들이 꿈에서 실현되거나 바라지 않던 불안한...
-
저 내신 1.8이고 작년에 중앙대 기계 종합으로 합격했는데 올해 한양대 기계 종합...
-
민나 오하요 8
옯붕아 뚯뚜루~
-
국어망치고 시험 포기하고 나오는 꿈 꿈.. 어쩌면 나는 117일 후에서 기억을 읽고...
-
생1 구매하고싶은데 전국보단 학원용 사는게 나음? 다른 실모들 치고 거의 나중에...
-
국어는 재능이 맞다 수학2(보정시) 영어1까지 올릴동안 국어가 6이다??? 이건...
-
N티켓 2회독 끝내고 이해원 시즌1으로 넘어갈지 문해전 시즌1으로 넘어갈지 아님...
-
수학 하 함수와 그래프 단원 유무리 함수 일대일 함수 등등 나오는 그 파트 모르면...
-
얼버기 3
얼버기
-
딸버기 0
기상
-
얼버기 1
개운하다
-
얼버기 2
지방이가 시대에서 두각을 나타내러 간다!
-
슈냥 1
슈크림 냥이
-
뭘까요
-
ㅎㅎ 참고로 화기생지임
-
고1수학(질문 답변시 선착순 1분께 제 덕코 다드림) 4
고2 3월 학평에서 3점짜리 전부 풀수 있으면 앞으로 수능 수학 범위에서...
-
잡니다 2
피곤하군
-
이미 철두철미 교재 구매했는데 한종철 완자 강의로 들어야할까요? 찍먹 해보니까 철철...
-
다른건 아니고 (가)조건을 기울기꼴로 변형해서 준다면 현장에서 풀어낸 사람들이 더 많아졌을까요?
-
있으면 댓글좀.
-
여러분은 어떤 학교가 더 마음에 드시나요?
-
으어 3
와타시노 코이와
-
무잔이다!! 5
녀석은 목을 베어도 죽지 않아!!
-
솔직히 걍 양치기 벅벅해서 여러 유형 접하는게 요즘 기조에 맞는거같은데
-
지금까지 남르비라고 속여 죄송합니다.
-
ㅇ
-
탕! 탕! 투투투투
-
ㅇ
-
영어 공부 6
고2인데 고등학교 올라와서 영어 ㄹㅇ 손도 안 대서 모고가 2가 뜹니다..ㅠ 이대론...
-
음..
-
네~
-
진로로 전문경영인을 목표로 할 때 경영대학원에 가는 것이 필수적일까요? 그리고...
-
3시 기준, 한명당 첫 댓글만 댓글로 취급함
-
밤이 되었구나 5
오늘도 개ㅊ를 벅벅
오우쉣
ㄷㄷ
무슨 말인지 이해 못하는 문돌이들 개추 ㅋㅋㅋ
무민귀여워요
으악 미적이다
으악악
아니 ㅅㅂ 이게 뭐지.,?