수학 칼럼) 수2:특수한 형태의 극한
안녕하세요? 지인선입니다.
가끔씩 이렇게 출제될 가능성이 높은 주제에 대한 짤막한 칼럼을 쓰려고 합니다.
사실 전에 제곱근이나, 함수 작성에 관한 칼럼도 올렸었는데,
아무래도 하나의 단원에 대하여
제가 아는 모든 출제 가능성있는 주제들을 한 번에 보여드리기엔 너무 작업량이 많아서
작업하는 중간 중간에, 오늘처럼 한 단원 내의 하나의 주제에 대한 짧은 칼럼들을 가끔 올리려고 합니다.
(그래야 가볍게 읽어볼 만 하다 느껴지기도 할 것 같아서요)
(팔로우랑 좋아요 눌러주시면 더 많이 칼럼쓸게요)
바로 시작하겠습니다아
오늘 다뤄볼 주제는 '특수한 형태의 극한'인데요.
혹시 이 극한 식을 보신 적이 있나요?
처음 보신 분들이라면, x와 t때문에 헷갈리실 것 같아서, 제가 조금 이해를 도와드리자면,
일단 t는 고정되어 있고, x는 t를 향해가는 수입니다. 극한 안에서는 x가 변하는 거죠.
t라는 문자때문에 처음에는 복잡해보일까바, 이해를 돕기 위해 t에 아무 숫자나 대입해보겠습니다.
t=1이라 해보죠. 그럼 위의 극한은
라고 바뀝니다. 한결 보기 편해졌네요.
다항함수 f(x)가 있다치고, 그 다항식이
을 만족한다고 해봅시다.
저희가 함수의 극한에서 배운대로 접근해봅시다. 지금 분자는 0으로 가는데 극한값은 0이 아닙니다.
따라서, 분모도 0으로 가야 합니다.
즉, f(1)=0이죠.
다항함수가 f(1)=0이라는 사실은, 인수정리에 의해 f(x)=(x-1)g(x)라고 나타낼 수 있음을 보증합니다.
(g(x)도 다항식이죠? 그리고 0이 아닐 겁니다.)
그런데, f(x)=(x-1)g(x)를 미분하면 곱의 미분법에 의해
f'(x)=(x-1)g'(x)+g(x)입니다.
위의 식을 저 극한식에 대입하겠습니다.
그런데 지금 g(x)는 앞서 얘기한대로 0이 아닐테니, 분모의 (x-1)g(x)와 분자의 (x-1)g(x)는 서로 나눠져서 1이 나오고,
따라서 저 극한은
이라 쓸 수 있죠. (좌변에서 나온 1을 우변으로 이항하여, 2가 1이 된 겁니다)
(x-1)로 분모 분자를 나눠주면
으으음... 이 극한식 근데 저희가 맨 처음에 봤던
얘랑 너무 닮지 않았나요? f가 g로 바뀌고, 우변의 숫자만 달라진 느낌입니다.
어쨋든 다시
얘로 돌아와서, 지금 g(x)는 다항식이고, 분자는 0으로 가는데 극한은 0으로 가지 않으니 분모도 0으로 가야합니다.
앞에서 했던 것과 비슷한 논리로 g(x)=(x-1)h(x)로 나타내고, 미분때린 식을 대입하여 정리하면
이 나옵니다. 이 극한에선 분모가 0으로 가지 않아도 극한값이 확실히 0이니, 저희는
f(x)=(x-1)g(x), g(x)=(x-1)h(x)이라는 정보로부터 f(x)=(x-1)^2 h(x)라는 정보를 얻게됩니다.
즉, f(x)는 (x-1)^2을 인수로 갖는 것이죠.
조금 더 정확히 얘기하면, f(x)는 (x-1)을 오직 2개만 가져야합니다. 한 마디로, (x-1)^2을 인수로 갖고,
그 이상인 (x-1)^3, (x-1)^4 이렇게는 인수로 가질 수 없습니다.
증명과정은 다음과 같습니다. (이 과정도 중요하니 기억해두세요)
우선
이라고 가정해봅시다. 즉, f(x)는 인수 (x-1)을 n개만큼 가집니다. 여기서 n은 0이상의 정수입니다.
g(1)이 0이 아니다라는 조건이 결국, f(x)가 추가적인 (x-1) 인수를 갖지 않음을 보장합니다.
이제 미분하면
입니다. 이 식을
여기에 대입해보죠.
이 극한을 다시 정리하면
입니다. 지금 g(1)은 0이 아니므로, 위의 극한식의 값은 0이어야 하며, 이는 n=2를 의미합니다.
이제 중간과정 생략하고 한꺼번에 생각해보죠. 만약 다항식 f(x)가
이라면, 저희는 바로 f(x)가 (x-1) 인수를 2개 갖는다고 결론 내릴 수 있습니다.
즉, 만약
이라면, f(x)는 (x-1) 인수를 n개 갖는 것이지요.
그런데 사실 저희는 t 대신에 1을 대입하여서 생각했었는데, 1이 아닌 2, 3, 5/2,...이런 이상한 숫자들도 물론
동일한 논리를 적용할 수 있겠죠?
제가 그러면 이제 하나의 결론을 내리겠습니다. 함수 g(t)를
이라 해봅시다. 그러면,
g(t)는 f(x)가 인수 (x-t)를 몇개 가지고 있나를 알려주는 함수입니다.
예를 들어,
이라 해봅시다. 이 f(x)는 x인수를 3개, (x-1)인수를 2개, (x-2)인수를 1개 갖습니다. (x-3)인수는 0개를 갖죠? 없으니까
따라서 g(0)=3, g(1)=2, g(2)=1, g(3)=0입니다. 물론 (x-4)나 (x-5) 이런 것도 인수로 가지지 않으니 g(4)=g(5)=0입니다.
이제, 여러분이 이 칼럼을 읽으며 드실 생각, 의문들을 정리해보겠습니다.
Q.1 이거 뭔가 내용이 어려운데, 기출로 나왔던 적이 있나요?
--->
네 있습니다. 2018학년도 6월 모의평가 가형 21번입니다.
물론 초월함수 미분도 있지만, 중간에 다항함수에 대하여 저희가 앞에서 다뤘던 논리를 쓰게 됩니다.
Q. 2 최근 수능에서 나올만한 내용인가요?
--> 넵 그렇습니다. 작수 22번도 사실 기울기함수로서, 과거 미적분에서 핫한 주제였습니다.
과거에 핫한 주제가 수2 22번으로 다시 재창조되는 것을 보면, 이 주제도 충분히 나올만하다고 봅니다.
Q.3 수2에 저런 극한이 나온 적이 있나요?
2021년 11월 고2 모의고사 28번입니다. 나온 적이 있습니다.
마지막으로, 제가 만든 문제들 중, 위의 극한과 관련된 주제의 문제들을 몇개 보여드리며 내용을 마무리 하겠습니다.
2024 지인선 N제 21번
(답 114-13*5-30-9)
2023 지인선 N제 129번
(답 20+40-35+65+110)
감사합니다.
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2018 수능 나형 18번에도 나왔었던것 같네요
그거랑 저 극한 의미가 완전히 같진 않을 거에요!
흥미로운 주제네요!
오오 그러면 이런건 암기하는게 나을까용?
넵 그게 좋은데, 원리는 이해하는게 좋죠
5등급이 적용하긴 쉽지 않아보이는..하지만 흥미롭게, 재밌게 보며 배운거 같습니다
정병호t가 꽤나 강조하셨던..!!
정병호t가 이거 가르쳐 줌?
프로메테우스에서 따로 저 꼴을 설명해주심
오타 있어용!
잘 보고 갑니다
감사해요!
해당 식의 역수도 똑같이 인수의 개수를 나타내는 건가요?
예
극한값이 인수의 개수의 역수로 나오겠죠
두 문제 모두 잘 풀고 갑니다! 문제 맛있네요.. n제 꼭 풀어야겠군요
와두
강기원의0인수!!
분자가 0으로 가고 그 값이 0이 아니므로 분모도 0으로 가서 f(1)=0이고,
lim (x-1)f'(1)/f(x)-f(1)= f'(1)/f'(1)이고, 이 값이 1이 아닌 다른 값이므로 f'(1)=0이 된다
(f'(1)이 0이 아니라면 f'/f'이 1이 되어서 모순)
따라서 f(1)=f'(1)=0이므로 x-1을 둘 이상 갖는다
이렇게 해석해도 되나여?
네
18년 가형 21번 그렇게 해석해서 풀면 딱이에요