칼럼3) 1/2 차이
[이 칼럼은 수능 공부에 큰 도움이 되지는 않습니다.
등차수열의 합 Sn에 대해 깊게 탐구한 글인데요,
관심 있는 분이 아니라면 다른 칼럼 보러 넘어가세요.]
이 칼럼은
위 칼럼의 속편입니다.
이번 칼럼의 목적은
Sn의 꼭짓점과 an의 x절편이 1/2만큼 차이나는 이유를 기하적으로 설명하는 것입니다.
우선 앞선 칼럼에서 두 가지 정보를 확인해놓았습니다.
1. Sn은 반드시 x축과 두 번 만난다.
2. Sn과 an은 반드시 2개의 교점을 가진다.
이때 언급한 조건이 있었죠?
an의 공차가 양수이고 an의 x절편이 1/2이 아닌 경우를 다루겠다고 했는데,
공차 양수는 별 의미 없이 편의상 정해둔 것이구요
잠시 x절편이 1/2이 아니어야 하는 이유를 간단하게 짚고 넘어가겠습니다.
이 글 맨 위에 있는 공식에 의해 an의 x절편이 1/2이라면 Sn의 꼭짓점의 x좌표가 0이 되는데, S0 = 0이므로 0에서 중근을 가져버립니다. x축과 한 번만 만나는 것이지요. 1번 "Sn은 반드시 x축과 두 번 만난다." 에 위배됩니다.
아무튼 1,2번을 만족하게끔 그림을 그려보겠습니다.
일단 Sn입니다.
Sn의 두 근을 0, 2k라 하겠습니다. 일단 k를 양수라 가정할게요. 즉 왼쪽 근이 0인 것이죠.
Sn의 꼭짓점의 x좌표는 k가 될 것입니다. 그 점에서 미분계수는 0입니다.
여기에 an, 그리고 Sn과 an 의 두 교점 B, D도 표시해보겠습니다.
B의 x좌표는 1, D의 x좌표는 2k+1이 됩니다. (앞 칼럼에서 그 이유를 다룸)
점 B와 D의 중점의 x좌표는 k+1인데요, 함수 Sn 위의 점 (k+1,Sk+1)을 찍어보겠습니다.
점 (k+1,Sk+1)에서 접선도 그려보았는데요, 이 접선의 기울기는 an의 공차 d일 것입니다.
아래 이차함수 성질에 의해서 말이죠!
(이차함수의 유명한 성질)
다시 원래의 그림으로 돌아가서
x좌표가 k일 때 미분계수가 0, 그리고 x좌표가 k+1일 때 미분계수가 d라는 것은,
x좌표가 k+1/2 일 때는 미분계수가 d/2임을 의미합니다.
한편, 점 O(원점) 과 점 D의 중점의 x좌표가 k+1/2입니다.
이런 상황인거죠. 그럼 점 O(원점) 과 점 D를 이은 직선의 기울기가 d/2라고 말할 수 있겠죠. 아까 써먹은 이차함수의 성질을 역으로 이용한 겁니다.
지금까지 찾은 것들 중 필요한 것들만 따로 그려보겠습니다.
표시한 두 직선은 직선 OD와 an인데요, 둘은 기울기가 각각 d/2, d라서 딱 2배차이 납니다.
기울기가 2배차이라는 것을 다음과 같이 인식할 수도 있습니다.
그림에 표시한 빨간 직선은 점 D와 x축을 수직으로 이은 것인데요, 기울기가 d/2인 직선은 빨간 직선만큼을 올라가는데 x좌표로 2k+1만큼 가야 했으니(점 D의 x좌표가 2k+1입니다.) 그보다 기울기가 2배인 an은 2k+1의 반인 k+1/2만큼만 가면 빨간 직선만큼 올라갈 수 있을 것입니다. 즉, an이 0을 지나는 점이 k+1/2인 셈이지요.
한편 이차함수의 꼭짓점은 x좌표가 k였으므로,
이라 할 수 있겠습니다. an이 0을 지나는 점이 더 오른쪽에 있는 셈이지요.
방금까지 이를 기하적으로 보인 겁니다.
준비한 내용은 여기까지입니다.
이 칼럼은 생각할 거리 하나를 던지며 마치겠습니다.
첫 번째의 경우 y=k가 0을 지나는 지점과, 그 옆에 시그마 결과값인 이차함수 y=n(n+1)/2의 꼭짓점은 x좌표가 1/2 차이입니다.
두 번째의 경우, y=k2이 0을 지나는 지점과, 그 옆에 시그마 결과값인 삼차함수 y=n(n+1)(2n+1)/6의 변곡점은 x좌표가 1/2 차이입니다.
세 번째의 경우, y=k3이 0을 지나는 지점과, 그 옆에 시그마 결과값인 사차함수 y={n(n+1)/2}2의 극대점은 x좌표가 1/2차이입니다.
다항식으로 표현되는 일반항과 수열의 합 사이에서 1/2이 뭔가 의미를 가진걸까요? 가졌다면 어떤 의미이며, 왜 하필 1/2일까요? 혹시 수열의 간격이 1인 것과 연관이 있진 않을까요?
생각해볼만한 주제입니다.
전 다음에 더 좋은 글로 찾아뵙겠습니다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
지금 모고 하나 만드는데 든 기간은 대략 3주 하고도 조금 넘는 거 같습니다.......
-
지인선 or 칸타타다-->푼다 아니다-->안푼다
-
오늘 이돌에서 초딩때 친구가 몰래 인사하더니 입에 초코 넣어줌 뭔가 별건 아닌데 감동받음
-
ㄹㅇ
-
야. 형이야 내가 공부를 하겠어?
-
그럼 수학고자라 대학못감..
-
야생마의 라면 먹방 사과
-
오르비 비갤에 암 걸렸다고 글쓴 놈이라고 저격 박힌건가 열심히 살다 운 존나 나쁘게...
-
울어버렷으
-
1. 설뱃&의뱃&에피 등등 고학력자 기본적으로 금머갈들이라 네임드가 아니여도 대부분...
-
당신의 그 웃음 뒤에서 함께하는데~
-
만표 150으로 ㄱㄱ
-
안녕하세요. 저는 트위치에서 방송을 하고 있는 스트리머 케인입니다. 먼저, 저의...
-
나는 목표 등급 11311
-
저 같은 경우는 수학 1을 공부할때만 해도 사실 재미가 없어 문제를 만들 생각을...
-
아이고 머리야 4
신검받고와서 피곤해서 자다 지금 일어남...
-
https://orbi.kr/00068792255/ 링크의 글은 위처럼 '가만히...
-
3000부 판매신화 기록 지구과학 핵심모음집을 소개합니다. (현재 오르비전자책...
-
가능세계 답 1234
-
위로추
-
제 2외국어 0
수시할때 대학에서 많이 안보나요??
-
오늘 생명 근수축 풀다가 심심해서 노트에 만들어본 문제에요 어렵진않아요
-
킬러문제 정상화 0
의대정원 정상화 신석열과 함께하는 비정상의 정상화
-
원점수 언매 92 미적 72 영어 3 사문 50 생윤 43 방학 동안 수학 영어...
-
등급 나왓는데 0
국 2 영 1 수 2 생윤 1 경제 1 일본어 5 한국사 4 진로선택 A ㅇㅈㄹ인데...
-
강민철T 현강 0
이부제는 처음인데 민철쌤 이감 현강 이부제 저번 수업땐 A조에서 수업하셨으면...
-
수능특강 디자인 꼬라지를 보게. 저게 감성적이더냐?
-
1번 선지에서 직접 통신해야 할 호스트들 사이에 라우터를 두어 정보의 중계가 빠르게...
-
수학 고민 1
최근에 1일 1실모 하다가 너무 시간에 쫓겨서 문제만 훅훅 푸는거 같은데 아직...
-
남자분들은 뭐 받으면 기분 좋으신가요?? 주변에 물어볼 만한 사람이 없어서ㅠㅠㅠ,,...
-
제일 악질인 오르비 글 14
가능세계 정답 XXXX <<< 이거 누가 메인에 올려놔서 그 글 본 뒤로 계속 생각남...
-
격일로 실모 한세트씩 돌리고 EBS는 문학만 할거같은데 EBS랑 이매진이나 리트...
-
무조건 80점대로 맞출거같은데
-
머 쉴 땐 쉬고 해야 효율이 잘 나오고 머시기 백번 동의하는 말이지만 그거 말고...
-
실모랑 같이 연달아서 풀라는데 아직 실모를 따로 사서 풀진 않고 있었거든요.....
-
회계사 시험 끝나서 스터디존에서 계산기쓰던 시파 빌런 이제 안오는데 신규회원 고정석...
-
n제추천 1
드릴정도 난이도 없나요 이해원1이랑 하사십 풀려고햇는데 이해원 요즘 쉬워졌대서.....
-
고전시가는 필수 어휘 같은거 다 외워서 해석 괜찮은데, 고전소설은 하.......
-
담배지 바보가 되는 기분이다
-
아오 비오니까 2
학원가면 옷이고 바지고 양말이고 다젖음 진심 거지같음
-
오늘도 탐구0분 4
ㅋㅋㅋㅋㅋ....
-
아가들 노는데 초치고있어
-
이거 쉽지않은데 ㅠㅠ
-
대학생분들아 8
중딩때 친구랑 다들 연락하시나요 실제로 많이 연락 끊기나 궁금하네요
-
걍 요따 모의고사 안 내야겠다 ㅋㅋ
-
생글(비문학)+에필로그 1: 50000원 생감(문학)+에필로그 2: 50000원...
-
우선 학습에 악영향을 끼쳐드려 죄송합니다. 검토진으로써 할말이 없습니다. 본인은...
-
재수생입니다. 제목 그대로 정말 공부를 못하겠습니다. 뚜렷한 목표도 없고 그냥...
-
지문의 모든 정보를 다 외울 순 없으니 화제 찾고 정보의 위상을 파악해서 화제와...
믿고보는무민쓰
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
헉 이런 칭호라니 감사해요 ㅎㅎ무민님..
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/034.gif)
또 오셨네요!! 반가워요![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/005.gif)
무민추