231122를 풀어봅시다
(수학 문제 제작하다가 스트레스 받아서...)
(가) 식을 변형하면...
곡선 y=f(x) 위의 두 점 (1, f(1)), (x, f(x))를 지나는 직선의 기울기를 나타냅니다.
일단 두 점 (1, f(1)), (x, f(x))를 지나는 직선이 있다고 할 때, 이 직선과 곡선 y=f(x)의 교점의 개수는 최대 3개입니다.
교점이 3개인 경우, g(x)의 값의 후보가 2개가 나올 수 있죠.(평균값 정리) 2개의 후보 중 큰 것이 g(x)입니다.
조건 (다)에서 함수 g(x)는 최솟값이 존재한다고 했으니까요.
g(x)가 최소인 경우 그림은 이렇게 그려집니다.
g(x)의 최솟값이 5/2이니, 그림과 같이 곡선 y=f(x) 위의 점 (5/2, f(5/2))에서의 접선이 점 (1, f(1))을 지나겠네요.
일단 함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 f(0)=-3이니 이렇게 놓을게요.
삼차함수 비율관계를 알고 있다면 x=2에서 변곡점을 가진다는 사실을 도출할 수 있지만, 모른다면...
이 식을 이용해서 풀면 됩니다. (계산 생략) a=-6이 나옵니다.
f(g(1))=6이라는 식을 사용하면 b의 값도 구할 수 있겠군요.
이 식에서 x를 1로 보내면...(극한)
얼핏 보면 g(1)=1이면 될 것 같지만, g(x)의 최솟값이 5/2이므로 g(1)=1은 불가능합니다.
이 식을 보면 대칭성에 의하여 f'(1)=f'(3)이 성립합니다. 즉, g(1)=3입니다.
f(3)=6이므로 b=12입니다.
f(4)=13입니다.
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