[박수칠] 수학 B형 변별력 문제 풀려면 기본 개념/유형부터 다지세요~

수학이 A형, B형으로 바뀐 2014학년도 수능부터

30번의 지수함수, 로그함수 그래프 문제가 미분법 문제로 대체되었습니다.

동시에 여러 개념이 복합적으로 적용되고, 계산 분량도 늘어났죠.

(계산 분량 측면에선 2014학년도 수능 30번이 압권 ㅡㅡd)

지수함수, 로그함수 그래프 문제는 대개

주어진 조건을 만족하는 몇 가지 그래프를 그리면서 규칙을 찾는 방식으로 접근합니다.

그래서 기본 개념/유형을 아는 것만으로는 부족하고, 비슷한 유형에 대한 연습이 필요합니다.

반면 미분법 문제는 복잡한 식이나 조건을 제시해서 수험생을 쫄게 만드는 면이 있지만,

천천히 뜯어보면 기본 개념/유형의 조합이라는 것을 알 수 있습니다.

때문에 주어진 조건과 자신이 공부했던 유형의 연관성을 떠올린다면

상대적으로 쉽게 접근할 수 있는 면이 있습니다.

그럼 2015학년도 수능 B형 30번 문제를 살펴봅시다.

함수 f(x)는 비교적 간단한 반면, 함수 g(x)는 절댓값 기호와 시그마를 섞어서 복잡하게 정의되어 있습니다.

함수 g(x)를 자세히 살펴보기 위해 시그마를 풀어쓰고, f(x)를 대입해보도록 합시다.

이제 함수 g(x)는 n개의 절댓값의 합, 차로 표현되었습니다. 그럼 절댓값 기호를 없애야죠?

많은 문제에서 연습했듯이 절댓값 기호 안의 식이 0일 때의 x값을 경계로 구간을 나눠봅시다.

그러려면 다음 방정식을 풀어야죠.

여기서 한 가지 눈에 띄는 것이 있는데 이 방정식은 k가 짝수일 때 실근이 없습니다.

그리고 k가 짝수면

이 성립하기 때문에 k가 짝수인 절댓값은

다음과 같이 절댓값 기호가 저절로 없어지면서 실수 전체의 집합에 대해 미분가능한 꼴이 됩니다.

따라서 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면

k가 홀수인 절댓값만 남겨서 만든 새로운 함수

가 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수면 되겠네요. 

(여기서 2m-1은 n보다 같거나 작은 최대의 홀수라는 점도 챙겨둬야죠.)

그리고 k가 홀수일 때는

이기 때문에 x=-1일 때를 경계로 구간을 나눠서 함수 h(x)의 함수식을 정리하고, 도함수 h’(x)를 구하면 다음과 같습니다.

x < -1일 때

x > -1일 때

따라서 함수 h(x)는 x < -1일 때와 x > -1일 때 미분가능하고,

실수 전체의 집합에 대해 미분가능하려면 x=-1일 때도 미분가능해야 합니다.

그러려면 먼저 함수 h(x)가 x=-1에서 연속이어야 하죠.

함수 f(x)가 연속함수라면 함수 | f(x) |도 연속함수이듯이

연속함수들의 절댓값의 합, 차로 이루어진 함수 h(x)도 연속함수가 됩니다.

그래서 함수 h(x)는 x=-1에서 당연히 연속이 되고, x=-1에서 미분가능하게 하려면

①, ②에 x=-1을 대입한 결과가 일치하기만 하면 됩니다.

여기서 2m-1=19는 n보다 같거나 작은 최대의 홀수이므로 n의 값이 될 수 있는 것은 19와 20입니다.

따라서 답은 19+20=39가 되구요.

위 풀이 과정에 쓰인 기본 개념 및 기본 유형 풀이법 가운데 주요한 것을 나열하면 다음과 같습니다.

⑴ 절댓값 기호를 포함한 함수식의 계산

⑵ 절댓값 기호를 포함한 함수의 연속성

⑶ 합성함수의 미분법

⑷ 구간별로 정의된 함수의 도함수

함수의 연속성과 미분법을 배우면서 꼭 다루게 되는 개념/유형들입니다.

따라서 위 문제를 풀려면 주어진 조건을 이 개념/유형과 연결시켜 차근차근 풀어나가면 되는 겁니다.

하나만 풀면 섭섭하니 하나 더 봅시다.

아래는 2014학년도 수능 B형 30번 문제입니다.

조건 (나)를 바로 활용하는 것은 어렵기 때문에 조건 (가)부터 살펴봅시다.

함수 g(x)가 (이차함수)x(지수함수)의 꼴이어서 몇 번이고 미분가능하기 때문에

조건 (가)로부터 g”(1)=0, g”(4)=0임을 알 수 있습니다.

따라서 함수 f(x)를 일반적인 이차함수

로 두면 함수 g(x)와 도함수 g’(x), 이계도함수 g”(x)는 다음과 같습니다.

조건 (나)에서 얻은 방정식 g”(x)=0의 근 1, 4는 이차방정식

의 근이며 근과 계수의 관계에 따라 다음이 성립합니다.

이제 조건 (나)를 이용할 방법을 궁리해봅시다.

점 (0, k)에서 곡선 y=g(x)에 접선을 긋는 것은 미분법을 이용한 접선 방정식 유형 가운데

곡선 밖의 점에서 곡선에 접선을 긋는 경우에 해당됩니다.

따라서 접점의 좌표를 ( t, g(t) )로 가정하고, 접선의 방정식을 만든 다음 (0, k)를 대입합니다.

점 (0, k)에서 곡선 y=g(x)에 세 개의 접선을 그을 수 있으므로 곡선과 접선의 접점 또한 세 개가 나타납니다.

그렇다면 t에 대한 방정식 ①은 서로 다른 세 개의 실근을 가져야 하구요.

따라서 ①의 양변을 y로 둬서 얻은 두 함수 ②, ③의 그래프는

서로 다른 세 점에서 만나야 합니다.

이때의 k값 범위를 따지려면 함수 ③의 그래프가 필요하겠죠?

a>0라고 가정한 다음, 도함수를 구하고 그래프 개형을 그려봅시다.

따라서 두 함수 ②, ③의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만나려면 다음 부등식이 성립해야 합니다.

이것을 (나)에 주어진 k의 범위와 비교하면 다음과 같이 a의 값과 g(x)를 구할 수 있습니다.

따라서 답은

여기서도 풀이 과정이 복잡하긴 하지만, 주어진 조건을 다음과 같은 기본 개념/유형과 연결시켜서

차근차근 계산하면 정답에 이를 수 있습니다.

(1) 이계도함수를 이용한 변곡점 찾기

(2) 곡선 밖의 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식

(3) 미분법의 활용-방정식의 실근 개수와 함수 그래프의 교점 개수

또한 이 문제는 다음과 같은 교과서 밖의 개념을 알면 후반부의 계산이 조금 쉬워집니다.

(4) f(x)g(x) 또는 f(x) / g(x) 꼴의 함수 그래프 개형을 x절편, y부호, 점근선만으로 그리기

(5) 곡선 밖의 점에서 곡선에 그을 수 있는 접선 개수가 변곡점에서의 접선을 경계로 변함

(4), (5)와 같이 특정 유형에만 적용되는 교과서 밖 개념을 공부해두는 것도 좋지만,

어떤 문제가 나오더라도 대처할 수 있으려면 기본 개념/유형을 이용하는 방법을 터득해두는 것이 훨씬 더 좋습니다.

물론 계산 과정이 길고, 문제 푸는 시간이 오래 걸리는 단점이 있지만요...

작년 수능 난이도와 올해 보도된 평가원, 교육부의 출제 방향을 볼 때,

21번, 29번, 30번 같은 변별력 문제는 작년과 비슷하거나 조금 어렵게, 나머지 문제들은 비슷한 난이도를 가질거라 생각합니다.

그렇다면 30번 문제를 풀 시간을 충분히 확보할 수 있으니 계산 과정이 복잡할 것으로 예상되더라도

기본 개념/유형에 충실한, 일반적인 방법을 찾기만 하면, 문제 푸는 시간은 충분할거라 생각됩니다.

수능 준비를 위해 기본 개념/유형에 대한 정리를 끝내고 수능/모평 기출, 실전 모의고사 등을 풀다 보면

유형 하나하나에 집착하게 되고, 기본 개념/유형을 복습하는데 소홀해지기 쉽습니다.

그러다 보면 9월 모평쯤에 점수가 떨어질 수도 있구요.

문제 풀다가 기본 개념/유형이 부족하다 싶은 단원이 생기면 복습하고,

정리하는데 아낌없이 노력하시기 바랍니다.

수능 보는 전날까지 말이죠...