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기하훌리 [1140142] · MS 2022 (수정됨) · 쪽지

2022-09-17 19:35:40
조회수 11,298

공간도형이 어려운 기하러들을 위한 '공간벡터의 외적'

게시글 주소: https://image.orbi.kr/00058426698

기하에서 가장 어려운 부분을 꼽으라면 사람마다 다르겠지만, 공간도형을 꼽는 사람이 가장 많을 겁니다. 저 역시 공간도형이 항상 어려웠고, 이면각을 구할 때 어떻게 수직을 내려야 할 지 전혀 감이 오지 않아 항상 고생했습니다.


이처럼 공간도형에서 어려움을 겪는 기하러들을 위해 '공간벡터의 외적'을 소개합니다.


시작하기에 앞서, 이 글은 공간벡터와 외적의 원리와 개념 등을 상세히 설명하는 글이 아니라, 문제풀이의 도구로서 간단히 적는 것이기 때문에 부정확하거나 부적절한 설명이 있을 수 있습니다. 오류가 있다면 댓글로 알려주시면 고맙겠습니다.


현행 교육과정에서는 과거 '기하와 벡터'와 달리 '공간벡터' 부분이 완전히 삭제되어 공간벡터에 대해 전혀 배우질 않기에 아마 저를 포함한 기벡을 배우지 않은 기하러들은 공간벡터가 굉장히 생소할 겁니다.


기본적으로 외적을 설명하기에 앞서, 공간벡터에 대해 간략하게만 설명을 하겠습니다.


공간도형을 해결하기 위해 우리가 사용할 공간벡터는 성분화가 된 상태에서 이용할 것이기 때문에 성분화를 할 줄 알아야합니다. 성분화는 시점을 원점으로 고정하고, 마치 좌표처럼 나타내는 것을 말합니다. 

평면벡터의 성분은 (x,y)로 나타내죠? 공간벡터의 성분은 (x,y,z)로 나타냅니다. 


성분화 되어있는 평면벡터의 내적을 하실 줄은 아실겁니다. x값과 y값을 서로 곱하고 더해주면 끝이죠. 공간벡터도 마찬가지입니다. 다만 z좌표가 추가되었을 뿐이죠. 


공간벡터의 내적은 아래와 같이 하면 됩니다.



간단하게 공간벡터의 성분과 내적에 대해 설명했으니, 이제 본격적으로 공간벡터의 외적에 대해 설명하겠습니다.

우리가 공간도형을 해결하기 위해 사용할 공간벡터의 외적은 평면의 법선벡터를 구하기 위한 과정입니다. 

법선벡터라 함은 우리가 구하는 평면에 수직인 벡터를 말합니다.






그렇다면 외적은 어떻게 하냐?

우선 우리가 구하려는 평면의 세 점을 잡고, 각각 좌표를 찍어줍니다. 이때 좌표는 아무렇게나 미지수로 잡는 것이 아니라, 문제에서 제시한 도형을 보고 그에 맞게 좌표를 잡아야합니다. 따라서 도저히 좌표 잡는 것이 불가능한 문제는 공간벡터의 외적을 이용해서 풀 수 없으며, 어쩔 수 없이 정석대로 풀어야합니다.


그 다음 선분 2개를 아래와 같이 벡터로 만들어 벡터의 성분으로 나타내줍니다.

한 점을 (0,0,0)으로 잡으면 성분화가 편합니다.


적절하게 벡터의 성분을 나타냈으면, 벡터의 외적 공식을 이용해 외적을 하면 됩니다. 외적을 하는 방법은 아래와 같습니다. 신발끈 공식과 비슷하게 생겼죠?






이렇게 한 평면의 법선벡터를 구했으면, 다른 평면의 법선벡터도 외적을 이용하거나 문제에서 주어진(또는 구한) 수직 조건에 따라 구해줍니다. 그러면 두 평면의 법선벡터를 구했으니 두 법선벡터가 이루는 각이 두 평면이 이루는 각과 같거나 외각의 크기와 같습니다. 그 이유는 아래의 그림을 보시면 됩니다.




이제 두 벡터가 이루는 각까지 알았으니, cos값을 구해주면 끝입니다.

cos값은 평면 벡터에서와 똑같이, 두 벡터의 내적을 크기의 곱으로 나눠줍니다. 이때 두 평면이 이루는 각이 예각인데 법선벡터가 이루는 각이 둔각이 나왔다면, 절댓값을 씌워주면 됩니다.

(공간벡터의 법선벡터를 구하는 과정에서 법선벡터의 방항을 고려하지 않아 발생한 일입니다. 하지만 방향까지 고려하면 너무 복잡해지니 절댓값을 씌우는 것으로 해결해도 괜찮습니다.)





이제 외적을 할 수 있게 됐으니, 간단한 팁을 그리겠습니다.

평가원이 외적을 하라고 문제를 낸 것이 아니기 때문에, 외적을 할 때 수가 과도하게 커져 계산이 더러워질 수 있습니다.

이때는 두 벡터를 '같은 수로' 실수배한 뒤 외적을 진행해주면 기존의 법선벡터에 실수배한 법선벡터가 나오게 됩니다.

****같은 수로 실수배 해야합니다!!! 서로 다른 수로 실수배한 뒤 외적을 하면 전혀 다른 값이 나오게 됩니다.






두번째 팁은 외적의 성질인데, 외적한 결과(법선벡터)의 크기는 두 벡터가 이루는 삼각형의 넓이의 2배와 같습니다. (두 벡터로 만든 평행사변형의 크기라고도 합니다.)

주의할 점은, 이 성질을 이용하려면 외적할 때 벡터들을 실수배하면 안됩니다.







이제 배운 내용을 수능 완성에 적용해보겠습니다.

수능완성 105페이지 9번 문제를 공간벡터의 외적을 이용해 풀면 이렇습니다.






이때, 평면 BCD를 바닥평면이라 보면, 평면 BCD의 법선벡터는 그냥 (0,0,1)이 됩니다. 이 부분이 굉장히 중요합니다.




이 내용은 사실 일일이 정확한 좌표를 잡고, 계산을 많이 해야해서 상당히 복잡합니다. 또한 계산 과정이 상당히 길어서 인내심도 필요하죠.

공간도형에서의 이면각을 잘 구하기만 하면 훨씬 간단히 풀 수 있는 내용이지만, 저처럼 이면각 구하는 것이 정말 어려운 학생들을 위한 일종의 도구라고 생각합니다.


혹자는 굳이 필요 없는 내용이고 현행 교육과정에서는 평가원이 공간벡터까지 써야하는 문제를 내지 않는다고 합니다. 하지만 그럼에도 불구하고 공간도형이 너무 어렵거나 수직 조건이 도저히 안 보여서 풀지 못한다면, 그냥 계산이라도 해서 풀 수 있는 방법을 알려드리고 싶었습니다. 시험장에서 써먹을 수 있는 카드를 하나 더 드린 거라고 생각하면 좋겠습니다.


그리고 이 글을 읽고 공간벡터를 처음 접한 학생들은, 되도록이면 아래 댓글에 달아드리는 링크의 영상을 보면서 공간벡터의 개념을 정확히 공부하고, 기출 문제에 적용해보면서 완벽히 체화한 후에 써먹으셨으면 좋겠습니다. 제대로 공부하지 않으면 오히려 독이 될 수 있습니다.

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기하훌리 [1140142]

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